10. (2025·扬州宝应期末)已知 OD,OE 分别是∠AOB,∠AOC 的角平分线.
(1)如图(1),OC 是∠AOB 外部的一条射线.
①若∠AOC= 28°,∠BOC= 144°,则∠DOE=
②若∠BOC= 156°,求∠DOE 的度数；(请用几何符号语言规范地表达)
(2)如图(2),OC 是∠AOB 内部的一条射线,∠BOC= m°,用含 m°的代数式表示∠DOE 的度数.(请用几何符号语言规范地表达)
(1)如图(1),OC 是∠AOB 外部的一条射线.
①若∠AOC= 28°,∠BOC= 144°,则∠DOE=
72
°；②若∠BOC= 156°,求∠DOE 的度数；(请用几何符号语言规范地表达)
∵OD,OE分别是∠AOB,∠AOC 的角平分线,∴∠AOD=$\frac{1}{2}$∠AOB,∠AOE=$\frac{1}{2}$∠AOC,∴∠DOE=∠AOD+∠AOE=$\frac{1}{2}$∠AOB+$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$(∠AOB+∠AOC)=$\frac{1}{2}$∠BOC.∵∠BOC=156°,∴∠DOE=$\frac{1}{2}$×156°=78°,∴∠DOE的度数等于78°
(2)如图(2),OC 是∠AOB 内部的一条射线,∠BOC= m°,用含 m°的代数式表示∠DOE 的度数.(请用几何符号语言规范地表达)
∵OD,OE分别是∠AOB,∠AOC的角平分线,∴∠AOD=$\frac{1}{2}$∠AOB,∠AOE=$\frac{1}{2}$∠AOC,∴∠DOE=∠AOD−∠AOE=$\frac{1}{2}$∠AOB−$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$(∠AOB−∠AOC)=$\frac{1}{2}$∠BOC.∵∠BOC=m°,∴∠DOE=$\frac{1}{2}$m°.
答案：
(1)①72 [解析]
(1)①
∵OD,OE分别是∠AOB,∠AOC 的角平分线,
∴∠AOD=$\frac{1}{2}$∠AOB,∠AOE=$\frac{1}{2}$∠AOC,
∴∠DOE=∠AOD+∠AOE=$\frac{1}{2}$∠AOB+$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$(∠AOB+∠AOC)=$\frac{1}{2}$∠BOC.
∵∠BOC=144°,
∴∠DOE=$\frac{1}{2}$×144°=72°.
②由①,可得∠DOE=$\frac{1}{2}$∠BOC.
∵∠BOC=156°,
∴∠DOE=$\frac{1}{2}$×156°=78°,
∴∠DOE的度数等于∠BOC的一半
(2)
∵OD,OE分别是∠AOB,∠AOC的角平分线,
∴∠AOD=$\frac{1}{2}$∠AOB,∠AOE=$\frac{1}{2}$∠AOC,
∴∠DOE=∠AOD−∠AOE=$\frac{1}{2}$∠AOB−$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$(∠AOB−∠AOC)=$\frac{1}{2}$∠BOC.
∵∠BOC=m°,
∴∠DOE=$\frac{1}{2}$m°.
(1)①72 [解析]
(1)①
∵OD,OE分别是∠AOB,∠AOC 的角平分线,
∴∠AOD=$\frac{1}{2}$∠AOB,∠AOE=$\frac{1}{2}$∠AOC,
∴∠DOE=∠AOD+∠AOE=$\frac{1}{2}$∠AOB+$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$(∠AOB+∠AOC)=$\frac{1}{2}$∠BOC.
∵∠BOC=144°,
∴∠DOE=$\frac{1}{2}$×144°=72°.
②由①,可得∠DOE=$\frac{1}{2}$∠BOC.
∵∠BOC=156°,
∴∠DOE=$\frac{1}{2}$×156°=78°,
∴∠DOE的度数等于∠BOC的一半
(2)
∵OD,OE分别是∠AOB,∠AOC的角平分线,
∴∠AOD=$\frac{1}{2}$∠AOB,∠AOE=$\frac{1}{2}$∠AOC,
∴∠DOE=∠AOD−∠AOE=$\frac{1}{2}$∠AOB−$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$(∠AOB−∠AOC)=$\frac{1}{2}$∠BOC.
∵∠BOC=m°,
∴∠DOE=$\frac{1}{2}$m°.
11. 内半角模型 中考新考法 操作探究 (2024·上海崇明区期末)定义：从一个角的顶点出发,在角的内部引两条射线,如果这两条射线所成的角等于这个角的一半,那么这两条射线所成的角叫作这个角的内半角,如图(1)所示,若∠COD= 1/2∠AOB,则∠COD 是∠AOB 的内半角.
(1)如图(1)所示,已知∠AOB= 70°,∠AOC= 15°,∠COD 是∠AOB 的内半角,则∠BOD= ______.
(2)如图(2),已知∠AOB= 63°,将∠AOB 绕点 O 按顺时针方向旋转一个角度α(0°＜α＜63°)至∠COD,当旋转的角度α为何值时,∠COB 是∠AOD 的内半角？
(3)已知∠AOB= 30°,把一块含有 30°角的三角板如图(3)叠放,将三角板绕顶点 O 以 3°/秒的速度按顺时针方向旋转,如图(4),问：在旋转一周的过程中,射线 OA,OB,OC,OD 能否构成内半角？若能,请求出旋转的时间；若不能,请说明理由.
(1)如图(1)所示,已知∠AOB= 70°,∠AOC= 15°,∠COD 是∠AOB 的内半角,则∠BOD= ______.
(2)如图(2),已知∠AOB= 63°,将∠AOB 绕点 O 按顺时针方向旋转一个角度α(0°＜α＜63°)至∠COD,当旋转的角度α为何值时,∠COB 是∠AOD 的内半角？
(3)已知∠AOB= 30°,把一块含有 30°角的三角板如图(3)叠放,将三角板绕顶点 O 以 3°/秒的速度按顺时针方向旋转,如图(4),问：在旋转一周的过程中,射线 OA,OB,OC,OD 能否构成内半角？若能,请求出旋转的时间；若不能,请说明理由.
答案：
(1)20° [解析]
∵∠COD是∠AOB的内半角,∠AOB=70°,
∴∠COD=$\frac{1}{2}$∠AOB=35°,
∵∠AOC=15°,
∴∠BOD=70°−35°−15°=20°.
(2)
∵∠AOC=∠BOD=α,∠AOB=63°,
∴∠AOD=63°+α,∠BOC=63°−α.
∵∠COB是∠AOD的内半角，
∴63°+α=2(63°−α),
∴α=21°,
∴当旋转角度α为21°时，∠COB是∠AOD的内半角.
(3)能，当旋转的时间为$\frac{10}{3}$s或30s或90s或$\frac{350}{3}$s时,射线OA,OB,OC,OD能构成内半角.理由如下:
设按顺时针方向旋转一个角度α，旋转的时间为t，
如图
(1),当∠BOC是∠AOD的内半角时,∠AOC=∠BOD=α,
∴∠AOD=30°+α,
∴$\frac{1}{2}$(30°+α)=30°−α,
∴α=10°,
∴t=$\frac{10}{3}$s;
如图
(2),当∠BOC是∠AOD的内半角时，∠AOC=∠BOD=α,
∴∠AOD=30°+α,∠BOC=α−30°,
∴$\frac{1}{2}$(30°+α)=α−30°,
∴α=90°,
∴t=$\frac{90}{3}$=30(s);
如图
(3),当∠AOD是∠BOC的内半角时,∠AOC=∠BOD=360°−α,
∴∠BOC=360°+30°−α,∠AOD=360°−α−30°,
∴$\frac{1}{2}$(360°+30°−α)=360°−α−30°,
∴α=270°,
∴t=$\frac{270}{3}$=90(s);
综上所述，当旋转的时间为$\frac{10}{3}$s或30s或90s或$\frac{350}{3}$s时，射线OA,OB,OC,OD能构成内半角.
归纳总结 本题主要考查了角的和与差、图形旋转的性质、一元一次方程的应用，明确题意，理解新定义，并利用方程思想和分类讨论思想解答是解题的关键.
(1)20° [解析]
∵∠COD是∠AOB的内半角,∠AOB=70°,
∴∠COD=$\frac{1}{2}$∠AOB=35°,
∵∠AOC=15°,
∴∠BOD=70°−35°−15°=20°.
(2)
∵∠AOC=∠BOD=α,∠AOB=63°,
∴∠AOD=63°+α,∠BOC=63°−α.
∵∠COB是∠AOD的内半角，
∴63°+α=2(63°−α),
∴α=21°,
∴当旋转角度α为21°时，∠COB是∠AOD的内半角.
(3)能，当旋转的时间为$\frac{10}{3}$s或30s或90s或$\frac{350}{3}$s时,射线OA,OB,OC,OD能构成内半角.理由如下:
设按顺时针方向旋转一个角度α，旋转的时间为t，
如图
(1),当∠BOC是∠AOD的内半角时,∠AOC=∠BOD=α,
∴∠AOD=30°+α,
∴$\frac{1}{2}$(30°+α)=30°−α,
∴α=10°,
∴t=$\frac{10}{3}$s;
如图
(2),当∠BOC是∠AOD的内半角时，∠AOC=∠BOD=α,
∴∠AOD=30°+α,∠BOC=α−30°,
∴$\frac{1}{2}$(30°+α)=α−30°,
∴α=90°,
∴t=$\frac{90}{3}$=30(s);
如图
(3),当∠AOD是∠BOC的内半角时,∠AOC=∠BOD=360°−α,
∴∠BOC=360°+30°−α,∠AOD=360°−α−30°,
∴$\frac{1}{2}$(360°+30°−α)=360°−α−30°,
∴α=270°,
∴t=$\frac{270}{3}$=90(s);
综上所述，当旋转的时间为$\frac{10}{3}$s或30s或90s或$\frac{350}{3}$s时，射线OA,OB,OC,OD能构成内半角.
归纳总结 本题主要考查了角的和与差、图形旋转的性质、一元一次方程的应用，明确题意，理解新定义，并利用方程思想和分类讨论思想解答是解题的关键.