26.(10分)(2024·宿豫期末)将一副三角尺的直角顶点$ O $按如图所示叠放在一起.
(1)若$ \angle BOD= 55^{\circ} $,则$ \angle BOC= $
(2)①若$ \angle BOD= 50^{\circ} $,则$ \angle AOC= $
②猜想$ \angle BOD 与 \angle AOC $之间的数量关系,并说明理由.
(1)若$ \angle BOD= 55^{\circ} $,则$ \angle BOC= $
35°
,$ \angle BOC $=
$ \angle AOD $(填“$ ＞ $”“$ ＜ $”或“$ = $”).(2)①若$ \angle BOD= 50^{\circ} $,则$ \angle AOC= $
130°
;若$ \angle AOC= 120^{\circ} $,则$ \angle BOD= $60°
;②猜想$ \angle BOD 与 \angle AOC $之间的数量关系,并说明理由.
②解:∠BOD + ∠AOC = 180°,理由如下:因为∠AOB = ∠COD = 90°,所以∠BOD + ∠AOC = ∠BOD + ∠BOC + ∠AOB = ∠COD + ∠AOB = 90° + 90° = 180°.
答案：(1)35° =
(2)①130° 60°
②解:∠BOD + ∠AOC = 180°,理由如下:因为∠AOB = ∠COD = 90°,所以∠BOD + ∠AOC = ∠BOD + ∠BOC + ∠AOB = ∠COD + ∠AOB = 90° + 90° = 180°.
(2)①130° 60°
②解:∠BOD + ∠AOC = 180°,理由如下:因为∠AOB = ∠COD = 90°,所以∠BOD + ∠AOC = ∠BOD + ∠BOC + ∠AOB = ∠COD + ∠AOB = 90° + 90° = 180°.
27.(12分)如图,$ O 为直线 MN $上一点,过点$ O 作射线 OC $,使$ \angle CON= n^{\circ} $,$ OD 平分 \angle COM $,将含有$ 45^{\circ} $角的直角三角尺如图放置(直角顶点放在点$ O $处,直角边$ OA 与 ON $重合).将三角尺$ OAB 绕点 O 按逆时针方向以每秒 5^{\circ} $的速度旋转一周,设旋转时间为$ t $秒.
(1)填空:$ \angle COD= $
(2)当三角尺旋转到直角边$ OA 与 OC $重合时,求$ t $的值;(用含$ n $的式子表示)
(3)当三角尺旋转到直角边$ OA 与 OD $重合时,求$ \angle BON $的度数.(用含$ n $的式子表示)
(1)填空:$ \angle COD= $
(90 - $\frac{n}{2}$)
$ ^{\circ} $(用含$ n $的式子表示),三角尺旋转一周需要72
秒;(2)当三角尺旋转到直角边$ OA 与 OC $重合时,求$ t $的值;(用含$ n $的式子表示)
解:根据题意,得5t = n,解得t = $\frac{n}{5}$.
(3)当三角尺旋转到直角边$ OA 与 OD $重合时,求$ \angle BON $的度数.(用含$ n $的式子表示)
解:如答图.因为OD平分∠COM,所以∠MOD = ∠COD = (90 - $\frac{n}{2}$)°.因为∠AOB = 90°,所以∠BON + ∠MOD = 90°,所以∠BON = 90° - ∠MOD = 90° - 90° + ($\frac{n}{2}$)° = ($\frac{n}{2}$)°.
答案：(1)(90 - $\frac{n}{2}$)° 72
(2)解:根据题意,得5t = n,解得t = $\frac{n}{5}$.
(3)解:如答图.因为OD平分∠COM,所以∠MOD = ∠COD = (90 - $\frac{n}{2}$)°.因为∠AOB = 90°,所以∠BON + ∠MOD = 90°,所以∠BON = 90° - ∠MOD = 90° - 90° + ($\frac{n}{2}$)° = ($\frac{n}{2}$)°.
(2)解:根据题意,得5t = n,解得t = $\frac{n}{5}$.
(3)解:如答图.因为OD平分∠COM,所以∠MOD = ∠COD = (90 - $\frac{n}{2}$)°.因为∠AOB = 90°,所以∠BON + ∠MOD = 90°,所以∠BON = 90° - ∠MOD = 90° - 90° + ($\frac{n}{2}$)° = ($\frac{n}{2}$)°.
28.(12分)如图,数轴上$ A,B 两点表示的数分别为 a,b $,且$ a,b 满足 |a+2|+(b-8)^{2}= 0 $,点$ P 从点 A $出发,以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动,同时点$ Q 从点 B $出发,以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动.设运动时间为$ t $秒($ t＞0 $).
(1)①线段$ AB $的中点表示的数为
②$ t $秒后,点$ P $表示的数为
(2)求当$ t $为何值时,$ PQ= \frac{1}{2}AB $.
(3)若$ M 为 PA $的中点,$ N 为 PB $的中点,在点$ P $运动的过程中,线段$ MN $的长度是否发生变化?若变化,请说明理由;若不变,请求出线段$ MN $的长.
(1)①线段$ AB $的中点表示的数为
3
;②$ t $秒后,点$ P $表示的数为
- 2 + 3t
(用含$ t $的代数式表示).(2)求当$ t $为何值时,$ PQ= \frac{1}{2}AB $.
解:因为t秒后,点P表示的数为 - 2 + 3t,点Q表示的数为8 - 2t,所以PQ = |( - 2 + 3t) - (8 - 2t)| = |5t - 10|.又因为PQ = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{1}{2}$×[8 - ( - 2)] = $\frac{1}{2}$×10 = 5,所以|5t - 10| = 5,解得t = 1或t = 3.综上所述,当t = 1或t = 3时,PQ = $\frac{1}{2}$AB.
(3)若$ M 为 PA $的中点,$ N 为 PB $的中点,在点$ P $运动的过程中,线段$ MN $的长度是否发生变化?若变化,请说明理由;若不变,请求出线段$ MN $的长.
解:在点P运动的过程中,线段MN的长度不发生变化.因为点M表示的数为$\frac{-2+(-2 + 3t)}{2}$ = $\frac{3t}{2}$ - 2,点N表示的数为$\frac{8+(-2 + 3t)}{2}$ = $\frac{3t}{2}$ + 3,所以MN = |($\frac{3t}{2}$ - 2) - ($\frac{3t}{2}$ + 3)| = 5,所以在点P运动的过程中,线段MN的长度不发生变化,且线段MN的长为5.
答案：(1)①3 ② - 2 + 3t
(2)解:因为t秒后,点P表示的数为 - 2 + 3t,点Q表示的数为8 - 2t,所以PQ = |( - 2 + 3t) - (8 - 2t)| = |5t - 10|.又因为PQ = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{1}{2}$×[8 - ( - 2)] = $\frac{1}{2}$×10 = 5,所以|5t - 10| = 5,解得t = 1或t = 3.综上所述,当t = 1或t = 3时,PQ = $\frac{1}{2}$AB.
(3)解:在点P运动的过程中,线段MN的长度不发生变化.因为点M表示的数为$\frac{-2+(-2 + 3t)}{2}$ = $\frac{3t}{2}$ - 2,点N表示的数为$\frac{8+(-2 + 3t)}{2}$ = $\frac{3t}{2}$ + 3,所以MN = |($\frac{3t}{2}$ - 2) - ($\frac{3t}{2}$ + 3)| = 5,所以在点P运动的过程中,线段MN的长度不发生变化,且线段MN的长为5.
(2)解:因为t秒后,点P表示的数为 - 2 + 3t,点Q表示的数为8 - 2t,所以PQ = |( - 2 + 3t) - (8 - 2t)| = |5t - 10|.又因为PQ = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{1}{2}$×[8 - ( - 2)] = $\frac{1}{2}$×10 = 5,所以|5t - 10| = 5,解得t = 1或t = 3.综上所述,当t = 1或t = 3时,PQ = $\frac{1}{2}$AB.
(3)解:在点P运动的过程中,线段MN的长度不发生变化.因为点M表示的数为$\frac{-2+(-2 + 3t)}{2}$ = $\frac{3t}{2}$ - 2,点N表示的数为$\frac{8+(-2 + 3t)}{2}$ = $\frac{3t}{2}$ + 3,所以MN = |($\frac{3t}{2}$ - 2) - ($\frac{3t}{2}$ + 3)| = 5,所以在点P运动的过程中,线段MN的长度不发生变化,且线段MN的长为5.