11. 已知$A = a^{2}-b^{2}-2b - 1$,当$a = 2025$,$b = 2023$时,求$A$的值.
答案：解:A=a²-b²-2b-1=a²-(b²+2b+1)=a²-(b+1)²=(a+b+1)(a-b-1).当a=2025,b=2023时，A=(a+b+1)(a-b-1)=(2025+2023+1)×(2025-2023-1)=4049×1=4049.
解析：
解：$A = a^{2} - b^{2} - 2b - 1$
$= a^{2} - (b^{2} + 2b + 1)$
$= a^{2} - (b + 1)^{2}$
$= (a + b + 1)(a - b - 1)$
当$a = 2025$，$b = 2023$时，
$A = (2025 + 2023 + 1)×(2025 - 2023 - 1)$
$= 4049×1$
$= 4049$
$= a^{2} - (b^{2} + 2b + 1)$
$= a^{2} - (b + 1)^{2}$
$= (a + b + 1)(a - b - 1)$
当$a = 2025$，$b = 2023$时，
$A = (2025 + 2023 + 1)×(2025 - 2023 - 1)$
$= 4049×1$
$= 4049$
12. 已知$\triangle ABC的三边长分别是a$,$b$,$c$.
(1)当$b^{2}+2ab = c^{2}+2ac$时,试判断$\triangle ABC$的形状；
(2)判断式子$a^{2}-b^{2}+c^{2}-2ac$的值的符号.
(1)当$b^{2}+2ab = c^{2}+2ac$时,试判断$\triangle ABC$的形状；
(2)判断式子$a^{2}-b^{2}+c^{2}-2ac$的值的符号.
答案：解:
(1)b²+2ab=c²+2ac可变为b²-c²=2ac-2ab，(b+c)(b-c)=2a(c-b),
∴(b+c+2a)(b-c)=0，
∵a,b,c为△ABC的三边长,
∴b+c+2a＞0，
∴b-c=0,
∴b=c,
∴△ABC是等腰三角形.
(2)a²-b²+c²-2ac=(a-c)²-b²=(a-c+b)(a-c-b).
∵a,b,c为△ABC的三边长，
∴a-c+b＞0,a-c-b＜0，
∴a²-b²+c²-2ac＜0.
(1)b²+2ab=c²+2ac可变为b²-c²=2ac-2ab，(b+c)(b-c)=2a(c-b),
∴(b+c+2a)(b-c)=0，
∵a,b,c为△ABC的三边长,
∴b+c+2a＞0，
∴b-c=0,
∴b=c,
∴△ABC是等腰三角形.
(2)a²-b²+c²-2ac=(a-c)²-b²=(a-c+b)(a-c-b).
∵a,b,c为△ABC的三边长，
∴a-c+b＞0,a-c-b＜0，
∴a²-b²+c²-2ac＜0.
13. 【阅读材料】如果一个多项式不是完全平方式,我们常做如下的变形：先添加一个适当的项,使式子中出现完全平方式,再减去这个项,使整个式子的值不变,这种方法叫作配方法. 配方法是一种重要的解决问题的数学方法,利用配方法可以将多项式进行因式分解,还能解决一些与非负数有关的问题或求式子的最大值、最小值.
例如：$x^{2}+2x - 3= (x^{2}+2x + 1)-4= (x + 1)^{2}-4$.
请仿照上例解决以下问题：
(1)因式分解：$m^{2}-4m - 5$；
(2)证明：对于任意实数$x$,$y$,多项式$x^{2}-6xy + 10y^{2}-4y + 6$的值总为正数.
例如：$x^{2}+2x - 3= (x^{2}+2x + 1)-4= (x + 1)^{2}-4$.
请仿照上例解决以下问题：
(1)因式分解：$m^{2}-4m - 5$；
(2)证明：对于任意实数$x$,$y$,多项式$x^{2}-6xy + 10y^{2}-4y + 6$的值总为正数.
答案：
(1)解:m²-4m-5=(m²-4m+4)-9=(m-2)²-9=(m-2+3)(m-2-3)=(m+1)(m-5).
(2)证明:x²-6xy+10y²-4y+6=x²-6xy+9y²+y²-4y+4+2=(x-3y)²+(y-2)²+2
∵(x-3y)²≥0,(y-2)²≥0，
∴(x-3y)²+(y-2)²+2≥2，
∴多项式x²-6xy+10y²-4y+6的值总为正数.
(1)解:m²-4m-5=(m²-4m+4)-9=(m-2)²-9=(m-2+3)(m-2-3)=(m+1)(m-5).
(2)证明:x²-6xy+10y²-4y+6=x²-6xy+9y²+y²-4y+4+2=(x-3y)²+(y-2)²+2
∵(x-3y)²≥0,(y-2)²≥0，
∴(x-3y)²+(y-2)²+2≥2，
∴多项式x²-6xy+10y²-4y+6的值总为正数.