8. 如图,已知点 $ D $ 是等边三角形 $ ABC $ 中边 $ BC $ 的延长线上一点, $ \angle EBC = \angle DAC $, $ CE // AB $. 求证: $ \triangle CDE $ 是等边三角形.
证明：$\because \angle ABE + \angle CBE = 60^{\circ}$，$\angle CAD + \angle ADC = 60^{\circ}$，$\angle EBC = \angle DAC$，
$\therefore \angle ABE = \angle ADC$；又$CE // AB$，
$\therefore \angle ECD = \angle ABC = 60^{\circ}$，$\angle BEC = \angle ABE$。
$\therefore \angle BEC = \angle ADC$；
又$BC = AC$，$\angle EBC = \angle DAC$，
$\therefore \triangle BCE \cong \triangle ACD$(
$\therefore CE = CD$，$\therefore \triangle CDE$是等边三角形。
证明：$\because \angle ABE + \angle CBE = 60^{\circ}$，$\angle CAD + \angle ADC = 60^{\circ}$，$\angle EBC = \angle DAC$，
$\therefore \angle ABE = \angle ADC$；又$CE // AB$，
$\therefore \angle ECD = \angle ABC = 60^{\circ}$，$\angle BEC = \angle ABE$。
$\therefore \angle BEC = \angle ADC$；
又$BC = AC$，$\angle EBC = \angle DAC$，
$\therefore \triangle BCE \cong \triangle ACD$(
AAS
)。$\therefore CE = CD$，$\therefore \triangle CDE$是等边三角形。
答案：证明：$\because \angle ABE + \angle CBE = 60^{\circ}$，$\angle CAD + \angle ADC = 60^{\circ}$，$\angle EBC = \angle DAC$，
$\therefore \angle ABE = \angle ADC$；又$CE // AB$，
$\therefore \angle ECD = \angle ABC = 60^{\circ}$，$\angle BEC = \angle ABE$。
$\therefore \angle BEC = \angle ADC$；
又$BC = AC$，$\angle EBC = \angle DAC$，
$\therefore \triangle BCE \cong \triangle ACD(AAS)$。
$\therefore CE = CD$，$\therefore \triangle CDE$是等边三角形。
$\therefore \angle ABE = \angle ADC$；又$CE // AB$，
$\therefore \angle ECD = \angle ABC = 60^{\circ}$，$\angle BEC = \angle ABE$。
$\therefore \angle BEC = \angle ADC$；
又$BC = AC$，$\angle EBC = \angle DAC$，
$\therefore \triangle BCE \cong \triangle ACD(AAS)$。
$\therefore CE = CD$，$\therefore \triangle CDE$是等边三角形。
9. 已知 $ \triangle ABC $ 为等边三角形, $ D $ 为射线 $ BC $ 上一点, $ \angle ADE = 60^{\circ} $, $ DE $ 与 $ \angle ACB $ 处的外角平分线交于点 $ E $.
(1) 如图①,点 $ D $ 在边 $ BC $ 上,求证: $ CA = CD + CE $;
(2) 如图②,若点 $ D $ 在 $ BC $ 的延长线上,直接写出 $ CA,CD,CE $ 之间的数量关系.
(1) 如图①,点 $ D $ 在边 $ BC $ 上,求证: $ CA = CD + CE $;
(2) 如图②,若点 $ D $ 在 $ BC $ 的延长线上,直接写出 $ CA,CD,CE $ 之间的数量关系.
答案：
(1) 证明：如答图，在$AC$上截取$CM = CD$，连接$DM$。
$\because \triangle ABC$是等边三角形，
$\therefore \angle ACB = 60^{\circ}$，
$\therefore \triangle CDM$是等边三角形，
$\therefore MD = CD = CM$，$\angle CMD = \angle CDM = 60^{\circ}$，
$\therefore \angle AMD = 120^{\circ}$，
$\because \angle ADE = 60^{\circ}$，
$\therefore \angle ADE = \angle MDC$，$\therefore \angle ADM = \angle EDC$，
$\because DE$与$\angle ACB$处的外角平分线交于点$E$，
$\therefore \angle ACE = 60^{\circ}$，
$\therefore \angle DCE = 120^{\circ} = \angle AMD$，
在$\triangle ADM$和$\triangle EDC$中，$\left\{\begin{array}{l} \angle ADM = \angle EDC, \\ MD = CD, \\ \angle AMD = \angle ECD, \end{array}\right.$
$\therefore \triangle ADM \cong \triangle EDC(ASA)$，
$\therefore AM = EC$，$\therefore CA = CM + AM = CD + CE$。
(2) 解：$CA = CE - CD$。
(1) 证明：如答图，在$AC$上截取$CM = CD$，连接$DM$。
$\because \triangle ABC$是等边三角形，
$\therefore \angle ACB = 60^{\circ}$，
$\therefore \triangle CDM$是等边三角形，
$\therefore MD = CD = CM$，$\angle CMD = \angle CDM = 60^{\circ}$，
$\therefore \angle AMD = 120^{\circ}$，
$\because \angle ADE = 60^{\circ}$，
$\therefore \angle ADE = \angle MDC$，$\therefore \angle ADM = \angle EDC$，
$\because DE$与$\angle ACB$处的外角平分线交于点$E$，
$\therefore \angle ACE = 60^{\circ}$，
$\therefore \angle DCE = 120^{\circ} = \angle AMD$，
在$\triangle ADM$和$\triangle EDC$中，$\left\{\begin{array}{l} \angle ADM = \angle EDC, \\ MD = CD, \\ \angle AMD = \angle ECD, \end{array}\right.$
$\therefore \triangle ADM \cong \triangle EDC(ASA)$，
$\therefore AM = EC$，$\therefore CA = CM + AM = CD + CE$。
(2) 解：$CA = CE - CD$。
10. 如图,在等边 $ \triangle ABC $ 中, $ D $ 是 $ AB $ 的中点, $ E $ 是线段 $ BC $ 上一点,连接 $ DE $, $ \angle DEB = \alpha (30^{\circ} \leq \alpha ＜ 60^{\circ}) $,将射线 $ DA $ 绕点 $ D $ 顺时针旋转 $ \alpha $,得到射线 $ DQ $, $ F $ 是射线 $ DQ $ 上一点,且 $ DF = DE $,连接 $ FE,FC $.
(1) 补全图形;
(2) 求 $ \angle EDF $ 的度数;
(3) 用等式表示线段 $ FE,FC $ 的数量关系,并证明.
(1) 补全图形;
(2) 求 $ \angle EDF $ 的度数;
(3) 用等式表示线段 $ FE,FC $ 的数量关系,并证明.
答案：
(1) 补全图形，如答图。
(2) $\because \triangle ABC$是等边三角形，
$\therefore \angle A = \angle B = 60^{\circ}$。
$\because$ 射线$DA$绕点$D$顺时针旋转$\alpha$，得到射线$DQ$，
$\therefore \angle ADF = \alpha$。
$\because \angle ADE = \angle ADF + \angle EDF = \alpha + \angle EDF$，
又$\because \angle ADE = \angle B + \angle BED = 60^{\circ} + \alpha$，$\therefore \angle EDF = 60^{\circ}$。
(3) $FE = FC$。
证明：如答图，在$CA$上截取$CG$，使$CG = CE$，连接$EG$，$DG$。
$\because \triangle ABC$是等边三角形，$\therefore \angle ACB = 60^{\circ}$，$AC = BC$。
$\therefore \triangle EGC$是等边三角形。
$\therefore \angle GEC = 60^{\circ}$，$GE = EC$。
$\because \angle EDF = 60^{\circ}$，$DE = DF$，
$\therefore \triangle DEF$是等边三角形。$\therefore \angle DEF = 60^{\circ}$，$DE = EF$。
$\therefore \angle DEF + \angle FEG = \angle GEC + \angle FEG$，
即$\angle DEG = \angle FEC$，
$\therefore \triangle DEG \cong \triangle FEC(SAS)$。$\therefore DG = FC$。
$\because AC - GC = BC - EC$，$\therefore AG = BE$。
$\because$ 点$D$是$AB$的中点，$\therefore AD = DB$。
$\because \angle A = \angle B$，$\therefore \triangle BDE \cong \triangle ADG(SAS)$，
$\therefore DE = DG$，$\therefore FE = FC$。
(1) 补全图形，如答图。
(2) $\because \triangle ABC$是等边三角形，
$\therefore \angle A = \angle B = 60^{\circ}$。
$\because$ 射线$DA$绕点$D$顺时针旋转$\alpha$，得到射线$DQ$，
$\therefore \angle ADF = \alpha$。
$\because \angle ADE = \angle ADF + \angle EDF = \alpha + \angle EDF$，
又$\because \angle ADE = \angle B + \angle BED = 60^{\circ} + \alpha$，$\therefore \angle EDF = 60^{\circ}$。
(3) $FE = FC$。
证明：如答图，在$CA$上截取$CG$，使$CG = CE$，连接$EG$，$DG$。
$\because \triangle ABC$是等边三角形，$\therefore \angle ACB = 60^{\circ}$，$AC = BC$。
$\therefore \triangle EGC$是等边三角形。
$\therefore \angle GEC = 60^{\circ}$，$GE = EC$。
$\because \angle EDF = 60^{\circ}$，$DE = DF$，
$\therefore \triangle DEF$是等边三角形。$\therefore \angle DEF = 60^{\circ}$，$DE = EF$。
$\therefore \angle DEF + \angle FEG = \angle GEC + \angle FEG$，
即$\angle DEG = \angle FEC$，
$\therefore \triangle DEG \cong \triangle FEC(SAS)$。$\therefore DG = FC$。
$\because AC - GC = BC - EC$，$\therefore AG = BE$。
$\because$ 点$D$是$AB$的中点，$\therefore AD = DB$。
$\because \angle A = \angle B$，$\therefore \triangle BDE \cong \triangle ADG(SAS)$，
$\therefore DE = DG$，$\therefore FE = FC$。