+跟踪练习2(2025·南京江宁区期末)小春在计算除法时,把除数54误写成了45,结果得到的商是16余3,正确的结果应该是(
13
)……(21
)。答案：13 21
解析：
解：45×16+3=720+3=723
723÷54=13……21
13 21
723÷54=13……21
13 21
例3(教材P29)在□里填合适的数字。
第一个竖式从左到右、从上到下填入的数字依次为：2、3、2、2；第二个竖式从左到右、从上到下填入的数字依次为：1、5、2、4、1、2
答案：解析：
第一个竖式：
从个位开始分析，$6 - 0 = 6$，所以下方的减数个位是$0$（已给出）。
十位上，$□ - 4 = 6$，显然这里的$□$应该是$0$（向百位借$1$后变为$10 - 4 = 6$），同时百位的$5$被借走$1$变为$4$。
百位上，$4 - □ = 4$，所以减数的百位$□$应该是$0$（但考虑到十位借位的情况，实际应为$4 - 0（借位后仍为原数）- 4 = 0$，即不借位时直接相等），但这里我们主要关注十位的借位情况，百位直接相减得出$0$。
由于十位需要借位，千位的$2$减去减数千位的数字后必须仍能保持为$2$（或经过借位后变为$2$），显然减数千位应为$0$（不借位）或小于$2$的数（借位后），但考虑到最高位不能是$0$，且需要借位使得十位能够进行$10 - 4$的运算，所以这里的借位应来自百位向千位的借位（即把$2$看成$1$后借$1$给百位，自己变为$1$，但由于减数千位是$0$，所以$1 - 0 = 1$，再向万位借$1$后变为$2$），但直接分析可知减数千位填$0$，万位$2$落下即可（因为不涉及万位的运算）。但简化分析，我们直接看千位结果，$2 - 0（考虑借位后的实际影响）= 2$（或理解为$2$减去任何小于它的正整数后，通过借位都能保持为$2$或更大的数，但这里只关心结果为$2$，所以填$0$），所以千位$□$填$3$（这是通过$46 ÷ 23 = 2$反推得出的除数）。
所以，第一个竖式填完后为：
$\begin{array}{r r r r}&2&3 \\ \hline &2&□&5&0&6 \\ -&-&-&4&0 \\ \hline &-&-&4&6 \end{array}$
（其中下方的减数按借位分析后应为$040$，但最高位$0$不写，且由于我们是从结果反推，所以直接写$40$表示十位和百位的减数，千位已知为$0$，万位$2$落下即可）
进一步补全得：
$\begin{array}{r r r r}&2&3 \\ \hline &2&3&5&0&6 \\ -&2&2&4&0 \\ \hline &&&4&6 \\ -&4&6\\ \hline &&&0\end{array}$
（注意这里的$2240$是通过分析得出的实际减数，与最初的$□4□0$对应）
第二个竖式：
同样从个位开始，$0 - 0 = 0$，所以减数的个位是$0$（已给出，此步实际不产生新信息）。
十位上，由于结果为$0$，且没有向百位借位（因为百位结果也是确定的数字，且没有进一步的借位标记），所以$□ - □ = 0$，即两个$□$内的数字相同。但由于我们是从结果反推，且知道这是一个减法竖式，所以更关心的是如何通过结果来确定这些$□$。
百位上，$□ - 2 = 1$（考虑十位可能借位，但此处分析可暂不考虑借位，因为结果已给出），所以被减数的百位$□$应为$3$（$3 - 2 = 1$）。
千位上，由于百位没有向千位借位（或借位后已还原），所以$1 - □ = 1$，这里的$□$应为$0$。但同样，我们更关心如何通过结果来确定减数的千位。由于这是一个三位数减三位数的竖式，且结果仍为三位数（或可看作省略了万位$0$的三位数），所以减数的千位不能使结果变为两位数。因此，减数的千位应小于或等于被减数的千位（这里被减数千位是$1$，但由于是最高位且不可能为$0$，所以实际分析时考虑的是它作为有效数字的位置）。由于结果千位为$1$，且没有向万位借位，所以减数的千位只能是$0$（使得$1 - 0 = 1$）。但这里我们实际上是通过结果和竖式的结构来反推，更直接的方法是看除式的商。
由于$360 ÷ □□ = 15$，可以通过试除或分解质因数来找到除数。但这里我们直接给出答案：除数是$24$（因为$360 ÷ 15 = 24$）。
所以，第二个竖式填完后（只关注减法部分，除式用于验证）为：
$\begin{array}{r r r r}&1&5 \\ \hline &3&6&0 \\ -&2&□&0 \\ \hline &1&□&0 \end{array}$
进一步补全得（注意这里我们实际上是通过除式的结果来补全减法的减数）：
$\begin{array}{r r r r}&1&5 \\ \hline &3&6&0 \\ -&2&4&0 \\ \hline &1&2&0 \end{array}$
（减数为$240$，与除式$360 ÷ 15 = 24$中的除数$24$（看作$240$除以$10$的简化形式）相对应）
答案：
第一个竖式：
$\begin{array}{r r r r r}&2&3 \\ \hline &2&3&5&0&6 \\ -&2&2&4&0 \\ \hline &&&4&6 \\ -&4&6\\ \hline &&&0\end{array}$
第二个竖式（答案不唯一，因为十位和百位的$□$可以相同且为$0-9$内的任何数字，但这里给出的是通过除式反推得出的答案）：
$\begin{array}{r r r r}&1&5 \\ \hline &3&6&0 \\ -&2&4&0 \\ \hline &1&2&0 \end{array}$
第一个竖式：
从个位开始分析，$6 - 0 = 6$，所以下方的减数个位是$0$（已给出）。
十位上，$□ - 4 = 6$，显然这里的$□$应该是$0$（向百位借$1$后变为$10 - 4 = 6$），同时百位的$5$被借走$1$变为$4$。
百位上，$4 - □ = 4$，所以减数的百位$□$应该是$0$（但考虑到十位借位的情况，实际应为$4 - 0（借位后仍为原数）- 4 = 0$，即不借位时直接相等），但这里我们主要关注十位的借位情况，百位直接相减得出$0$。
由于十位需要借位，千位的$2$减去减数千位的数字后必须仍能保持为$2$（或经过借位后变为$2$），显然减数千位应为$0$（不借位）或小于$2$的数（借位后），但考虑到最高位不能是$0$，且需要借位使得十位能够进行$10 - 4$的运算，所以这里的借位应来自百位向千位的借位（即把$2$看成$1$后借$1$给百位，自己变为$1$，但由于减数千位是$0$，所以$1 - 0 = 1$，再向万位借$1$后变为$2$），但直接分析可知减数千位填$0$，万位$2$落下即可（因为不涉及万位的运算）。但简化分析，我们直接看千位结果，$2 - 0（考虑借位后的实际影响）= 2$（或理解为$2$减去任何小于它的正整数后，通过借位都能保持为$2$或更大的数，但这里只关心结果为$2$，所以填$0$），所以千位$□$填$3$（这是通过$46 ÷ 23 = 2$反推得出的除数）。
所以，第一个竖式填完后为：
$\begin{array}{r r r r}&2&3 \\ \hline &2&□&5&0&6 \\ -&-&-&4&0 \\ \hline &-&-&4&6 \end{array}$
（其中下方的减数按借位分析后应为$040$，但最高位$0$不写，且由于我们是从结果反推，所以直接写$40$表示十位和百位的减数，千位已知为$0$，万位$2$落下即可）
进一步补全得：
$\begin{array}{r r r r}&2&3 \\ \hline &2&3&5&0&6 \\ -&2&2&4&0 \\ \hline &&&4&6 \\ -&4&6\\ \hline &&&0\end{array}$
（注意这里的$2240$是通过分析得出的实际减数，与最初的$□4□0$对应）
第二个竖式：
同样从个位开始，$0 - 0 = 0$，所以减数的个位是$0$（已给出，此步实际不产生新信息）。
十位上，由于结果为$0$，且没有向百位借位（因为百位结果也是确定的数字，且没有进一步的借位标记），所以$□ - □ = 0$，即两个$□$内的数字相同。但由于我们是从结果反推，且知道这是一个减法竖式，所以更关心的是如何通过结果来确定这些$□$。
百位上，$□ - 2 = 1$（考虑十位可能借位，但此处分析可暂不考虑借位，因为结果已给出），所以被减数的百位$□$应为$3$（$3 - 2 = 1$）。
千位上，由于百位没有向千位借位（或借位后已还原），所以$1 - □ = 1$，这里的$□$应为$0$。但同样，我们更关心如何通过结果来确定减数的千位。由于这是一个三位数减三位数的竖式，且结果仍为三位数（或可看作省略了万位$0$的三位数），所以减数的千位不能使结果变为两位数。因此，减数的千位应小于或等于被减数的千位（这里被减数千位是$1$，但由于是最高位且不可能为$0$，所以实际分析时考虑的是它作为有效数字的位置）。由于结果千位为$1$，且没有向万位借位，所以减数的千位只能是$0$（使得$1 - 0 = 1$）。但这里我们实际上是通过结果和竖式的结构来反推，更直接的方法是看除式的商。
由于$360 ÷ □□ = 15$，可以通过试除或分解质因数来找到除数。但这里我们直接给出答案：除数是$24$（因为$360 ÷ 15 = 24$）。
所以，第二个竖式填完后（只关注减法部分，除式用于验证）为：
$\begin{array}{r r r r}&1&5 \\ \hline &3&6&0 \\ -&2&□&0 \\ \hline &1&□&0 \end{array}$
进一步补全得（注意这里我们实际上是通过除式的结果来补全减法的减数）：
$\begin{array}{r r r r}&1&5 \\ \hline &3&6&0 \\ -&2&4&0 \\ \hline &1&2&0 \end{array}$
（减数为$240$，与除式$360 ÷ 15 = 24$中的除数$24$（看作$240$除以$10$的简化形式）相对应）
答案：
第一个竖式：
$\begin{array}{r r r r r}&2&3 \\ \hline &2&3&5&0&6 \\ -&2&2&4&0 \\ \hline &&&4&6 \\ -&4&6\\ \hline &&&0\end{array}$
第二个竖式（答案不唯一，因为十位和百位的$□$可以相同且为$0-9$内的任何数字，但这里给出的是通过除式反推得出的答案）：
$\begin{array}{r r r r}&1&5 \\ \hline &3&6&0 \\ -&2&4&0 \\ \hline &1&2&0 \end{array}$
+跟踪练习3在□里填合适的数字。
答案：
例1 用简便方法计算下面各题。
$400 ÷ 25$ $270 ÷ 54$
$400 ÷ 25$ $270 ÷ 54$
答案：解析：
第一个算式 $400 ÷ 25$ 可以通过商不变的规律，把被除数和除数都乘4，使除数变成100，从而简化计算。
第二个算式 $270 ÷ 54$ 可以先把被除数和除数都除以9，将较大的数转化成较小的数，再计算比较简便。
答案：
$400 ÷ 25$
$= (400 × 4) ÷ (25 × 4)$
$= 1600 ÷ 100$
$= 16$
$270 ÷ 54$
$= (270 ÷ 9) ÷ (54 ÷ 9)$
$= 30 ÷ 6$
$= 5$
第一个算式 $400 ÷ 25$ 可以通过商不变的规律，把被除数和除数都乘4，使除数变成100，从而简化计算。
第二个算式 $270 ÷ 54$ 可以先把被除数和除数都除以9，将较大的数转化成较小的数，再计算比较简便。
答案：
$400 ÷ 25$
$= (400 × 4) ÷ (25 × 4)$
$= 1600 ÷ 100$
$= 16$
$270 ÷ 54$
$= (270 ÷ 9) ÷ (54 ÷ 9)$
$= 30 ÷ 6$
$= 5$