1.【问题驱动】如何验证勾股定理及探究勾股数？
【活动操作】小明参照教材用4张全等的直角三角形纸片拼成如图所示的五边形ABEFG.
【探索新知】
(1)从面积的角度思考,请用两种方法计算五边形ABEFG的面积,并写出得到等式$a^{2}+b^{2}=c^{2}$的过程.
(2)如果满足等式$a^{2}+b^{2}=c^{2}$的a,b,c是三个正整数,我们称a,b,c为勾股数.已知m,n是正整数且$m＞n$,证明:$2mn,m^{2}-n^{2},m^{2}+n^{2}$是勾股数.
【灵活运用】
(3)在如图所示的五边形ABEFG中,若$a=4,b=8$,则空白部分的面积为______.
(4)请写出任意一组含有85的“勾股数”:__________________.
(5)小明在他找到的勾股数的表达式中,用$2n^{2}+4n+4$(n为任意正整数)表示勾股数中的最大的一个数,则另两个数的表达式是__________,__________.
【活动操作】小明参照教材用4张全等的直角三角形纸片拼成如图所示的五边形ABEFG.
【探索新知】
(1)从面积的角度思考,请用两种方法计算五边形ABEFG的面积,并写出得到等式$a^{2}+b^{2}=c^{2}$的过程.
(2)如果满足等式$a^{2}+b^{2}=c^{2}$的a,b,c是三个正整数,我们称a,b,c为勾股数.已知m,n是正整数且$m＞n$,证明:$2mn,m^{2}-n^{2},m^{2}+n^{2}$是勾股数.
【灵活运用】
(3)在如图所示的五边形ABEFG中,若$a=4,b=8$,则空白部分的面积为______.
(4)请写出任意一组含有85的“勾股数”:__________________.
(5)小明在他找到的勾股数的表达式中,用$2n^{2}+4n+4$(n为任意正整数)表示勾股数中的最大的一个数,则另两个数的表达式是__________,__________.
答案：
综合与实践
1. (1) 解: 如答图.
$\begin{aligned}S_{五边形 ABEFG}&=S_{正方形 ABDN}+S_{正方形 MDEF}+S_{\triangle MFG}+S_{\triangle ANG}\\&=b^{2}+a^{2}+\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}ab=a^{2}+b^{2}+ab,\end{aligned}$
$\begin{aligned}S_{五边形 ABEFG}&=S_{正方形 ACFG}+S_{\triangle ABC}+S_{\triangle CEF}\\&=c^{2}+\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}ab=c^{2}+ab,\end{aligned}$
$\therefore a^{2}+b^{2}+ab=c^{2}+ab,\therefore a^{2}+b^{2}=c^{2}.$
(2) 证明: $\because (2mn)^{2}=4m^{2}n^{2},(m^{2}-n^{2})^{2}=m^{4}+n^{4}-2m^{2}n^{2}$,
$\begin{aligned}\therefore (2mn)^{2}+(m^{2}-n^{2})^{2}&=4m^{2}n^{2}+m^{4}+n^{4}-2m^{2}n^{2}\\&=(m^{2}+n^{2})^{2},\end{aligned}$
$\because m,n$ 是正整数且 $m＞n$,
$\therefore 2mn,m^{2}-n^{2},m^{2}+n^{2}$ 都是正整数,
$\therefore 2mn,m^{2}-n^{2},m^{2}+n^{2}$ 是勾股数.
(3) 48
(4) 85,3612,3613(答案不唯一)
(5) $2n^{2}+4n$ $4n+4$
综合与实践
1. (1) 解: 如答图.
$\begin{aligned}S_{五边形 ABEFG}&=S_{正方形 ABDN}+S_{正方形 MDEF}+S_{\triangle MFG}+S_{\triangle ANG}\\&=b^{2}+a^{2}+\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}ab=a^{2}+b^{2}+ab,\end{aligned}$
$\begin{aligned}S_{五边形 ABEFG}&=S_{正方形 ACFG}+S_{\triangle ABC}+S_{\triangle CEF}\\&=c^{2}+\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}ab=c^{2}+ab,\end{aligned}$
$\therefore a^{2}+b^{2}+ab=c^{2}+ab,\therefore a^{2}+b^{2}=c^{2}.$
(2) 证明: $\because (2mn)^{2}=4m^{2}n^{2},(m^{2}-n^{2})^{2}=m^{4}+n^{4}-2m^{2}n^{2}$,
$\begin{aligned}\therefore (2mn)^{2}+(m^{2}-n^{2})^{2}&=4m^{2}n^{2}+m^{4}+n^{4}-2m^{2}n^{2}\\&=(m^{2}+n^{2})^{2},\end{aligned}$
$\because m,n$ 是正整数且 $m＞n$,
$\therefore 2mn,m^{2}-n^{2},m^{2}+n^{2}$ 都是正整数,
$\therefore 2mn,m^{2}-n^{2},m^{2}+n^{2}$ 是勾股数.
(3) 48
(4) 85,3612,3613(答案不唯一)
(5) $2n^{2}+4n$ $4n+4$