1. 下列命题正确的是(
A. 各边相等的多边形是正多边形
B. 正多边形一定是中心对称图形
C. 正多边形外接圆的圆心角是它的中心角
D. 正多边形外接圆的半径是它的半径
D
)A. 各边相等的多边形是正多边形
B. 正多边形一定是中心对称图形
C. 正多边形外接圆的圆心角是它的中心角
D. 正多边形外接圆的半径是它的半径
答案：D 各边相等，各内角相等的多边形是正多边形，故 A 错误；当正多边形的边数为偶数时，它一定是中心对称图形，故 B 错误；正多边形每一边所对的圆心角是它的中心角，故 C 错误；正多边形外接圆的半径是正多边形的半径，故 D 正确。故选 D。
2. [2024 四川南充模拟]如图,A,B,C 是正多边形的顶点,O 是正多边形的中心,若△AOC 是等边三角形,则正多边形的边数为(
A. 6
B. 9
C. 12
D. 15
C
)A. 6
B. 9
C. 12
D. 15
答案：C 连接 OB（图略），∵△AOC 是等边三角形，∴∠AOC = 60°，∵点 A，B，C 是正多边形的顶点，O 是正多边形的中心，∴∠AOB = ∠BOC = $\frac{1}{2}$∠AOC = 30°，即正多边形的中心角的度数为 30°，设这个正多边形为正 n 边形，∴$\frac{360°}{n}$ = 30°，∴n = 12。故选 C。
3. [2024 天津河东期末]如图,正六边形 ABCDEF 的中心为原点 O,顶点 B,E 在 x 轴上,半径为 4,则顶点 D 的坐标为( )
A. $(2,2\sqrt {3})$
B. $(2,-2\sqrt {3})$
C. $(2,-4)$
D. $(2\sqrt {3},-4)$
A. $(2,2\sqrt {3})$
B. $(2,-2\sqrt {3})$
C. $(2,-4)$
D. $(2\sqrt {3},-4)$
答案：
B 如图，连接 OD，OC，设 CD 交 y 轴于 G，易知 OG⊥CD。∵正六边形 ABCDEF 的中心为原点 O，
∴∠COD = $\frac{360°}{6}$ = 60°，∵OC = OD = 4，OG⊥CD，∴∠GOD = $\frac{∠COD}{2}$ = 30°，∴DG = 2，∴OG = $\sqrt{OD² - DG²}$ = $2\sqrt{3}$，∴点 D 的坐标为（2，$-2\sqrt{3}$）。故选 B。
B 如图，连接 OD，OC，设 CD 交 y 轴于 G，易知 OG⊥CD。∵正六边形 ABCDEF 的中心为原点 O，
∴∠COD = $\frac{360°}{6}$ = 60°，∵OC = OD = 4，OG⊥CD，∴∠GOD = $\frac{∠COD}{2}$ = 30°，∴DG = 2，∴OG = $\sqrt{OD² - DG²}$ = $2\sqrt{3}$，∴点 D 的坐标为（2，$-2\sqrt{3}$）。故选 B。
4. 新数学文化 刘徽是中国古代卓越的数学家之一,他在《九章算术》中提出了“割圆术”,即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积.如图,设⊙O 的半径为 2,若用⊙O 的内接正六边形的面积来近似估计⊙O 的面积,则⊙O 的面积约为____(结果保留根号).
答案：
答案 $6\sqrt{3}$
解析 如图，连接 OA、OB，由题意可得∠AOB = 360°÷6 = 60°。∵OA = OB = 2，
∴△OAB 为等边三角形，∴AB = 2。过点 O 作 OM⊥AB 于点 M，则 AM = BM = 1。
在 Rt△AOM 中，OM = $\sqrt{2² - 1²}$ = $\sqrt{3}$，∴$S_{△AOB}$ = $\frac{1}{2}$×2×$\sqrt{3}$ = $\sqrt{3}$，∴⊙O 的面积约为 $6S_{△AOB}$ = $6\sqrt{3}$。
答案 $6\sqrt{3}$
解析 如图，连接 OA、OB，由题意可得∠AOB = 360°÷6 = 60°。∵OA = OB = 2，
∴△OAB 为等边三角形，∴AB = 2。过点 O 作 OM⊥AB 于点 M，则 AM = BM = 1。
在 Rt△AOM 中，OM = $\sqrt{2² - 1²}$ = $\sqrt{3}$，∴$S_{△AOB}$ = $\frac{1}{2}$×2×$\sqrt{3}$ = $\sqrt{3}$，∴⊙O 的面积约为 $6S_{△AOB}$ = $6\sqrt{3}$。
5. 学科特色教材变式 P108 习题 T1 求半径为 2 的圆的内接正三角形,正方形,正六边形的边长、边心距、中心角和面积.将结果填写在表中：
正三角形：边长
正三角形：边长
$2\sqrt{3}$
，边心距1
，中心角120°
，面积$3\sqrt{3}$
；正方形：边长$2\sqrt{2}$
，边心距$\sqrt{2}$
，中心角90°
，面积8
；正六边形：边长2
，边心距$\sqrt{3}$
，中心角60°
，面积$6\sqrt{3}$
答案：解析 结果如下表：
正圆的多边内接形 边长 边心距 中心角 面积
正三角形 $2\sqrt{3}$ 1 120° $3\sqrt{3}$
正方形 $2\sqrt{2}$ $\sqrt{2}$ 90° 8
正六边形 2 $\sqrt{3}$ 60° $6\sqrt{3}$
正圆的多边内接形 边长 边心距 中心角 面积
正三角形 $2\sqrt{3}$ 1 120° $3\sqrt{3}$
正方形 $2\sqrt{2}$ $\sqrt{2}$ 90° 8
正六边形 2 $\sqrt{3}$ 60° $6\sqrt{3}$
6. 如图,已知⊙O 和⊙O 上的一点 A,请完成下列任务：
(1)用尺规作⊙O 的内接正六边形 ABCDEF.
(2)连接 BF,CE,判断四边形 BCEF 的形状并加以证明.
(1)用尺规作⊙O 的内接正六边形 ABCDEF.
(2)连接 BF,CE,判断四边形 BCEF 的形状并加以证明.
答案：
解析 （1）如图 1，首先作直径 AD，然后分别以 A，D 为圆心，OA 长为半径画弧，交⊙O 于点 B，F，C，E，连接 AB，BC，CD，DE，EF，AF，则正六边形 ABCDEF 即为所求。
（2）四边形 BCEF 是矩形。证明：如图 2，连接 OE，∵六边形 ABCDEF 是正六边形，∴AB = AF = DE = DC = FE = BC，∴$\overset{\frown}{AB}$ = $\overset{\frown}{AF}$ = $\overset{\frown}{DE}$ = $\overset{\frown}{DC}$，∴$\overset{\frown}{BF}$ = $\overset{\frown}{CE}$，∴BF = CE，∴四边形 BCEF 是平行四边形。∵六边形 ABCDEF 为正六边形，∴∠EDC = ∠FED = $\frac{(6 - 2)×180°}{6}$ = 120°。∵DE = DC，∴∠DEC = ∠DCE = 30°，∴∠CEF = ∠DEF - ∠CED = 90°，∴四边形 BCEF 是矩形。
解析 （1）如图 1，首先作直径 AD，然后分别以 A，D 为圆心，OA 长为半径画弧，交⊙O 于点 B，F，C，E，连接 AB，BC，CD，DE，EF，AF，则正六边形 ABCDEF 即为所求。
（2）四边形 BCEF 是矩形。证明：如图 2，连接 OE，∵六边形 ABCDEF 是正六边形，∴AB = AF = DE = DC = FE = BC，∴$\overset{\frown}{AB}$ = $\overset{\frown}{AF}$ = $\overset{\frown}{DE}$ = $\overset{\frown}{DC}$，∴$\overset{\frown}{BF}$ = $\overset{\frown}{CE}$，∴BF = CE，∴四边形 BCEF 是平行四边形。∵六边形 ABCDEF 为正六边形，∴∠EDC = ∠FED = $\frac{(6 - 2)×180°}{6}$ = 120°。∵DE = DC，∴∠DEC = ∠DCE = 30°，∴∠CEF = ∠DEF - ∠CED = 90°，∴四边形 BCEF 是矩形。
7. [2023 四川内江中考,★☆]如图,正六边形 ABCDEF 内接于⊙O,点 P 在$\overset{\frown }{AB}$上,点 Q 是$\overset{\frown }{DE}$的中点,则∠CPQ 的度数为( )
A. $30^{\circ }$
B. $45^{\circ }$
C. $36^{\circ }$
D. $60^{\circ }$
A. $30^{\circ }$
B. $45^{\circ }$
C. $36^{\circ }$
D. $60^{\circ }$
答案：
B 如图，连接 OC，OD，OQ，OE，
∵六边形 ABCDEF 是正六边形，∴∠COD = ∠DOE = $\frac{360°}{6}$ = 60°，∵Q 是$\overset{\frown}{DE}$的中点，∴∠DOQ = ∠EOQ = $\frac{1}{2}$∠DOE = 30°，∴∠COQ = ∠COD + ∠DOQ = 90°，∴∠CPQ = $\frac{1}{2}$∠COQ = 45°。故选 B。
B 如图，连接 OC，OD，OQ，OE，
∵六边形 ABCDEF 是正六边形，∴∠COD = ∠DOE = $\frac{360°}{6}$ = 60°，∵Q 是$\overset{\frown}{DE}$的中点，∴∠DOQ = ∠EOQ = $\frac{1}{2}$∠DOE = 30°，∴∠COQ = ∠COD + ∠DOQ = 90°，∴∠CPQ = $\frac{1}{2}$∠COQ = 45°。故选 B。
8. [2024 山东济宁中考,★☆]如图,边长为 2 的正六边形 ABCDEF 内接于⊙O,则它的内切圆半径为( )
A. 1
B. 2
C. $\sqrt {2}$
D. $\sqrt {3}$
A. 1
B. 2
C. $\sqrt {2}$
D. $\sqrt {3}$
答案：
D 如图，连接 OA，OB，过点 O 作 OG⊥AB 于 G：
∵六边形 ABCDEF 是圆的内接正六边形，且边长为 2，∴∠AOB = $\frac{360°}{6}$ = 60°，AB = 2，
又∵OA = OB，
∴△OAB 为等边三角形，∴OA = AB = 2，
∵OG⊥AB，∴∠AOG = $\frac{1}{2}$∠AOB = $\frac{1}{2}$×60° = 30°，
∴在 Rt△OAG 中，AG = $\frac{1}{2}$OA = 1，
由勾股定理可得 OG = $\sqrt{3}$，
易知 OG 为正六边形 ABCDEF 的内切圆半径，
∴正六边形 ABCDEF 的内切圆半径为 $\sqrt{3}$。
D 如图，连接 OA，OB，过点 O 作 OG⊥AB 于 G：
∵六边形 ABCDEF 是圆的内接正六边形，且边长为 2，∴∠AOB = $\frac{360°}{6}$ = 60°，AB = 2，
又∵OA = OB，
∴△OAB 为等边三角形，∴OA = AB = 2，
∵OG⊥AB，∴∠AOG = $\frac{1}{2}$∠AOB = $\frac{1}{2}$×60° = 30°，
∴在 Rt△OAG 中，AG = $\frac{1}{2}$OA = 1，
由勾股定理可得 OG = $\sqrt{3}$，
易知 OG 为正六边形 ABCDEF 的内切圆半径，
∴正六边形 ABCDEF 的内切圆半径为 $\sqrt{3}$。