24.(12分)实际情境:甲、乙两人从相距4千米的两地同时、同向出发(出发时,甲在乙后面),甲每小时走6千米,乙每小时走4千米,小狗随甲一起出发,每小时跑12千米,小狗遇到乙的时候它就往甲这边跑,遇到甲时又往乙这边跑,遇到乙时再往甲这边跑……就这样一直跑下去.
数学研究:如图,折线$A-B-C$、$A-D-E$分别表示甲、小狗在行进过程中,离乙的路程$y(km)与甲行进时间x(h)$之间的部分函数图象.
(1)求线段AB对应的函数表达式;
(2)求点E的坐标;
(3)小狗从出发到它折返后第一次与甲相遇的过程中,x为何值时,它离乙的路程与它离甲的路程相等?
数学研究:如图,折线$A-B-C$、$A-D-E$分别表示甲、小狗在行进过程中,离乙的路程$y(km)与甲行进时间x(h)$之间的部分函数图象.
(1)求线段AB对应的函数表达式;
(2)求点E的坐标;
(3)小狗从出发到它折返后第一次与甲相遇的过程中,x为何值时,它离乙的路程与它离甲的路程相等?
答案：解：(1) 设$AB$的函数表达式为$y = kx + b$，由题意知$A(0,4)$，$B(2,0)$，
$\therefore \begin{cases}b = 4\\2k + b = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = -2\\b = 4\end{cases}$，$\therefore$线段$AB$对应的函数表达式为$y = -2x + 4(0 \leq x \leq 2)$。
(2) 根据题意，得线段$DE$对应的函数表达式为$y = (12 + 4)×(x - \frac{1}{2}) = 16x - 8$，
由$\begin{cases}y = -2x + 4\\y = 16x - 8\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = \frac{2}{3}\\y = \frac{8}{3}\end{cases}$
$\therefore$点$E$的坐标为$(\frac{2}{3},\frac{8}{3})$。
(3) 由题意可知，线段$AD$对应的函数表达式为$y = -8x + 4$，分两种情况：
①小狗折返前，有$-2x + 4 = 2(-8x + 4)$，解得$x = \frac{2}{7}$。
②小狗折返后，有$-2x + 4 = 2(16x - 8)$，解得$x = \frac{10}{17}$。
综上，小狗从出发到它折返后第一次与甲相遇的过程中，当$x$为$\frac{2}{7}$或$\frac{10}{17}$时，它离乙的路程与它离甲的路程相等。
$\therefore \begin{cases}b = 4\\2k + b = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = -2\\b = 4\end{cases}$，$\therefore$线段$AB$对应的函数表达式为$y = -2x + 4(0 \leq x \leq 2)$。
(2) 根据题意，得线段$DE$对应的函数表达式为$y = (12 + 4)×(x - \frac{1}{2}) = 16x - 8$，
由$\begin{cases}y = -2x + 4\\y = 16x - 8\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = \frac{2}{3}\\y = \frac{8}{3}\end{cases}$
$\therefore$点$E$的坐标为$(\frac{2}{3},\frac{8}{3})$。
(3) 由题意可知，线段$AD$对应的函数表达式为$y = -8x + 4$，分两种情况：
①小狗折返前，有$-2x + 4 = 2(-8x + 4)$，解得$x = \frac{2}{7}$。
②小狗折返后，有$-2x + 4 = 2(16x - 8)$，解得$x = \frac{10}{17}$。
综上，小狗从出发到它折返后第一次与甲相遇的过程中，当$x$为$\frac{2}{7}$或$\frac{10}{17}$时，它离乙的路程与它离甲的路程相等。