1. 观察下列等式：$3^1= 3$,$3^2= 9$,$3^3= 27$,$3^4= 81$,$3^5= 243$,…根据其中规律可得$3^{2025}$的个位数字是
3
.答案：3 [解析]
∵3¹=3,3²=9,3³=27,3⁴=81,3⁵=243,…,
∴末尾数字每四个数一循环.又2025÷4=506……1,
∴3²⁰²⁵的个位数字是3.
∵3¹=3,3²=9,3³=27,3⁴=81,3⁵=243,…,
∴末尾数字每四个数一循环.又2025÷4=506……1,
∴3²⁰²⁵的个位数字是3.
变式1.1 (2025·江西赣州期中改编)观察下列算式：$2^1= 2$,$2^2= 4$,$2^3= 8$,$2^4= 16$,$2^5= 32$,$2^6= 64$,$2^7= 128$,…. 根据上式算式中的规律推测$2^{2025}$的个位数字为(
A.2
B.4
C.6
D.8
A
).A.2
B.4
C.6
D.8
答案：A [解析] 由题知,2¹=2,2²=4,2³=8,2⁴=16,2⁵=32,2⁶=64,2⁷=128,…,所以从2¹开始,底数为2的乘方运算结果的个位数字按2,4,8,6循环.因为2025÷4=506……1,所以2²⁰²⁵的个位数字为2.故选A.素养考向 本题主要考查了数字变化的规律,能根据题意得出从2¹开始,底数为2的乘方运算结果的个位数字按2,4,8,6循环是解题的关键.
变式1.2 实验班原创 计算$7×17×27×37×47×…×247$结果的个位数字是(
A.8
B.7
C.6
D.5
B
).A.8
B.7
C.6
D.5
答案：B [解析]
∵7,7×7=49,7×7×7=343,7×7×7×7=2401,7×7×7×7×7=16807,…,1个7的个位数字为7,2个7相乘的个位数字为9,3个7相乘的个位数字为3,4个7相乘的个位数字为1,5个7相乘的个位数字为7,…,
∴个位数字是7的数相乘所得积的个位数字是以7,9,3,1为一个循环周期,
∴7×17×27×37×47×…×247的个位数字即为25个7相乘的个位数字.
∵25÷4=6……1,
∴7×17×27×37×47×…×247的积的个位数字是7.故选B.
∵7,7×7=49,7×7×7=343,7×7×7×7=2401,7×7×7×7×7=16807,…,1个7的个位数字为7,2个7相乘的个位数字为9,3个7相乘的个位数字为3,4个7相乘的个位数字为1,5个7相乘的个位数字为7,…,
∴个位数字是7的数相乘所得积的个位数字是以7,9,3,1为一个循环周期,
∴7×17×27×37×47×…×247的个位数字即为25个7相乘的个位数字.
∵25÷4=6……1,
∴7×17×27×37×47×…×247的积的个位数字是7.故选B.
变式1.3 (2025·山东滨州期中)计算：$3^1+1= 4$,$3^2+1= 10$,$3^3+1= 28$,$3^4+1= 82$,$3^5+1= 244$,…,归纳计算结果,猜测$3^{2023}+1$的个位数字是(
A.0
B.2
C.4
D.8
D
).A.0
B.2
C.4
D.8
答案：D [解析] 3¹+1=4,3²+1=10,3³+1=28,3⁴+1=82,3⁵+1=244,3⁶+1=730,3⁷+1=2188,3⁸+1=6562,…,由此可知,当n=4k-3(k为正整数)时,3ⁿ+1的个位数字为4;当n=4k-2时,3ⁿ+1的个位数字为0;当n=4k-1(k为整数)时,3ⁿ+1的个位数字为8;当n=4k(k为整数)时,3ⁿ+1的个位数字为2.
∵2023=506×4-1,
∴3²⁰²³+1的个位数字是8.满足n=4k-1故选D.
∵2023=506×4-1,
∴3²⁰²³+1的个位数字是8.满足n=4k-1故选D.
2. 观察下面一行数：-2,4,-8,16,-32,64,…,则第n个数为
(-2)ⁿ
.答案：(-2)ⁿ [解析] 观察这行数可知,后一个数总是前一个数的-2倍.因为第一个数为-2,所以第n个数可表示为(-2)ⁿ.
解析：
$(-2)^n$
变式2.1 观察下列等式：
第1层：$1+2= 3$；
第2层：$4+5+6= 7+8$；
第3层：$9+10+11+12= 13+14+15$；
第4层：$16+17+18+19+20= 21+22+23+24$；
…,
在上述数字宝塔中,从上往下数,那么2025在第
第1层：$1+2= 3$；
第2层：$4+5+6= 7+8$；
第3层：$9+10+11+12= 13+14+15$；
第4层：$16+17+18+19+20= 21+22+23+24$；
…,
在上述数字宝塔中,从上往下数,那么2025在第
45
层.答案：45 [解析]
∵1+2=3,共有3个数;4+5+6=7+8,共有5个数;9+10+11+12=13+14+15,共有7个数;…,由此可知,每一层都有奇数个数,从第一层开始,到第n层结束共有3+5+7+…+(2n+1)=(n²+2n)个数.又因为44²+2×44＜2025＜45²+2×45,所以2025在第45层.归纳总结 本题主要考查学生的探求规律的能力,解题的关键是明确式子规律,结合式子的特征确定每一层有几个数.
∵1+2=3,共有3个数;4+5+6=7+8,共有5个数;9+10+11+12=13+14+15,共有7个数;…,由此可知,每一层都有奇数个数,从第一层开始,到第n层结束共有3+5+7+…+(2n+1)=(n²+2n)个数.又因为44²+2×44＜2025＜45²+2×45,所以2025在第45层.归纳总结 本题主要考查学生的探求规律的能力,解题的关键是明确式子规律,结合式子的特征确定每一层有几个数.
变式2.2 (2025·福建厦门同安区期末)学习完有理数的乘方后,老师提出了一个问题供同学们思考,请你写出思考后解答过程：
观察下列三行数：
0,3,8,15,24,…；①
2,5,10,17,26,…；②
0,-6,-16,-30,-48,…；③
(1)第①行数中的第7个数是______
(2)第②行数中的第7个数是______
(3)取每行的第10个数,计算这三个数的和.
观察下列三行数：
0,3,8,15,24,…；①
2,5,10,17,26,…；②
0,-6,-16,-30,-48,…；③
(1)第①行数中的第7个数是______
48
.(2)第②行数中的第7个数是______
50
；第③行数中的第7个数是______-96
.(3)取每行的第10个数,计算这三个数的和.
取每行的第10个数,则这三个数的和为10²-1+10²-1+2-2(10²-1)=2.
答案：
(1)48 [解析]
∵第①行数中的数是序数的平方与1的差,
∴第①行数中的第7个数是7²-1=48.
(2)50 -96 [解析]
∵第②行中的每个数是第①行中相应的数与2的和,第③行中的每个数等于第①行相应数乘-2,
∴第②行数中的第7个数是48+2=50,第③行数中的第7个数是-2×48=-96.
(3)取每行的第10个数,则这三个数的和为10²-1+10²-1+2-2(10²-1)=2.
(1)48 [解析]
∵第①行数中的数是序数的平方与1的差,
∴第①行数中的第7个数是7²-1=48.
(2)50 -96 [解析]
∵第②行中的每个数是第①行中相应的数与2的和,第③行中的每个数等于第①行相应数乘-2,
∴第②行数中的第7个数是48+2=50,第③行数中的第7个数是-2×48=-96.
(3)取每行的第10个数,则这三个数的和为10²-1+10²-1+2-2(10²-1)=2.