3.「2024陕西西安雁塔月考」如图,在平面直角坐标系中,抛物线$L:y= ax^2+bx-4$与x轴交于点A(-1,0),B(4,0),与y轴交于点C.
(1)求抛物线L的函数表达式.
(2)抛物线L'与L关于原点对称,点A、B在抛物线L'上的对应点分别为A'、B',那么在抛物线L的对称轴上是否存在一点M,抛物线L'上是否存在一点N,使得以A、A'、M、N为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出N点的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)求抛物线L的函数表达式.
$y=x^{2}-3x-4$
(2)抛物线L'与L关于原点对称,点A、B在抛物线L'上的对应点分别为A'、B',那么在抛物线L的对称轴上是否存在一点M,抛物线L'上是否存在一点N,使得以A、A'、M、N为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出N点的坐标;若不存在,请说明理由.
存在，N点的坐标为$(-\frac{3}{2},\frac{25}{4})$或$(-\frac{1}{2},\frac{21}{4})$或$(\frac{7}{2},-\frac{75}{4})$
答案：解析 (1)将A(-1,0),B(4,0)代入$y=ax^{2}+bx-4$,得$\begin{cases}a-b-4=0,\\16a+4b-4=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=1,\\b=-3,\end{cases}$∴ $y=x^{2}-3x-4$.
(2)存在.∵ $y=x^{2}-3x-4=(x-\frac{3}{2})^{2}-\frac{25}{4}$,∴ 抛物线L的顶点坐标为$(\frac{3}{2},-\frac{25}{4})$,对称轴为直线$x=\frac{3}{2}$,∴ 抛物线L'的顶点坐标为$(-\frac{3}{2},\frac{25}{4})$,∴ 抛物线L'的解析式为$y=-(x+\frac{3}{2})^{2}+\frac{25}{4}=-x^{2}-3x+4$,∵ 点A'、B'与点A、B关于原点对称,∴ A'(1,0),B'(-4,0).
设$M(\frac{3}{2},m)$,$N(n,-n^{2}-3n+4)$,
①当AA'为平行四边形的对角线时,$n+\frac{3}{2}=-1+1$,解得$n=-\frac{3}{2}$,∴ $N(-\frac{3}{2},\frac{25}{4})$.
②当AM为平行四边形的对角线时,$-1+\frac{3}{2}=1+n$,解得$n=-\frac{1}{2}$,则$-n^{2}-3n+4=-(-\frac{1}{2})^{2}-3×(-\frac{1}{2})+4=\frac{21}{4}$,∴ $N(-\frac{1}{2},\frac{21}{4})$.
③当AN为平行四边形的对角线时,$-1+n=1+\frac{3}{2}$,解得$n=\frac{7}{2}$,则$-n^{2}-3n+4=-(\frac{7}{2})^{2}-3×\frac{7}{2}+4=-\frac{75}{4}$,∴ $N(\frac{7}{2},-\frac{75}{4})$.
综上所述,点N的坐标为$(-\frac{3}{2},\frac{25}{4})$或$(-\frac{1}{2},\frac{21}{4})$或$(\frac{7}{2},-\frac{75}{4})$.
(2)存在.∵ $y=x^{2}-3x-4=(x-\frac{3}{2})^{2}-\frac{25}{4}$,∴ 抛物线L的顶点坐标为$(\frac{3}{2},-\frac{25}{4})$,对称轴为直线$x=\frac{3}{2}$,∴ 抛物线L'的顶点坐标为$(-\frac{3}{2},\frac{25}{4})$,∴ 抛物线L'的解析式为$y=-(x+\frac{3}{2})^{2}+\frac{25}{4}=-x^{2}-3x+4$,∵ 点A'、B'与点A、B关于原点对称,∴ A'(1,0),B'(-4,0).
设$M(\frac{3}{2},m)$,$N(n,-n^{2}-3n+4)$,
①当AA'为平行四边形的对角线时,$n+\frac{3}{2}=-1+1$,解得$n=-\frac{3}{2}$,∴ $N(-\frac{3}{2},\frac{25}{4})$.
②当AM为平行四边形的对角线时,$-1+\frac{3}{2}=1+n$,解得$n=-\frac{1}{2}$,则$-n^{2}-3n+4=-(-\frac{1}{2})^{2}-3×(-\frac{1}{2})+4=\frac{21}{4}$,∴ $N(-\frac{1}{2},\frac{21}{4})$.
③当AN为平行四边形的对角线时,$-1+n=1+\frac{3}{2}$,解得$n=\frac{7}{2}$,则$-n^{2}-3n+4=-(\frac{7}{2})^{2}-3×\frac{7}{2}+4=-\frac{75}{4}$,∴ $N(\frac{7}{2},-\frac{75}{4})$.
综上所述,点N的坐标为$(-\frac{3}{2},\frac{25}{4})$或$(-\frac{1}{2},\frac{21}{4})$或$(\frac{7}{2},-\frac{75}{4})$.
4.「2025湖北宜昌西陵期中」如图,已知二次函数$y= -x^2+bx+c$的图象与x轴交于点A(-4,0)和点B,与y轴交于点C(0,4),连接AC.点P为x轴上方抛物线上一动点(点P不与点A,C重合),设点P的横坐标为t.
(1)求该二次函数的解析式.
(2)连接PC,当∠PCA= 45°时,求t的值.
(3)设以A,O,C,P为顶点的四边形的面积为S.
①求S关于t的函数解析式.
②根据S的不同取值,试探索点P的个数情况.
(1)求该二次函数的解析式.
(2)连接PC,当∠PCA= 45°时,求t的值.
(3)设以A,O,C,P为顶点的四边形的面积为S.
①求S关于t的函数解析式.
②根据S的不同取值,试探索点P的个数情况.
答案：
解析 (1)∵ 二次函数$y=-x^{2}+bx+c$的图象与x轴交于点A(-4,0),与y轴交于点C(0,4),∴ $\begin{cases}-16-4b+c=0,\\c=4,\end{cases}$解得$\begin{cases}b=-3,\\c=4,\end{cases}$∴ 该二次函数的解析式为$y=-x^{2}-3x+4$.
(2)由题意得$P(t,-t^{2}-3t+4)$,∵ A(-4,0),C(0,4),∴ OA=OC=4, ∴ ∠OAC=∠OCA=45°.∵ ∠PCA=45°,∴ ∠PCO=90°,∴ PC⊥OC,∵ OA⊥OC,∴ PC//OA.
∴ 点P的纵坐标为4,∴ $-t^{2}-3t+4=4$,解得t=0或t=-3,∵ t≠0,∴ t=-3.
(3)①令y=0,则$-x^{2}-3x+4=0$,解得x=-4或x=1,∵ 点B在x轴正半轴上,∴ B(1,0),∴ OB=1.当点P在AC的上方,即-4＜t＜0时,过点P作PD⊥OA于点D,
则$PD=-t^{2}-3t+4$,$OD=0-t=-t$,∴ AD=t-(-4)=t+4,∴ $S=S_{△PAD}+S_{梯形PDOC}=\frac{1}{2}AD·PD+\frac{1}{2}(PD+OC)·OD=\frac{1}{2}(t+4)(-t^{2}-3t+4)+\frac{1}{2}(-t^{2}-3t+4+4)×(-t)=-2t^{2}-8t+8$.当点P在AC的下方,即0＜t＜1时,过点P作PE⊥OC于点E,
则PE=t,∴ $S=S_{△OAC}+S_{△OPC}=\frac{1}{2}OA·OC+\frac{1}{2}OC·PE=\frac{1}{2}×4×4+\frac{1}{2}×4t=2t+8$.
综上,$S=\begin{cases}-2t^{2}-8t+8(-4＜t＜0),\\2t+8(0＜t＜1).\end{cases}$
②当-4＜t＜0时,$S=-2t^{2}-8t+8=-2(t+2)^{2}+16$,∵ -2＜0,∴ 当t=-2时,S有最大值,为16,∵ |-4-(-2)|=|0-(-2)|,∴ 当t=-4或t=0时,$-2(t+2)^{2}+16=8$,∴ 8＜S≤16.当0＜t＜1时,S=2t+8,∴ 8＜S＜10.
函数$S=\begin{cases}-2t^{2}-8t+8(-4＜t＜0),\\2t+8(0＜t＜1)\end{cases}$的大致图象如图所示,由图象可知,当8＜S＜10时,存在3个符合条件的点P;当10≤S＜16时,存在2个符合条件的点P;当S=16时,存在1个符合条件的点P.
解析 (1)∵ 二次函数$y=-x^{2}+bx+c$的图象与x轴交于点A(-4,0),与y轴交于点C(0,4),∴ $\begin{cases}-16-4b+c=0,\\c=4,\end{cases}$解得$\begin{cases}b=-3,\\c=4,\end{cases}$∴ 该二次函数的解析式为$y=-x^{2}-3x+4$.
(2)由题意得$P(t,-t^{2}-3t+4)$,∵ A(-4,0),C(0,4),∴ OA=OC=4, ∴ ∠OAC=∠OCA=45°.∵ ∠PCA=45°,∴ ∠PCO=90°,∴ PC⊥OC,∵ OA⊥OC,∴ PC//OA.
∴ 点P的纵坐标为4,∴ $-t^{2}-3t+4=4$,解得t=0或t=-3,∵ t≠0,∴ t=-3.
(3)①令y=0,则$-x^{2}-3x+4=0$,解得x=-4或x=1,∵ 点B在x轴正半轴上,∴ B(1,0),∴ OB=1.当点P在AC的上方,即-4＜t＜0时,过点P作PD⊥OA于点D,
则$PD=-t^{2}-3t+4$,$OD=0-t=-t$,∴ AD=t-(-4)=t+4,∴ $S=S_{△PAD}+S_{梯形PDOC}=\frac{1}{2}AD·PD+\frac{1}{2}(PD+OC)·OD=\frac{1}{2}(t+4)(-t^{2}-3t+4)+\frac{1}{2}(-t^{2}-3t+4+4)×(-t)=-2t^{2}-8t+8$.当点P在AC的下方,即0＜t＜1时,过点P作PE⊥OC于点E,
则PE=t,∴ $S=S_{△OAC}+S_{△OPC}=\frac{1}{2}OA·OC+\frac{1}{2}OC·PE=\frac{1}{2}×4×4+\frac{1}{2}×4t=2t+8$.
综上,$S=\begin{cases}-2t^{2}-8t+8(-4＜t＜0),\\2t+8(0＜t＜1).\end{cases}$
②当-4＜t＜0时,$S=-2t^{2}-8t+8=-2(t+2)^{2}+16$,∵ -2＜0,∴ 当t=-2时,S有最大值,为16,∵ |-4-(-2)|=|0-(-2)|,∴ 当t=-4或t=0时,$-2(t+2)^{2}+16=8$,∴ 8＜S≤16.当0＜t＜1时,S=2t+8,∴ 8＜S＜10.
函数$S=\begin{cases}-2t^{2}-8t+8(-4＜t＜0),\\2t+8(0＜t＜1)\end{cases}$的大致图象如图所示,由图象可知,当8＜S＜10时,存在3个符合条件的点P;当10≤S＜16时,存在2个符合条件的点P;当S=16时,存在1个符合条件的点P.