9. 整体思想 已知代数式$ax^5 + bx^3 + 3x + c$,当$x= 0$时,该代数式的值为-1.
(1)求$c$的值;
(2)当$x= 1$时,该代数式的值为-1,试求$a + b + c$的值;
(3)当$x= 3$时,该代数式的值为9,试求当$x= -3$时该代数式的值.
(1)求$c$的值;
(2)当$x= 1$时,该代数式的值为-1,试求$a + b + c$的值;
(3)当$x= 3$时,该代数式的值为9,试求当$x= -3$时该代数式的值.
答案：
(1)代数式$ax^{5}+bx^{3}+3x + c$,
∵当x=0时,该代数式的值为-1,
∴c=-1.
(2)
∵当x=1时,该代数式的值为-1,
∴$a + b + 3 + c=-1$,
∴$a + b + c=-4$.
(3)当x=3时,$ax^{5}+bx^{3}+3x + c=a×3^{5}+b×3^{3}+3×3 + c=9$.
∵c=-1,
∴$a×3^{5}+b×3^{3}=1$.
当x=-3时,$ax^{5}+bx^{3}+3x + c=a×(-3)^{5}+b×(-3)^{3}+3×(-3)-1=-(a×3^{5}+b×3^{3})-10=-11$,
利用整体思想简化运算
∴当x=-3时,该代数式的值为-11.
思路引导 本题考查代数式的计算,
(1),
(2)两问都比较简单,直接代入即可得答案,
(3)需要用整体思想,遇到这种指数较大的式子应想到直接算出数值会比较麻烦,一般用整体代入法.
(1)代数式$ax^{5}+bx^{3}+3x + c$,
∵当x=0时,该代数式的值为-1,
∴c=-1.
(2)
∵当x=1时,该代数式的值为-1,
∴$a + b + 3 + c=-1$,
∴$a + b + c=-4$.
(3)当x=3时,$ax^{5}+bx^{3}+3x + c=a×3^{5}+b×3^{3}+3×3 + c=9$.
∵c=-1,
∴$a×3^{5}+b×3^{3}=1$.
当x=-3时,$ax^{5}+bx^{3}+3x + c=a×(-3)^{5}+b×(-3)^{3}+3×(-3)-1=-(a×3^{5}+b×3^{3})-10=-11$,
利用整体思想简化运算
∴当x=-3时,该代数式的值为-11.
思路引导 本题考查代数式的计算,
(1),
(2)两问都比较简单,直接代入即可得答案,
(3)需要用整体思想,遇到这种指数较大的式子应想到直接算出数值会比较麻烦,一般用整体代入法.
10. 有以下运算程序,如图所示：
(1)若输入数对$(2,-1)$,则输出$w=$
(2)分别输入数对$(m,-n)和(-n,m)$,输出的结果分别是$w_1,w_2$,试比较$w_1,w_2$的大小,并说明理由;
(3)若输入数对$(x,-3)$,输出的结果$w$为16,求$x$的值.
(1)若输入数对$(2,-1)$,则输出$w=$
8
;(2)分别输入数对$(m,-n)和(-n,m)$,输出的结果分别是$w_1,w_2$,试比较$w_1,w_2$的大小,并说明理由;
$w_{1}=w_{2}$.理由如下:
因为$w_{1}=(|m + n| + |m - n|)×2$,
$w_{2}=(|-n - m| + |-n + m|×2)$
$=(|m + n| + |m - n|)×2$,
所以$w_{1}=w_{2}$.
因为$w_{1}=(|m + n| + |m - n|)×2$,
$w_{2}=(|-n - m| + |-n + m|×2)$
$=(|m + n| + |m - n|)×2$,
所以$w_{1}=w_{2}$.
(3)若输入数对$(x,-3)$,输出的结果$w$为16,求$x$的值.
因为$16=(|x + 3| + |x - 3|)×2$,
所以$|x + 3| + |x - 3|=8$.
①当x＜-3时,$-x - 3 + 3 - x=8$,
所以-2x=8,所以x=-4;
②当$-3\leqslant x\leqslant3$时,$x + 3 + 3 - x=6\neq8$,不成立;
③当x＞3时,$x + 3 + x - 3=8$,解得x=4.
综上所述,x的值为4或-4.
所以$|x + 3| + |x - 3|=8$.
①当x＜-3时,$-x - 3 + 3 - x=8$,
所以-2x=8,所以x=-4;
②当$-3\leqslant x\leqslant3$时,$x + 3 + 3 - x=6\neq8$,不成立;
③当x＞3时,$x + 3 + x - 3=8$,解得x=4.
综上所述,x的值为4或-4.
答案：
(1)8 [解析]$(|2 + 1| + |2 - 1|)×2=8$.
(2)$w_{1}=w_{2}$.理由如下:
因为$w_{1}=(|m + n| + |m - n|)×2$,
$w_{2}=(|-n - m| + |-n + m|×2)$
$=(|m + n| + |m - n|)×2$,
所以$w_{1}=w_{2}$.
(3)因为$16=(|x + 3| + |x - 3|)×2$,
所以$|x + 3| + |x - 3|=8$.
①当x＜-3时,$-x - 3 + 3 - x=8$,
所以-2x=8,所以x=-4;
②当$-3\leqslant x\leqslant3$时,$x + 3 + 3 - x=6\neq8$,不成立;
③当x＞3时,$x + 3 + x - 3=8$,解得x=4.
综上所述,x的值为4或-4.
(1)8 [解析]$(|2 + 1| + |2 - 1|)×2=8$.
(2)$w_{1}=w_{2}$.理由如下:
因为$w_{1}=(|m + n| + |m - n|)×2$,
$w_{2}=(|-n - m| + |-n + m|×2)$
$=(|m + n| + |m - n|)×2$,
所以$w_{1}=w_{2}$.
(3)因为$16=(|x + 3| + |x - 3|)×2$,
所以$|x + 3| + |x - 3|=8$.
①当x＜-3时,$-x - 3 + 3 - x=8$,
所以-2x=8,所以x=-4;
②当$-3\leqslant x\leqslant3$时,$x + 3 + 3 - x=6\neq8$,不成立;
③当x＞3时,$x + 3 + x - 3=8$,解得x=4.
综上所述,x的值为4或-4.
11. 跨学科 细胞分裂 如图是某种细胞分裂示意图,这种细胞每过30分钟便由一个分裂成2个.
根据此规律可得：
(1)这样的一个细胞经过第4个30分钟后,可分裂成多少个细胞?
(2)这样的一个细胞经过3个小时后,可分裂成多少个细胞?
(3)这样的一个细胞经过$n$($n$为正整数)小时后,可分裂成多少个细胞?
(4)这样的一个细胞经过2023个小时后,可分裂成多少个细胞?
根据此规律可得：
(1)这样的一个细胞经过第4个30分钟后,可分裂成多少个细胞?
(2)这样的一个细胞经过3个小时后,可分裂成多少个细胞?
(3)这样的一个细胞经过$n$($n$为正整数)小时后,可分裂成多少个细胞?
(4)这样的一个细胞经过2023个小时后,可分裂成多少个细胞?
答案：
(1)第1个30分钟后,可分裂成细胞的个数为$2^{1}=2$;
第2个30分钟后,可分裂成细胞的个数为$2^{2}=4$;
第3个30分钟后,可分裂成细胞的个数为$2^{3}=8$;
第4个30分钟后,可分裂成细胞的个数为$2^{4}=16$.
(2)3小时=180分钟,相当于6个30分钟,由
(1)可知,分裂成$2^{6}=64$(个)细胞.
(3)n小时相当于2n个30分钟,
所以可分裂成$2^{2n}$个细胞.
(4)这样的一个细胞经过2023个小时后,可分裂成$2^{4046}$个细胞.
素养考向 本题主要考查学生的抽象能力和运算能力,以及通过图示和数据寻找规律的能力.
(1)第1个30分钟后,可分裂成细胞的个数为$2^{1}=2$;
第2个30分钟后,可分裂成细胞的个数为$2^{2}=4$;
第3个30分钟后,可分裂成细胞的个数为$2^{3}=8$;
第4个30分钟后,可分裂成细胞的个数为$2^{4}=16$.
(2)3小时=180分钟,相当于6个30分钟,由
(1)可知,分裂成$2^{6}=64$(个)细胞.
(3)n小时相当于2n个30分钟,
所以可分裂成$2^{2n}$个细胞.
(4)这样的一个细胞经过2023个小时后,可分裂成$2^{4046}$个细胞.
素养考向 本题主要考查学生的抽象能力和运算能力,以及通过图示和数据寻找规律的能力.
12. (2024·苏州中考)若$a = b + 2$,则$(b - a)^2= $
4
.答案：4 [解析]
∵$a = b + 2$,
∴$b - a=-2$,
∴$(b - a)^{2}=(-2)^{2}=4$.
∵$a = b + 2$,
∴$b - a=-2$,
∴$(b - a)^{2}=(-2)^{2}=4$.