5. 已知 $\triangle ABC$ 的三边长 $a$,$b$,$c$ 都是正整数,且满足 $2a^{2}+b^{2}-4a - 6b + 11 = 0$,求 $\triangle ABC$ 的周长.
答案：5.解:$\because 2a^{2}+b^{2}-4a-6b+11=0$,$\therefore 2a^{2}-4a+2+b^{2}-6b+9=0$,$\therefore 2(a-1)^{2}+(b-3)^{2}=0$,则$a-1=0$,$b-3=0$,解得$a=1$,$b=3$.
由三角形的三边关系可知,$2＜c＜4$.
$\because a,b,c$都是正整数,$\therefore c=3$,$\therefore \triangle ABC$的周长为$1+3+3=7$.
由三角形的三边关系可知,$2＜c＜4$.
$\because a,b,c$都是正整数,$\therefore c=3$,$\therefore \triangle ABC$的周长为$1+3+3=7$.
6. 求证：$N = 5^{2}\cdot3^{2n + 1}\cdot2^{n}-3^{n}\cdot6^{n + 2}$ 能被 13 整除.
答案：6.证明:$N=5^{2}·3^{2n+1}·2^{n}-3^{n}·6^{n+2}$
$=5^{2}·(3^{2n}·3)·2^{n}-3^{n}·(6^{n}·6^{2})$
$=75·3^{2n}·2^{n}-36·3^{n}·6^{n}$
$=75·18^{n}-36·18^{n}$
$=39·18^{n}$
$=13×3·18^{n}$,
$\because 3·18^{n}$是整数,$\therefore N$能被13整除.
$=5^{2}·(3^{2n}·3)·2^{n}-3^{n}·(6^{n}·6^{2})$
$=75·3^{2n}·2^{n}-36·3^{n}·6^{n}$
$=75·18^{n}-36·18^{n}$
$=39·18^{n}$
$=13×3·18^{n}$,
$\because 3·18^{n}$是整数,$\therefore N$能被13整除.
7. 两名同学将关于 $x$ 的二次三项式 $x^{2}+ax + b$ 分解因式,一名同学因看错了一次项系数而分解成 $(x - 1)(x - 9)$,另一名同学因看错了常数项而分解成 $(x - 2)(x - 4)$.请将原多项式分解因式.
答案：7.解:由题意知常数项为$(-1)×(-9)=9$,一次项系数为$-4-2=-6$,故原多项式为$x^{2}-6x+9$.
分解因式可得$x^{2}-6x+9=(x-3)^{2}$.
分解因式可得$x^{2}-6x+9=(x-3)^{2}$.
8. 把下列各式分解因式：
(1)$x^{2}-2x - 15$； (2)$x^{2}+3x - 10$； (3)$y^{2}+10y + 21$； (4)$x^{2}-9x + 18$；
(5)$2x^{2}+5x + 2$； (6)$6y^{2}-13y + 6$； (7)$5x^{2}+6x - 8$； (8)$2x^{2}-5x - 12$.
(1)$x^{2}-2x - 15$； (2)$x^{2}+3x - 10$； (3)$y^{2}+10y + 21$； (4)$x^{2}-9x + 18$；
(5)$2x^{2}+5x + 2$； (6)$6y^{2}-13y + 6$； (7)$5x^{2}+6x - 8$； (8)$2x^{2}-5x - 12$.
答案：1. （1）
解：对于$x^{2}-2x - 15$，
因为$-15 = (-5)×3$，$-2=-5 + 3$，
根据$x^{2}+(a + b)x+ab=(x + a)(x + b)$，这里$a=-5$，$b = 3$，
所以$x^{2}-2x - 15=(x - 5)(x+3)$。
2. （2）
解：对于$x^{2}+3x - 10$，
因为$-10 = 5×(-2)$，$3 = 5+( - 2)$，
根据$x^{2}+(a + b)x+ab=(x + a)(x + b)$，这里$a = 5$，$b=-2$，
所以$x^{2}+3x - 10=(x + 5)(x-2)$。
3. （3）
解：对于$y^{2}+10y + 21$，
因为$21 = 3×7$，$10 = 3 + 7$，
根据$x^{2}+(a + b)x+ab=(x + a)(x + b)$（这里$x = y$），$a = 3$，$b = 7$，
所以$y^{2}+10y + 21=(y + 3)(y + 7)$。
4. （4）
解：对于$x^{2}-9x + 18$，
因为$18=( - 3)×(-6)$，$-9=-3+( - 6)$，
根据$x^{2}+(a + b)x+ab=(x + a)(x + b)$，这里$a=-3$，$b=-6$，
所以$x^{2}-9x + 18=(x - 3)(x - 6)$。
5. （5）
解：对于$2x^{2}+5x + 2$，
因为$2x^{2}+5x + 2=2x^{2}+4x+x + 2$，
分组得$(2x^{2}+4x)+(x + 2)$，
提取公因式$2x(x + 2)+(x + 2)$，
再提取公因式$(x + 2)(2x + 1)$。
6. （6）
解：对于$6y^{2}-13y + 6$，
$6y^{2}-13y + 6=6y^{2}-4y-9y + 6$，
分组得$(6y^{2}-4y)-(9y - 6)$，
提取公因式$2y(3y - 2)-3(3y - 2)$，
再提取公因式$(3y - 2)(2y - 3)$。
7. （7）
解：对于$5x^{2}+6x - 8$，
$5x^{2}+6x - 8=5x^{2}+10x-4x - 8$，
分组得$(5x^{2}+10x)-(4x + 8)$，
提取公因式$5x(x + 2)-4(x + 2)$，
再提取公因式$(x + 2)(5x - 4)$。
8. （8）
解：对于$2x^{2}-5x - 12$，
$2x^{2}-5x - 12=2x^{2}-8x+3x - 12$，
分组得$(2x^{2}-8x)+(3x - 12)$，
提取公因式$2x(x - 4)+3(x - 4)$，
再提取公因式$(x - 4)(2x + 3)$。
综上，（1）$(x - 5)(x + 3)$；（2）$(x + 5)(x - 2)$；（3）$(y + 3)(y + 7)$；（4）$(x - 3)(x - 6)$；（5）$(x + 2)(2x + 1)$；（6）$(3y - 2)(2y - 3)$；（7）$(x + 2)(5x - 4)$；（8）$(x - 4)(2x + 3)$。
解：对于$x^{2}-2x - 15$，
因为$-15 = (-5)×3$，$-2=-5 + 3$，
根据$x^{2}+(a + b)x+ab=(x + a)(x + b)$，这里$a=-5$，$b = 3$，
所以$x^{2}-2x - 15=(x - 5)(x+3)$。
2. （2）
解：对于$x^{2}+3x - 10$，
因为$-10 = 5×(-2)$，$3 = 5+( - 2)$，
根据$x^{2}+(a + b)x+ab=(x + a)(x + b)$，这里$a = 5$，$b=-2$，
所以$x^{2}+3x - 10=(x + 5)(x-2)$。
3. （3）
解：对于$y^{2}+10y + 21$，
因为$21 = 3×7$，$10 = 3 + 7$，
根据$x^{2}+(a + b)x+ab=(x + a)(x + b)$（这里$x = y$），$a = 3$，$b = 7$，
所以$y^{2}+10y + 21=(y + 3)(y + 7)$。
4. （4）
解：对于$x^{2}-9x + 18$，
因为$18=( - 3)×(-6)$，$-9=-3+( - 6)$，
根据$x^{2}+(a + b)x+ab=(x + a)(x + b)$，这里$a=-3$，$b=-6$，
所以$x^{2}-9x + 18=(x - 3)(x - 6)$。
5. （5）
解：对于$2x^{2}+5x + 2$，
因为$2x^{2}+5x + 2=2x^{2}+4x+x + 2$，
分组得$(2x^{2}+4x)+(x + 2)$，
提取公因式$2x(x + 2)+(x + 2)$，
再提取公因式$(x + 2)(2x + 1)$。
6. （6）
解：对于$6y^{2}-13y + 6$，
$6y^{2}-13y + 6=6y^{2}-4y-9y + 6$，
分组得$(6y^{2}-4y)-(9y - 6)$，
提取公因式$2y(3y - 2)-3(3y - 2)$，
再提取公因式$(3y - 2)(2y - 3)$。
7. （7）
解：对于$5x^{2}+6x - 8$，
$5x^{2}+6x - 8=5x^{2}+10x-4x - 8$，
分组得$(5x^{2}+10x)-(4x + 8)$，
提取公因式$5x(x + 2)-4(x + 2)$，
再提取公因式$(x + 2)(5x - 4)$。
8. （8）
解：对于$2x^{2}-5x - 12$，
$2x^{2}-5x - 12=2x^{2}-8x+3x - 12$，
分组得$(2x^{2}-8x)+(3x - 12)$，
提取公因式$2x(x - 4)+3(x - 4)$，
再提取公因式$(x - 4)(2x + 3)$。
综上，（1）$(x - 5)(x + 3)$；（2）$(x + 5)(x - 2)$；（3）$(y + 3)(y + 7)$；（4）$(x - 3)(x - 6)$；（5）$(x + 2)(2x + 1)$；（6）$(3y - 2)(2y - 3)$；（7）$(x + 2)(5x - 4)$；（8）$(x - 4)(2x + 3)$。