1.(2024春·秦淮区月考)周长为30,各边互不相等且都是整数的三角形共有
12
个.答案：12 点拨:设三角形的三边长为$a$,$b$,$c$,且$a\lt b\lt c$.$\because a + b + c = 30$,$a + b\gt c$,$\therefore 10\lt c\lt 15$.$\because c$为整数,$\therefore c$为$11$,$12$,$13$,$14$.当$c$为$14$时,有$5$个三角形,分别是$14$,$13$,$3$;$14$,$12$,$4$;$14$,$11$,$5$;$14$,$10$,$6$;$14$,$9$,$7$;当$c$为$13$时,有$4$个三角形,分别是$13$,$12$,$5$;$13$,$11$,$6$;$13$,$10$,$7$;$13$,$9$,$8$;当$c$为$12$时,有$2$个三角形,分别是$12$,$11$,$7$;$12$,$10$,$8$;当$c$为$11$时,有$1$个三角形,是$11$,$10$,$9$.故答案为$12$.
解析：
解：设三角形的三边长为$a$，$b$，$c$，且$a ＜ b ＜ c$。
因为$a + b + c = 30$，三角形任意两边之和大于第三边，所以$a + b ＞ c$，即$30 - c ＞ c$，解得$c ＜ 15$。
又因为$a ＜ b ＜ c$，所以$a + b + c ＜ 3c$，即$30 ＜ 3c$，解得$c ＞ 10$。
综上，$10 ＜ c ＜ 15$，因为$c$为整数，所以$c$的值为$11$，$12$，$13$，$14$。
当$c = 14$时，$a + b = 16$，且$a ＜ b ＜ 14$，$a + b ＞ 14$，可得：
$b$的取值范围为$8 ＜ b ＜ 14$，$b$为整数，所以$b = 13$，$12$，$11$，$10$，$9$，对应$a = 3$，$4$，$5$，$6$，$7$，共$5$个三角形：$(3,13,14)$，$(4,12,14)$，$(5,11,14)$，$(6,10,14)$，$(7,9,14)$。
当$c = 13$时，$a + b = 17$，且$a ＜ b ＜ 13$，$a + b ＞ 13$，可得：
$b$的取值范围为$8.5 ＜ b ＜ 13$，$b$为整数，所以$b = 12$，$11$，$10$，$9$，对应$a = 5$，$6$，$7$，$8$，共$4$个三角形：$(5,12,13)$，$(6,11,13)$，$(7,10,13)$，$(8,9,13)$。
当$c = 12$时，$a + b = 18$，且$a ＜ b ＜ 12$，$a + b ＞ 12$，可得：
$b$的取值范围为$9 ＜ b ＜ 12$，$b$为整数，所以$b = 11$，$10$，对应$a = 7$，$8$，共$2$个三角形：$(7,11,12)$，$(8,10,12)$。
当$c = 11$时，$a + b = 19$，且$a ＜ b ＜ 11$，$a + b ＞ 11$，可得：
$b$的取值范围为$9.5 ＜ b ＜ 11$，$b$为整数，所以$b = 10$，对应$a = 9$，共$1$个三角形：$(9,10,11)$。
综上，满足条件的三角形共有$5 + 4 + 2 + 1 = 12$个。
故答案为$12$。
因为$a + b + c = 30$，三角形任意两边之和大于第三边，所以$a + b ＞ c$，即$30 - c ＞ c$，解得$c ＜ 15$。
又因为$a ＜ b ＜ c$，所以$a + b + c ＜ 3c$，即$30 ＜ 3c$，解得$c ＞ 10$。
综上，$10 ＜ c ＜ 15$，因为$c$为整数，所以$c$的值为$11$，$12$，$13$，$14$。
当$c = 14$时，$a + b = 16$，且$a ＜ b ＜ 14$，$a + b ＞ 14$，可得：
$b$的取值范围为$8 ＜ b ＜ 14$，$b$为整数，所以$b = 13$，$12$，$11$，$10$，$9$，对应$a = 3$，$4$，$5$，$6$，$7$，共$5$个三角形：$(3,13,14)$，$(4,12,14)$，$(5,11,14)$，$(6,10,14)$，$(7,9,14)$。
当$c = 13$时，$a + b = 17$，且$a ＜ b ＜ 13$，$a + b ＞ 13$，可得：
$b$的取值范围为$8.5 ＜ b ＜ 13$，$b$为整数，所以$b = 12$，$11$，$10$，$9$，对应$a = 5$，$6$，$7$，$8$，共$4$个三角形：$(5,12,13)$，$(6,11,13)$，$(7,10,13)$，$(8,9,13)$。
当$c = 12$时，$a + b = 18$，且$a ＜ b ＜ 12$，$a + b ＞ 12$，可得：
$b$的取值范围为$9 ＜ b ＜ 12$，$b$为整数，所以$b = 11$，$10$，对应$a = 7$，$8$，共$2$个三角形：$(7,11,12)$，$(8,10,12)$。
当$c = 11$时，$a + b = 19$，且$a ＜ b ＜ 11$，$a + b ＞ 11$，可得：
$b$的取值范围为$9.5 ＜ b ＜ 11$，$b$为整数，所以$b = 10$，对应$a = 9$，共$1$个三角形：$(9,10,11)$。
综上，满足条件的三角形共有$5 + 4 + 2 + 1 = 12$个。
故答案为$12$。
2.$△ABC$的两条高的长度分别为4和12,若第三条高的长度也为整数,求第三条高的长度.
答案：解:设$\triangle ABC$的三边分别为$a$,$b$,$c$.
由题意,不妨令$a$边上的高为$4$,$b$边上的高为$12$,$c$边上的高为$x$,
$\therefore S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}× 4a=\frac{1}{2}× 12b=\frac{1}{2}xc$,
$\therefore 4a = 12b = xc$,$\therefore a=\frac{xc}{4}$,$b=\frac{xc}{12}$.
$\because a - b\lt c\lt a + b$,$\therefore \left\{\begin{array}{l}\frac{xc}{4}-\frac{xc}{12}\lt c,\\ \frac{xc}{4}+\frac{xc}{12}\gt c.\end{array}\right.$
$\because c\gt 0$,$\therefore 3\lt x\lt 6$.
$\because x$为整数,$\therefore x = 4$或$5$.
$\therefore$第三条高的长度为$4$或$5$.
由题意,不妨令$a$边上的高为$4$,$b$边上的高为$12$,$c$边上的高为$x$,
$\therefore S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}× 4a=\frac{1}{2}× 12b=\frac{1}{2}xc$,
$\therefore 4a = 12b = xc$,$\therefore a=\frac{xc}{4}$,$b=\frac{xc}{12}$.
$\because a - b\lt c\lt a + b$,$\therefore \left\{\begin{array}{l}\frac{xc}{4}-\frac{xc}{12}\lt c,\\ \frac{xc}{4}+\frac{xc}{12}\gt c.\end{array}\right.$
$\because c\gt 0$,$\therefore 3\lt x\lt 6$.
$\because x$为整数,$\therefore x = 4$或$5$.
$\therefore$第三条高的长度为$4$或$5$.
3.已知a,b,c是$△ABC$的三边长.
(1)化简:$|a-b-c|+|b-c-a|+|c-a-b|;$
(2)若$△ABC$为等腰三角形,且周长为18,$a= 4$,求b,c的值;
(3)若$b= a+2,c= a+5$,且$△ABC$的周长不超过37,求a的取值范围.
(1)化简:$|a-b-c|+|b-c-a|+|c-a-b|;$
(2)若$△ABC$为等腰三角形,且周长为18,$a= 4$,求b,c的值;
(3)若$b= a+2,c= a+5$,且$△ABC$的周长不超过37,求a的取值范围.
答案：解:(1)$\because a$,$b$,$c$是$\triangle ABC$的三边长,
$\therefore a - b - c\lt 0$,$b - c - a\lt 0$,$c - a - b\lt 0$,
$\therefore$原式$= b + c - a + a + c - b + a + b - c = a + b + c$.
(2)若$a$是底边,则$b = c$,有$2b + 4 = 18$,
解得$b = 7$,即$b = c = 7$;
若$a$是腰,$a = b$,则$2× 4 + c = 18$,解得$c = 10$,
而$4 + 4\lt 10$,不能构成三角形,舍去.
$\therefore b = c = 7$.
(3)根据三角形三边关系,得$\left\{\begin{array}{l}a + 5\lt a + a + 2,\\ a + a + 2 + a + 5\leqslant 37,\end{array}\right.$解得$3\lt a\leqslant 10$.
$\therefore a - b - c\lt 0$,$b - c - a\lt 0$,$c - a - b\lt 0$,
$\therefore$原式$= b + c - a + a + c - b + a + b - c = a + b + c$.
(2)若$a$是底边,则$b = c$,有$2b + 4 = 18$,
解得$b = 7$,即$b = c = 7$;
若$a$是腰,$a = b$,则$2× 4 + c = 18$,解得$c = 10$,
而$4 + 4\lt 10$,不能构成三角形,舍去.
$\therefore b = c = 7$.
(3)根据三角形三边关系,得$\left\{\begin{array}{l}a + 5\lt a + a + 2,\\ a + a + 2 + a + 5\leqslant 37,\end{array}\right.$解得$3\lt a\leqslant 10$.