8. 如图,在等腰$Rt\triangle ABC$中,$∠ACB=90^{\circ }$,$D$为$BC$的中点,$DE⊥AB$,垂足为$E$,过点$B$作$BF// AC$交$DE$的延长线于点$F$,连接$CF$.
(1)求证:$AD⊥CF$;
(2)连接$AF$,试判断$\triangle ACF$的形状,并说明理由.
(1)求证:$AD⊥CF$;
证明：$\because$ 在等腰三角形 $ABC$ 中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$\therefore \angle CBA = \angle CAB = 45^{\circ}$，$AC = BC$。又 $\because DE \perp AB$，$\therefore \angle DEB = 90^{\circ}$。$\therefore \angle BDE = 45^{\circ}$。又 $\because BF // AC$，$\therefore \angle CBF = 90^{\circ}$。$\therefore \angle BFD = 45^{\circ} = \angle BDE$。$\therefore BF = DB$。又 $\because D$ 为 $BC$ 的中点，$\therefore CD = DB$。即 $BF = CD$。在 $\triangle CBF$ 和 $\triangle ACD$ 中，$\left\{\begin{array}{l} BF = CD, \\ \angle CBF = \angle ACD = 90^{\circ}, \\ CB = AC, \end{array}\right.$$\therefore \triangle CBF \cong \triangle ACD(SAS)$。$\therefore \angle BCF = \angle CAD$。又 $\because \angle BCF + \angle FCA = 90^{\circ}$，$\therefore \angle CAD + \angle FCA = 90^{\circ}$。即 $AD \perp CF$。
(2)连接$AF$,试判断$\triangle ACF$的形状,并说明理由.
解：$\triangle ACF$是等腰三角形，理由：由(1)知$\triangle CBF \cong \triangle ACD$，$\therefore CF = AD$，由(1)知$\triangle DBF$是等腰直角三角形，且$BE \perp DF$，$\therefore BE$垂直平分$DF$，$\therefore AF = AD$，$\therefore CF = AF$，$\therefore \triangle ACF$是等腰三角形。
答案：(1) 证明：$\because$ 在等腰三角形 $ABC$ 中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle CBA = \angle CAB = 45^{\circ}$，$AC = BC$。
又 $\because DE \perp AB$，$\therefore \angle DEB = 90^{\circ}$。
$\therefore \angle BDE = 45^{\circ}$。
又 $\because BF // AC$，$\therefore \angle CBF = 90^{\circ}$。
$\therefore \angle BFD = 45^{\circ} = \angle BDE$。
$\therefore BF = DB$。
又 $\because D$ 为 $BC$ 的中点，$\therefore CD = DB$。
即 $BF = CD$。
在 $\triangle CBF$ 和 $\triangle ACD$ 中，$\left\{\begin{array}{l} BF = CD, \\ \angle CBF = \angle ACD = 90^{\circ}, \\ CB = AC, \end{array}\right.$
$\therefore \triangle CBF \cong \triangle ACD(SAS)$。
$\therefore \angle BCF = \angle CAD$。
又 $\because \angle BCF + \angle FCA = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle CAD + \angle FCA = 90^{\circ}$。
即 $AD \perp CF$。
(2) 解：$\triangle ACF$ 是等腰三角形，理由：
由 (1) 知 $\triangle CBF \cong \triangle ACD$，$\therefore CF = AD$，
由 (1) 知 $\triangle DBF$ 是等腰直角三角形，且 $BE \perp DF$，
$\therefore BE$ 垂直平分 $DF$，
$\therefore AF = AD$，
$\therefore CF = AF$，
$\therefore \triangle ACF$ 是等腰三角形。
$\therefore \angle CBA = \angle CAB = 45^{\circ}$，$AC = BC$。
又 $\because DE \perp AB$，$\therefore \angle DEB = 90^{\circ}$。
$\therefore \angle BDE = 45^{\circ}$。
又 $\because BF // AC$，$\therefore \angle CBF = 90^{\circ}$。
$\therefore \angle BFD = 45^{\circ} = \angle BDE$。
$\therefore BF = DB$。
又 $\because D$ 为 $BC$ 的中点，$\therefore CD = DB$。
即 $BF = CD$。
在 $\triangle CBF$ 和 $\triangle ACD$ 中，$\left\{\begin{array}{l} BF = CD, \\ \angle CBF = \angle ACD = 90^{\circ}, \\ CB = AC, \end{array}\right.$
$\therefore \triangle CBF \cong \triangle ACD(SAS)$。
$\therefore \angle BCF = \angle CAD$。
又 $\because \angle BCF + \angle FCA = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle CAD + \angle FCA = 90^{\circ}$。
即 $AD \perp CF$。
(2) 解：$\triangle ACF$ 是等腰三角形，理由：
由 (1) 知 $\triangle CBF \cong \triangle ACD$，$\therefore CF = AD$，
由 (1) 知 $\triangle DBF$ 是等腰直角三角形，且 $BE \perp DF$，
$\therefore BE$ 垂直平分 $DF$，
$\therefore AF = AD$，
$\therefore CF = AF$，
$\therefore \triangle ACF$ 是等腰三角形。
9. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB=AC$,直线$DF$交$AB$于点$D$,交$AC$的延长线于点$F$,交$BC$于点$E$,若$BD=CF$,求证:$E$是$DF$的中点.
证明：如答图，作
$\therefore \angle ACB = \angle DGB$。
$\because AB = AC$，$\therefore \angle B = \angle ACB$，
$\therefore \angle B = \angle DGB$，
$\therefore BD = DG$。
$\because BD = CF$，$\therefore DG = CF$。
$\because DG // AC$，$\therefore \angle F = \angle GDE$，$\angle DGE = \angle FCE$，
$\therefore$
证明：如答图，作
$DG // AC$交$BC$于点$G$
，$\therefore \angle ACB = \angle DGB$。
$\because AB = AC$，$\therefore \angle B = \angle ACB$，
$\therefore \angle B = \angle DGB$，
$\therefore BD = DG$。
$\because BD = CF$，$\therefore DG = CF$。
$\because DG // AC$，$\therefore \angle F = \angle GDE$，$\angle DGE = \angle FCE$，
$\therefore$
$\triangle CEF \cong \triangle GED$
，$\therefore DE = EF$，即$E$是$DF$的中点。答案：
证明：如答图，作 交 于点 ，
。
，，
，
。
，。
，，，
，，即 是 的中点。
证明：如答图，作 交 于点 ，
。
，，
，
。
，。
，，，
，，即 是 的中点。
10. 如图,在$\triangle ABC$中,$∠A=90^{\circ }$,$AB=AC$,$D$是斜边$BC$的中点,点$E$,$F$分别在线段$AB$,$AC$上,且$∠EDF=90^{\circ }$.
(1)求证:$\triangle DEF$为等腰直角三角形;
(2)求证:$S_{四边形AEDF}=S_{\triangle BDE}+S_{\triangle CDF}$;
(3)如果点$E$运动到$AB$的延长线上,点$F$在射线$CA$上且保持$∠EDF=90^{\circ }$,$\triangle DEF$还是等腰直角三角形吗? 请画图并说明理由.
(1)求证:$\triangle DEF$为等腰直角三角形;
(2)求证:$S_{四边形AEDF}=S_{\triangle BDE}+S_{\triangle CDF}$;
(3)如果点$E$运动到$AB$的延长线上,点$F$在射线$CA$上且保持$∠EDF=90^{\circ }$,$\triangle DEF$还是等腰直角三角形吗? 请画图并说明理由.
答案：
(1) 证明：如答图①，连接 $AD$，$\because \angle BAC = 90^{\circ}$，$AB = AC$，$D$ 是斜边 $BC$ 的中点，
$\therefore AD \perp BC$，$AD = BD$，$\angle 1 = \angle B = 45^{\circ}$，
$\because \angle EDF = 90^{\circ}$，$\therefore \angle 2 + \angle 3 = 90^{\circ}$，
又 $\because \angle 3 + \angle 4 = 90^{\circ}$，$\therefore \angle 2 = \angle 4$，
在 $\triangle BDE$ 和 $\triangle ADF$ 中，$\left\{\begin{array}{l} \angle B = \angle 1, \\ BD = AD, \\ \angle 4 = \angle 2, \end{array}\right.$
$\therefore \triangle BDE \cong \triangle ADF(ASA)$，$\therefore DE = DF$。
又 $\because \angle EDF = 90^{\circ}$，$\therefore \triangle DEF$ 为等腰直角三角形。
(2) 证明：同 (1) 可证，$\triangle ADE \cong \triangle CDF$，
所以 $S_{四边形 AEDF} = S_{\triangle ADF} + S_{\triangle ADE} = S_{\triangle BDE} + S_{\triangle CDF}$，
即 $S_{四边形 AEDF} = S_{\triangle BDE} + S_{\triangle CDF}$。
(3) 解：$\triangle DEF$ 还是等腰直角三角形。如答图②，连接 $AD$。
$\because \angle BAC = 90^{\circ}$，$AB = AC$，$D$ 是斜边 $BC$ 的中点，
$\therefore AD \perp BC$，$AD = BD$，$\angle 1 = 45^{\circ}$。
$\because \angle DAF = 180^{\circ} - \angle 1 = 180^{\circ} - 45^{\circ} = 135^{\circ}$，
$\angle DBE = 180^{\circ} - \angle ABC = 180^{\circ} - 45^{\circ} = 135^{\circ}$，
$\therefore \angle DAF = \angle DBE$，
$\because \angle EDF = 90^{\circ}$，$\therefore \angle 3 + \angle 4 = 90^{\circ}$，
又 $\because \angle 2 + \angle 3 = 90^{\circ}$，$\therefore \angle 2 = \angle 4$，
在 $\triangle BDE$ 和 $\triangle ADF$ 中，$\left\{\begin{array}{l} \angle DBE = \angle DAF, \\ BD = AD, \\ \angle 4 = \angle 2, \end{array}\right.$
$\therefore \triangle BDE \cong \triangle ADF(ASA)$，$\therefore DE = DF$，
又 $\because \angle EDF = 90^{\circ}$，$\therefore \triangle DEF$ 为等腰直角三角形。
(1) 证明：如答图①，连接 $AD$，$\because \angle BAC = 90^{\circ}$，$AB = AC$，$D$ 是斜边 $BC$ 的中点，
$\therefore AD \perp BC$，$AD = BD$，$\angle 1 = \angle B = 45^{\circ}$，
$\because \angle EDF = 90^{\circ}$，$\therefore \angle 2 + \angle 3 = 90^{\circ}$，
又 $\because \angle 3 + \angle 4 = 90^{\circ}$，$\therefore \angle 2 = \angle 4$，
在 $\triangle BDE$ 和 $\triangle ADF$ 中，$\left\{\begin{array}{l} \angle B = \angle 1, \\ BD = AD, \\ \angle 4 = \angle 2, \end{array}\right.$
$\therefore \triangle BDE \cong \triangle ADF(ASA)$，$\therefore DE = DF$。
又 $\because \angle EDF = 90^{\circ}$，$\therefore \triangle DEF$ 为等腰直角三角形。
(2) 证明：同 (1) 可证，$\triangle ADE \cong \triangle CDF$，
所以 $S_{四边形 AEDF} = S_{\triangle ADF} + S_{\triangle ADE} = S_{\triangle BDE} + S_{\triangle CDF}$，
即 $S_{四边形 AEDF} = S_{\triangle BDE} + S_{\triangle CDF}$。
(3) 解：$\triangle DEF$ 还是等腰直角三角形。如答图②，连接 $AD$。
$\because \angle BAC = 90^{\circ}$，$AB = AC$，$D$ 是斜边 $BC$ 的中点，
$\therefore AD \perp BC$，$AD = BD$，$\angle 1 = 45^{\circ}$。
$\because \angle DAF = 180^{\circ} - \angle 1 = 180^{\circ} - 45^{\circ} = 135^{\circ}$，
$\angle DBE = 180^{\circ} - \angle ABC = 180^{\circ} - 45^{\circ} = 135^{\circ}$，
$\therefore \angle DAF = \angle DBE$，
$\because \angle EDF = 90^{\circ}$，$\therefore \angle 3 + \angle 4 = 90^{\circ}$，
又 $\because \angle 2 + \angle 3 = 90^{\circ}$，$\therefore \angle 2 = \angle 4$，
在 $\triangle BDE$ 和 $\triangle ADF$ 中，$\left\{\begin{array}{l} \angle DBE = \angle DAF, \\ BD = AD, \\ \angle 4 = \angle 2, \end{array}\right.$
$\therefore \triangle BDE \cong \triangle ADF(ASA)$，$\therefore DE = DF$，
又 $\because \angle EDF = 90^{\circ}$，$\therefore \triangle DEF$ 为等腰直角三角形。