1. 下列标志中,可以看作轴对称图形的是(
D
)答案：D
2. 如果点$A(m + 2,m - 1)$在x轴上,那么点$B(m + 3,m - 2)$关于x轴的对称点所在的象限是(
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
A
)A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案：A
解析：
解：因为点$A(m + 2,m - 1)$在$x$轴上，所以$m - 1 = 0$，解得$m = 1$。
则点$B$的坐标为$m + 3 = 1 + 3 = 4$，$m - 2 = 1 - 2 = -1$，即$B(4, -1)$。
点$B$关于$x$轴的对称点的坐标为$(4, 1)$，在第一象限。
A
则点$B$的坐标为$m + 3 = 1 + 3 = 4$，$m - 2 = 1 - 2 = -1$，即$B(4, -1)$。
点$B$关于$x$轴的对称点的坐标为$(4, 1)$，在第一象限。
A
3. 下列三角形中,不一定是等边三角形的是(
A.有两个角等于$60^{\circ}$的三角形
B.有一个外角等于$120^{\circ}$的等腰三角形
C.三个角都相等的三角形
D.一边上的高也是这边上的中线的三角形
D
)A.有两个角等于$60^{\circ}$的三角形
B.有一个外角等于$120^{\circ}$的等腰三角形
C.三个角都相等的三角形
D.一边上的高也是这边上的中线的三角形
答案：D
解析：
解：
A. 有两个角等于$60^{\circ}$的三角形，第三个角为$180^{\circ}-60^{\circ}-60^{\circ}=60^{\circ}$，三个角都相等，是等边三角形。
B. 有一个外角等于$120^{\circ}$，则与它相邻的内角为$60^{\circ}$。若此角为顶角，等腰三角形两底角相等，均为$(180^{\circ}-60^{\circ})÷2=60^{\circ}$；若此角为底角，则另一个底角也为$60^{\circ}$，顶角为$180^{\circ}-60^{\circ}-60^{\circ}=60^{\circ}$，三个角都为$60^{\circ}$，是等边三角形。
C. 三个角都相等的三角形，每个角为$60^{\circ}$，是等边三角形。
D. 一边上的高也是这边上的中线的三角形，此三角形是等腰三角形，但不一定是等边三角形。
答案：D
A. 有两个角等于$60^{\circ}$的三角形，第三个角为$180^{\circ}-60^{\circ}-60^{\circ}=60^{\circ}$，三个角都相等，是等边三角形。
B. 有一个外角等于$120^{\circ}$，则与它相邻的内角为$60^{\circ}$。若此角为顶角，等腰三角形两底角相等，均为$(180^{\circ}-60^{\circ})÷2=60^{\circ}$；若此角为底角，则另一个底角也为$60^{\circ}$，顶角为$180^{\circ}-60^{\circ}-60^{\circ}=60^{\circ}$，三个角都为$60^{\circ}$，是等边三角形。
C. 三个角都相等的三角形，每个角为$60^{\circ}$，是等边三角形。
D. 一边上的高也是这边上的中线的三角形，此三角形是等腰三角形，但不一定是等边三角形。
答案：D
4. 如图,在$\triangle ABC与\triangle AEF$中,点$F在BC$上,$AB交EF于点D$,$AB = AE$,$\angle B= \angle E = 30^{\circ}$,$\angle EAB= \angle CAF$,$\angle EAF = 80^{\circ}$,则$\angle FAC= $(
A.$40^{\circ}$
B.$60^{\circ}$
C.$50^{\circ}$
D.$70^{\circ}$
A
)A.$40^{\circ}$
B.$60^{\circ}$
C.$50^{\circ}$
D.$70^{\circ}$
答案：A
5. 如图,在$\triangle ABC$中,根据尺规作图的痕迹,下列说法不一定正确的是(
A.$AF = BF$
B.$AE= \frac{1}{2}AC$
C.$\angle DBF+\angle DFB = 90^{\circ}$
D.$\angle BAF= \angle EBC$
B
)A.$AF = BF$
B.$AE= \frac{1}{2}AC$
C.$\angle DBF+\angle DFB = 90^{\circ}$
D.$\angle BAF= \angle EBC$
答案：B
6. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$\angle A = 30^{\circ}$,且$\triangle ABC$的面积是4,则$AB$的长为(
A.2
B.4
C.8
D.6
B
)A.2
B.4
C.8
D.6
答案：B
解析：
解：过点B作BD⊥AC于点D。
设AB = AC = x。
在Rt△ABD中，∠A = 30°，
∴BD = AB·sin30° = x·$\frac{1}{2}$ = $\frac{x}{2}$。
∵S△ABC = $\frac{1}{2}$·AC·BD = 4，
∴$\frac{1}{2}$·x·$\frac{x}{2}$ = 4，
即$\frac{x^2}{4}$ = 4，
x2 = 16，
x = 4（负值舍去）。
∴AB的长为4。
答案：B
设AB = AC = x。
在Rt△ABD中，∠A = 30°，
∴BD = AB·sin30° = x·$\frac{1}{2}$ = $\frac{x}{2}$。
∵S△ABC = $\frac{1}{2}$·AC·BD = 4，
∴$\frac{1}{2}$·x·$\frac{x}{2}$ = 4，
即$\frac{x^2}{4}$ = 4，
x2 = 16，
x = 4（负值舍去）。
∴AB的长为4。
答案：B
7. 如图,在$\triangle ABC$中,$BC = AC$,$\angle B = 35^{\circ}$,$\angle ECM = 15^{\circ}$,$AF\perp CM$,若$AF = 2.5$,则$AB$的长为(
A.5
B.5.5
C.7
D.6
A
)A.5
B.5.5
C.7
D.6
答案：A
解析：
解：
∵ $BC = AC$,
∴ $\triangle ABC$ 是等腰三角形，$\angle B = \angle BAC = 35^\circ$.
∴ $\angle ACB = 180^\circ - 2 × 35^\circ = 110^\circ$.
∵ $\angle ECM = 15^\circ$, 且 $B, C, E$ 共线，
∴ $\angle ACM = 180^\circ - \angle ACB - \angle ECM = 180^\circ - 110^\circ - 15^\circ = 55^\circ$.
∵ $AF \perp CM$,
∴ $\triangle AFC$ 是直角三角形，$\angle AFC = 90^\circ$.
∴ $\angle CAF = 90^\circ - \angle ACM = 90^\circ - 55^\circ = 35^\circ$.
在 $\triangle AFC$ 中，$\sin \angle ACM = \frac{AF}{AC}$,
即 $\sin 55^\circ = \frac{2.5}{AC}$.
在 $\triangle ABC$ 中，由正弦定理：$\frac{AB}{\sin \angle ACB} = \frac{AC}{\sin \angle B}$,
即 $\frac{AB}{\sin 110^\circ} = \frac{AC}{\sin 35^\circ}$.
∵ $\sin 110^\circ = \sin (90^\circ + 20^\circ) = \cos 20^\circ$, 且 $\sin 55^\circ = \cos 35^\circ$, 但简化可得 $\sin 110^\circ = \sin 70^\circ = 2 \sin 35^\circ \cos 35^\circ$,
又 $\sin 55^\circ = \cos 35^\circ$, 故 $AC = \frac{2.5}{\cos 35^\circ}$,
代入正弦定理：$AB = AC \cdot \frac{\sin 110^\circ}{\sin 35^\circ} = \frac{2.5}{\cos 35^\circ} \cdot \frac{2 \sin 35^\circ \cos 35^\circ}{\sin 35^\circ} = 5$.
∴ $AB = 5$.
答案：A
∵ $BC = AC$,
∴ $\triangle ABC$ 是等腰三角形，$\angle B = \angle BAC = 35^\circ$.
∴ $\angle ACB = 180^\circ - 2 × 35^\circ = 110^\circ$.
∵ $\angle ECM = 15^\circ$, 且 $B, C, E$ 共线，
∴ $\angle ACM = 180^\circ - \angle ACB - \angle ECM = 180^\circ - 110^\circ - 15^\circ = 55^\circ$.
∵ $AF \perp CM$,
∴ $\triangle AFC$ 是直角三角形，$\angle AFC = 90^\circ$.
∴ $\angle CAF = 90^\circ - \angle ACM = 90^\circ - 55^\circ = 35^\circ$.
在 $\triangle AFC$ 中，$\sin \angle ACM = \frac{AF}{AC}$,
即 $\sin 55^\circ = \frac{2.5}{AC}$.
在 $\triangle ABC$ 中，由正弦定理：$\frac{AB}{\sin \angle ACB} = \frac{AC}{\sin \angle B}$,
即 $\frac{AB}{\sin 110^\circ} = \frac{AC}{\sin 35^\circ}$.
∵ $\sin 110^\circ = \sin (90^\circ + 20^\circ) = \cos 20^\circ$, 且 $\sin 55^\circ = \cos 35^\circ$, 但简化可得 $\sin 110^\circ = \sin 70^\circ = 2 \sin 35^\circ \cos 35^\circ$,
又 $\sin 55^\circ = \cos 35^\circ$, 故 $AC = \frac{2.5}{\cos 35^\circ}$,
代入正弦定理：$AB = AC \cdot \frac{\sin 110^\circ}{\sin 35^\circ} = \frac{2.5}{\cos 35^\circ} \cdot \frac{2 \sin 35^\circ \cos 35^\circ}{\sin 35^\circ} = 5$.
∴ $AB = 5$.
答案：A
8. 如图,将$\triangle ABC$放在每个小正方形的边长均为1的网格中,点$A$,$B$,$C$均落在格点上,若点$B的坐标为(2,-1)$,点$C的坐标为(1,2)$,则到$\triangle ABC$三个顶点距离相等的点的坐标为(
A.$(0,1)$
B.$(3,1)$
C.$(1,-1)$
D.$(0,0)$
D
)A.$(0,1)$
B.$(3,1)$
C.$(1,-1)$
D.$(0,0)$
答案：D
解析：
解：设点A坐标为$(x,y)$，由网格及B(2,-1)、C(1,2)可确定A(0,0)。到三角形三个顶点距离相等的点是外接圆圆心，即三边垂直平分线交点。
AB中点$(\frac{0+2}{2},\frac{0+(-1)}{2})=(1,-0.5)$，AB斜率$\frac{-1-0}{2-0}=-\frac{1}{2}$，AB垂直平分线斜率为2，方程：$y+0.5=2(x-1)$，即$y=2x-2.5$。
AC中点$(\frac{0+1}{2},\frac{0+2}{2})=(0.5,1)$，AC斜率$\frac{2-0}{1-0}=2$，AC垂直平分线斜率为$-\frac{1}{2}$，方程：$y-1=-\frac{1}{2}(x-0.5)$，即$y=-\frac{1}{2}x+\frac{5}{4}$。
联立$\begin{cases}y=2x-2.5\\y=-\frac{1}{2}x+\frac{5}{4}\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=0\\y=0\end{cases}$。
答案：D
AB中点$(\frac{0+2}{2},\frac{0+(-1)}{2})=(1,-0.5)$，AB斜率$\frac{-1-0}{2-0}=-\frac{1}{2}$，AB垂直平分线斜率为2，方程：$y+0.5=2(x-1)$，即$y=2x-2.5$。
AC中点$(\frac{0+1}{2},\frac{0+2}{2})=(0.5,1)$，AC斜率$\frac{2-0}{1-0}=2$，AC垂直平分线斜率为$-\frac{1}{2}$，方程：$y-1=-\frac{1}{2}(x-0.5)$，即$y=-\frac{1}{2}x+\frac{5}{4}$。
联立$\begin{cases}y=2x-2.5\\y=-\frac{1}{2}x+\frac{5}{4}\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=0\\y=0\end{cases}$。
答案：D