1. 设$(3x - 1)^5 = a_5x^5 + a_4x^4 + a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0$,则$a_1 + a_3 + a_5$的值为 (
A.1024
B.264
C.528
D.1056
C
)A.1024
B.264
C.528
D.1056
答案：C 点拨:设x=1,则32=a₅+a₄+a₃+a₂+a₁+a₀①;设x=-1,则-1024=-a₅+a₄-a₃+a₂-a₁+a₀②;用①-②,得1056=2a₁+2a₃+2a₅,故a₁+a₃+a₅=528.
2. 已知$(2x^2 - x - 1)^3 = a_0x^6 + a_1x^5 + a_2x^4 + a_3x^3 + a_4x^2 + a_5x + a_6$,求$a_0 + a_2 + a_4$的值。
答案：解:令x=1,则(2-1-1)³=a₀+a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆,即a₀+a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆=0.①令x=-1,则(2+1-1)³=a₀-a₁+a₂-a₃+a₄-a₅+a₆,即a₀-a₁+a₂-a₃+a₄-a₅+a₆=8.②①+②,得2(a₀+a₂+a₄+a₆)=8,所以a₀+a₂+a₄+a₆=4.令x=0,得(-1)³=a₆,所以a₆=-1,所以a₀+a₂+a₄=5.
解析：
解：令$x = 1$，则$(2×1^2 - 1 - 1)^3 = a_0×1^6 + a_1×1^5 + a_2×1^4 + a_3×1^3 + a_4×1^2 + a_5×1 + a_6$，即$a_0 + a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 = 0$。①
令$x = -1$，则$[2×(-1)^2 - (-1) - 1]^3 = a_0×(-1)^6 + a_1×(-1)^5 + a_2×(-1)^4 + a_3×(-1)^3 + a_4×(-1)^2 + a_5×(-1) + a_6$，即$a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + a_4 - a_5 + a_6 = 8$。②
① + ②，得$2(a_0 + a_2 + a_4 + a_6) = 8$，所以$a_0 + a_2 + a_4 + a_6 = 4$。
令$x = 0$，得$(2×0^2 - 0 - 1)^3 = a_6$，即$a_6 = -1$。
所以$a_0 + a_2 + a_4 = 4 - a_6 = 4 - (-1) = 5$。
故$a_0 + a_2 + a_4$的值为$5$。
令$x = -1$，则$[2×(-1)^2 - (-1) - 1]^3 = a_0×(-1)^6 + a_1×(-1)^5 + a_2×(-1)^4 + a_3×(-1)^3 + a_4×(-1)^2 + a_5×(-1) + a_6$，即$a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + a_4 - a_5 + a_6 = 8$。②
① + ②，得$2(a_0 + a_2 + a_4 + a_6) = 8$，所以$a_0 + a_2 + a_4 + a_6 = 4$。
令$x = 0$，得$(2×0^2 - 0 - 1)^3 = a_6$，即$a_6 = -1$。
所以$a_0 + a_2 + a_4 = 4 - a_6 = 4 - (-1) = 5$。
故$a_0 + a_2 + a_4$的值为$5$。
3. “整体思想”是中学数学解题中的一种重要思想方法. 它在多项式的化简与求值中应用非常广泛,例如,若$5a + 3b = - 4$,求代数式$2(a + b) + 4(2a + b)$的值,其解法如下：
$2(a + b) + 4(2a + b) = 2a + 2b + 8a + 4b = 10a + 6b = 2(5a + 3b)$。
当$5a + 3b = - 4$时,原式$ = 2×(- 4) = - 8$。
仿照上面的解题方法,解答下面的问题：
(1)若$a^2 + a = 1$,则$2a^2 + 2a + 2018 = $
(2)已知$a - b = - 3$,求$3(a - b) - 5a + 5b + 5$的值；
(3)已知$a^2 + 2ab = - 2$,$ab - 2b^2 = - 4$,求$4a^2 + \frac{11}{2}ab + 5b^2$的值。
$2(a + b) + 4(2a + b) = 2a + 2b + 8a + 4b = 10a + 6b = 2(5a + 3b)$。
当$5a + 3b = - 4$时,原式$ = 2×(- 4) = - 8$。
仿照上面的解题方法,解答下面的问题：
(1)若$a^2 + a = 1$,则$2a^2 + 2a + 2018 = $
2020
；(2)已知$a - b = - 3$,求$3(a - b) - 5a + 5b + 5$的值；
解:当a-b=-3时,原式=3a-3b-5a+5b+5=-2a+2b+5=-2(a-b)+5=-2×(-3)+5=11.
(3)已知$a^2 + 2ab = - 2$,$ab - 2b^2 = - 4$,求$4a^2 + \frac{11}{2}ab + 5b^2$的值。
解:因为a²+2ab=-2,ab-2b²=-4,所以4a²+8ab=-8,①$\frac{5}{2}ab-5b²=-10$,②所以①-②,得$4a²+8ab-(\frac{5}{2}ab-5b²)=-8-(-10)=2$,即$4a²+\frac{11}{2}ab+5b²=2$.
答案：(1)2020
(2)解:当a-b=-3时,原式=3a-3b-5a+5b+5=-2a+2b+5=-2(a-b)+5=-2×(-3)+5=11.
(3)解:因为a²+2ab=-2,ab-2b²=-4,所以4a²+8ab=-8,①$\frac{5}{2}ab-5b²=-10$,②所以①-②,得$4a²+8ab-(\frac{5}{2}ab-5b²)=-8-(-10)=2$,即$4a²+\frac{11}{2}ab+5b²=2$.
(2)解:当a-b=-3时,原式=3a-3b-5a+5b+5=-2a+2b+5=-2(a-b)+5=-2×(-3)+5=11.
(3)解:因为a²+2ab=-2,ab-2b²=-4,所以4a²+8ab=-8,①$\frac{5}{2}ab-5b²=-10$,②所以①-②,得$4a²+8ab-(\frac{5}{2}ab-5b²)=-8-(-10)=2$,即$4a²+\frac{11}{2}ab+5b²=2$.