9. (2024·昆山期中)已知多项式 $-5x^{2}y - 2nxy + 4my^{2} - 3xy - 2y^{2} + 4x - 7$ 是关于 $x,y$ 的三次三项式,则 $m + n = $
-1
.答案：-1
解析：
$-5x^{2}y - 2nxy + 4my^{2} - 3xy - 2y^{2} + 4x - 7$
$=-5x^{2}y + (-2n - 3)xy + (4m - 2)y^{2} + 4x - 7$
因为多项式是关于$x,y$的三次三项式，
所以$4m - 2 = 0$，$-2n - 3 = 0$，$4x$的系数为$0$不成立（此处应为$4x$的系数$4\neq0$，但要保证三项式，所以$4x$必须与其他项合并消失，即$4=0$不成立，故只能是$(-2n - 3)xy$和$(4m - 2)y^{2}$其中两项系数为$0$，且剩下三项中$4x$不能单独存在，所以$4x$的系数$4$必须为$0$，矛盾，重新分析：三次项为$-5x^{2}y$（三次），所以其他项需合并后只剩两项，
则$(-2n - 3)xy$系数为$0$：$-2n - 3 = 0$，$n=-\frac{3}{2}$；
$(4m - 2)y^{2}$系数为$0$：$4m - 2 = 0$，$m=\frac{1}{2}$；
此时多项式为$-5x^{2}y + 4x - 7$，是三次三项式，满足条件。
所以$m + n=\frac{1}{2}+(-\frac{3}{2})=-1$
$-1$
$=-5x^{2}y + (-2n - 3)xy + (4m - 2)y^{2} + 4x - 7$
因为多项式是关于$x,y$的三次三项式，
所以$4m - 2 = 0$，$-2n - 3 = 0$，$4x$的系数为$0$不成立（此处应为$4x$的系数$4\neq0$，但要保证三项式，所以$4x$必须与其他项合并消失，即$4=0$不成立，故只能是$(-2n - 3)xy$和$(4m - 2)y^{2}$其中两项系数为$0$，且剩下三项中$4x$不能单独存在，所以$4x$的系数$4$必须为$0$，矛盾，重新分析：三次项为$-5x^{2}y$（三次），所以其他项需合并后只剩两项，
则$(-2n - 3)xy$系数为$0$：$-2n - 3 = 0$，$n=-\frac{3}{2}$；
$(4m - 2)y^{2}$系数为$0$：$4m - 2 = 0$，$m=\frac{1}{2}$；
此时多项式为$-5x^{2}y + 4x - 7$，是三次三项式，满足条件。
所以$m + n=\frac{1}{2}+(-\frac{3}{2})=-1$
$-1$
10. 已知代数式 $2x^{2} + ax - y + 6 - 2bx^{2} + 3x - 5y - 1$ 的值与字母 $x$ 的取值无关,则 $a^{2} + b^{2}$ 的值为
10
.答案：10
解析：
$2x^{2} + ax - y + 6 - 2bx^{2} + 3x - 5y - 1$
$=(2-2b)x^{2}+(a+3)x-6y+5$
因为代数式的值与字母$x$的取值无关，所以$x^{2}$和$x$的系数都为$0$，即：
$\begin{cases}2 - 2b = 0\\a + 3 = 0\end{cases}$
解得$\begin{cases}b = 1\\a = - 3\end{cases}$
则$a^{2}+b^{2}=(-3)^{2}+1^{2}=9 + 1=10$
10
$=(2-2b)x^{2}+(a+3)x-6y+5$
因为代数式的值与字母$x$的取值无关，所以$x^{2}$和$x$的系数都为$0$，即：
$\begin{cases}2 - 2b = 0\\a + 3 = 0\end{cases}$
解得$\begin{cases}b = 1\\a = - 3\end{cases}$
则$a^{2}+b^{2}=(-3)^{2}+1^{2}=9 + 1=10$
10
11. 已知 $a^{2} - ab = 8$, $ab - b^{2} = -4$,则 $a^{2} - b^{2} = $
4
, $a^{2} - 2ab + b^{2} = $12
.答案：4 12 -8
解析：
$a^{2}-b^{2}=(a^{2}-ab)+(ab - b^{2})=8+(-4)=4$
$a^{2}-2ab + b^{2}=(a^{2}-ab)-(ab - b^{2})=8-(-4)=12$
4 12
$a^{2}-2ab + b^{2}=(a^{2}-ab)-(ab - b^{2})=8-(-4)=12$
4 12
12. 已知关于 $a$ 的式子 $8a + ab - 5$,无论 $a$ 取何值,该式子的值恒不变,则 $b = $
-8
.答案：-8
解析：
将式子$8a + ab - 5$合并同类项得$(8 + b)a - 5$。因为无论$a$取何值，式子的值恒不变，所以含$a$的项的系数必须为$0$，即$8 + b = 0$，解得$b = -8$。
$-8$
$-8$
13. 合并同类项:
(1) $a^{3} - a^{2}b + ab^{2} + 2a^{2}b - 3ab^{2} + b^{3}$;
(2) $-2m^{2}n + 2m + 3n - 3nm^{2} - 2n + 2m^{2}n - m + mn^{2}$.
(1) $a^{3} - a^{2}b + ab^{2} + 2a^{2}b - 3ab^{2} + b^{3}$;
(2) $-2m^{2}n + 2m + 3n - 3nm^{2} - 2n + 2m^{2}n - m + mn^{2}$.
答案：
(1)原式=a³+a²b-2ab²+b³.
(2)原式=-3m²n+m+n+mn².
(1)原式=a³+a²b-2ab²+b³.
(2)原式=-3m²n+m+n+mn².
14. 求代数式 $2a^{2}b + 2ab^{2} + a^{2}b - 2ab^{2} - 1$ 的值,其中 $a,b$ 满足 $(2b - 1)^{2} + 3|a + 2| = 0$.
答案：解:原式$=2a^{2}b+a^{2}b+2ab^{2}-2ab^{2}-1=3a^{2}b-1$.
因为$(2b - 1)^{2} + 3|a + 2| = 0$，且$(2b-1)^{2}\geq0$，$|a+2|\geq0$，所以$2b-1=0$，$a+2=0$，解得$b=\frac{1}{2}$，$a=-2$.
所以原式$=3×(-2)^{2}×\frac{1}{2}-1=3×4×\frac{1}{2}-1=6-1=5$.
因为$(2b - 1)^{2} + 3|a + 2| = 0$，且$(2b-1)^{2}\geq0$，$|a+2|\geq0$，所以$2b-1=0$，$a+2=0$，解得$b=\frac{1}{2}$，$a=-2$.
所以原式$=3×(-2)^{2}×\frac{1}{2}-1=3×4×\frac{1}{2}-1=6-1=5$.
15. 已知关于 $x,y$ 的多项式 $mx^{2} + 4xy - x - 2x^{2} + nxy + 3x - 3y + 2025$ 合并同类项后不含有二次项,求代数式 $n^{m} + m - 1$ 的值.
答案：解:原式=(m-2)x²+(4+n)xy+2x-3y+2025,因为合并同类项后不含有二次项,所以m-2=0且4+n=0,解得m=2,n=-4,所以nᵐ+m-1=(-4)²+2-1=16+2-1=17.
16. 对于代数式 $2x^{2} + 7xy + 3y^{2} + x^{2} - kxy + 5y^{2}$,老师提出了两个问题:第一个问题是当 $k$ 为何值时,代数式中不含 $xy$ 项;第二个问题是在第一个问题的前提下,如果 $x = 2$, $y = -1$,代数式的值是多少?
(1) 小明同学很快就解答出了第一个问题,也请你写出你的解答过程;
(2) 在解答第二个问题时,一位同学把 $y = -1$ 错看成 $y = 1$,可是他得到的最后结果却是正确的,你知道这是为什么吗?
(1) 小明同学很快就解答出了第一个问题,也请你写出你的解答过程;
(2) 在解答第二个问题时,一位同学把 $y = -1$ 错看成 $y = 1$,可是他得到的最后结果却是正确的,你知道这是为什么吗?
答案：
(1)因为2x²+7xy+3y²+x²-kxy+5y²=(2x²+x²)+(3y²+5y²)+(7xy-kxy)=3x²+8y²+(7-k)xy,所以只要7-k=0,这个代数式就不含xy项,即k=7时,代数式中不含xy项.
(2)由
(1)知,原式=3x²+8y²,当x=2,y=-1时,原式=3×2²+8×(-1)²=12+8=20.当x=2,y=1时,原式=3×2²+8×1²=12+8=20.所以这位同学的最后结果是正确的.
(1)因为2x²+7xy+3y²+x²-kxy+5y²=(2x²+x²)+(3y²+5y²)+(7xy-kxy)=3x²+8y²+(7-k)xy,所以只要7-k=0,这个代数式就不含xy项,即k=7时,代数式中不含xy项.
(2)由
(1)知,原式=3x²+8y²,当x=2,y=-1时,原式=3×2²+8×(-1)²=12+8=20.当x=2,y=1时,原式=3×2²+8×1²=12+8=20.所以这位同学的最后结果是正确的.