1. 已知实数 $a,b$ 满足 $a - b^{2}= 4$,则代数式 $3a - a^{2}-b^{2}$ 的最大值为 (
A.$-4$
B.$-5$
C.$4$
D.$5$
A
)A.$-4$
B.$-5$
C.$4$
D.$5$
答案：A 点拨：∵a - b² = 4，∴b² = a - 4，
∴3a - a² - b² = 3a - a² - (a - 4) = -a² + 2a + 4 = -(a - 1)² + 5。∵b² = a - 4 ≥ 0，∴a ≥ 4。
∵-1 ＜ 0，∴当a ≥ 4时，原式的值随着a的增大而减小，
∴当a = 4时，原式取最大值，且最大值为-4。
∴3a - a² - b² = 3a - a² - (a - 4) = -a² + 2a + 4 = -(a - 1)² + 5。∵b² = a - 4 ≥ 0，∴a ≥ 4。
∵-1 ＜ 0，∴当a ≥ 4时，原式的值随着a的增大而减小，
∴当a = 4时，原式取最大值，且最大值为-4。
2. (2023·南通如东期末)已知实数 $a,b$ 满足条件：$a^{2}+4b^{2}-a + 4b+\frac{5}{4}= 0$,则 $-ab$ 的平方根是______
$\pm\frac{1}{2}$
。答案：解：$\begin{aligned}a^{2}+4b^{2}-a + 4b+\frac{5}{4}&=0\\\left(a^{2}-a+\frac{1}{4}\right)+\left(4b^{2}+4b + 1\right)&=0\\\left(a-\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(2b + 1\right)^{2}&=0\end{aligned}$
因为平方数非负，所以$a-\frac{1}{2}=0$，$2b + 1=0$，解得$a=\frac{1}{2}$，$b=-\frac{1}{2}$。
$-ab=-\frac{1}{2}×\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{4}$，$\frac{1}{4}$的平方根是$\pm\frac{1}{2}$。
$\pm\frac{1}{2}$
因为平方数非负，所以$a-\frac{1}{2}=0$，$2b + 1=0$，解得$a=\frac{1}{2}$，$b=-\frac{1}{2}$。
$-ab=-\frac{1}{2}×\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{4}$，$\frac{1}{4}$的平方根是$\pm\frac{1}{2}$。
$\pm\frac{1}{2}$
解析：
3. 阅读与思考：先添加一个适当的项,使式子中出现完全平方式,再减去这个项,使整个式子的值不变,这种方法叫作配方法。配方法是一种重要的解决问题的数学方法。
例如：$x^{2}-6x + 10= (x^{2}-6x + 9)+10 - 9= (x - 3)^{2}+1$。
(1)【解决问题】补全下列完全平方式：
① $x^{2}-2x+$
(2)【变式训练】试说明：无论 $x$ 取何值,代数式 $x^{2}-12x + 37$ 的值是正数；
(3)【深入研究】若 $M = 2x^{2}+4x + 5 + y^{2},N = x^{2}+6x + 4$,比较 $M,N$ 的大小；
(4)【拓展应用】关于 $x,y$ 的二元一次方程组 $\begin{cases}x + my + 1 = 0,\\(m + 1)x + ny = 0\end{cases} $ 和 $\begin{cases}2x - y = m - n,\\x + y = 2m + n\end{cases} $ 的解相同,求 $m + 2n$ 的值。
例如：$x^{2}-6x + 10= (x^{2}-6x + 9)+10 - 9= (x - 3)^{2}+1$。
(1)【解决问题】补全下列完全平方式：
① $x^{2}-2x+$
1
,②4y²
$+4y + 1$；(2)【变式训练】试说明：无论 $x$ 取何值,代数式 $x^{2}-12x + 37$ 的值是正数；
证明：x² - 12x + 37 = x² - 12x + 36 + 37 - 36 = (x - 6)² + 1，∵(x - 6)² ≥ 0，∴(x - 6)² + 1 ＞ 0，
∴无论x取何值，代数式x² - 12x + 37的值是正数。
∴无论x取何值，代数式x² - 12x + 37的值是正数。
(3)【深入研究】若 $M = 2x^{2}+4x + 5 + y^{2},N = x^{2}+6x + 4$,比较 $M,N$ 的大小；
解：M - N = (2x² + 4x + 5 + y²) - (x² + 6x + 4)
= 2x² + 4x + 5 + y² - x² - 6x - 4
= x² - 2x + 1 + y²
= (x - 1)² + y²，
∵(x - 1)² ≥ 0，y² ≥ 0，
∴(x - 1)² + y² ≥ 0，∴M ≥ N。
= 2x² + 4x + 5 + y² - x² - 6x - 4
= x² - 2x + 1 + y²
= (x - 1)² + y²，
∵(x - 1)² ≥ 0，y² ≥ 0，
∴(x - 1)² + y² ≥ 0，∴M ≥ N。
(4)【拓展应用】关于 $x,y$ 的二元一次方程组 $\begin{cases}x + my + 1 = 0,\\(m + 1)x + ny = 0\end{cases} $ 和 $\begin{cases}2x - y = m - n,\\x + y = 2m + n\end{cases} $ 的解相同,求 $m + 2n$ 的值。
解：解第二个方程组得{x = m, y = m + n,}
代入第一个方程组得{m + m(m + n) + 1 = 0 ①, (m + 1)m + n(m + n) = 0 ②,}
① + ② 得：m² + 2m + 1 + (m + n)² = 0，
∴(m + 1)² + (m + n)² = 0，
∴m + 1 = 0，m + n = 0，∴m = -1，n = 1，
∴m + 2n = -1 + 2 = 1，∴m + 2n的值为 1。
代入第一个方程组得{m + m(m + n) + 1 = 0 ①, (m + 1)m + n(m + n) = 0 ②,}
① + ② 得：m² + 2m + 1 + (m + n)² = 0，
∴(m + 1)² + (m + n)² = 0，
∴m + 1 = 0，m + n = 0，∴m = -1，n = 1，
∴m + 2n = -1 + 2 = 1，∴m + 2n的值为 1。
答案：(1) ① 1 ② 4y²
(2) 证明：x² - 12x + 37 = x² - 12x + 36 + 37 - 36 = (x - 6)² + 1，∵(x - 6)² ≥ 0，∴(x - 6)² + 1 ＞ 0，
∴无论x取何值，代数式x² - 12x + 37的值是正数。
(3) 解：M - N = (2x² + 4x + 5 + y²) - (x² + 6x + 4)
= 2x² + 4x + 5 + y² - x² - 6x - 4
= x² - 2x + 1 + y²
= (x - 1)² + y²，
∵(x - 1)² ≥ 0，y² ≥ 0，
∴(x - 1)² + y² ≥ 0，∴M ≥ N。
(4) 解：解第二个方程组得{x = m, y = m + n,}
代入第一个方程组得{m + m(m + n) + 1 = 0 ①, (m + 1)m + n(m + n) = 0 ②,}
① + ② 得：m² + 2m + 1 + (m + n)² = 0，
∴(m + 1)² + (m + n)² = 0，
∴m + 1 = 0，m + n = 0，∴m = -1，n = 1，
∴m + 2n = -1 + 2 = 1，∴m + 2n的值为 1。
(2) 证明：x² - 12x + 37 = x² - 12x + 36 + 37 - 36 = (x - 6)² + 1，∵(x - 6)² ≥ 0，∴(x - 6)² + 1 ＞ 0，
∴无论x取何值，代数式x² - 12x + 37的值是正数。
(3) 解：M - N = (2x² + 4x + 5 + y²) - (x² + 6x + 4)
= 2x² + 4x + 5 + y² - x² - 6x - 4
= x² - 2x + 1 + y²
= (x - 1)² + y²，
∵(x - 1)² ≥ 0，y² ≥ 0，
∴(x - 1)² + y² ≥ 0，∴M ≥ N。
(4) 解：解第二个方程组得{x = m, y = m + n,}
代入第一个方程组得{m + m(m + n) + 1 = 0 ①, (m + 1)m + n(m + n) = 0 ②,}
① + ② 得：m² + 2m + 1 + (m + n)² = 0，
∴(m + 1)² + (m + n)² = 0，
∴m + 1 = 0，m + n = 0，∴m = -1，n = 1，
∴m + 2n = -1 + 2 = 1，∴m + 2n的值为 1。