11. 整体思想 阅读下列材料再解方程：
解方程$|x + 2| = 3$时,我们可以将$x + 2$视为一个整体,由于绝对值为 3 的数有两个,所以$x + 2 = 3或x + 2 = -3$,解得$x = 1或-5$.
请按照上面解法解方程$x - \left|\frac{2}{3}x + 1\right| = 1$.
解方程$|x + 2| = 3$时,我们可以将$x + 2$视为一个整体,由于绝对值为 3 的数有两个,所以$x + 2 = 3或x + 2 = -3$,解得$x = 1或-5$.
请按照上面解法解方程$x - \left|\frac{2}{3}x + 1\right| = 1$.
答案：当$\frac{2}{3}$x+1是非负数时,x-$\frac{2}{3}$x-1=1,解得x=6,符合题意;当$\frac{2}{3}$x+1是负数时,x+$\frac{2}{3}$x+1=1,解得x=0,不符合题意.
∴x=6.故原方程的解为x=6.
∴x=6.故原方程的解为x=6.
12. 中考新考法 新定义问题 若新规定这样一种运算法则:$a※b = a^2 + 2ab$,例如$3※(-2) = 3^2 + 2×3×(-2) = -3$.
(1)试求$(-2)※3$的值；
(2)若$4※x = -x - 2$,求$x$的值.
(1)试求$(-2)※3$的值；
(2)若$4※x = -x - 2$,求$x$的值.
答案：
(1)根据题中新定义,得(-2)※3=(-2)²+2×(-2)×3=4+(-12)=-8.
(2)根据题意,得4※x=4²+2×4x=-x-2,整理,得16+8x=-x-2,解得x=-2.
(1)根据题中新定义,得(-2)※3=(-2)²+2×(-2)×3=4+(-12)=-8.
(2)根据题意,得4※x=4²+2×4x=-x-2,整理,得16+8x=-x-2,解得x=-2.
13. 换元思想 (2025·湖南长沙望城区期末)定义:如果两个一元一次方程的解之和为 1,我们就称这两个方程为“美好方程”.例如:方程$4x = 8和x + 1 = 0$为“美好方程”.
(1)若关于$x的方程3x + m = 0与方程4x - 2 = x + 10$是“美好方程”,求$m$的值；
(2)若“美好方程”的两个解的差为 8,其中一个解为$n$,求$n$的值；
(3)若关于$x的一元一次方程\frac{1}{2024}x + 3 = 2x + k和\frac{1}{2024}x + 1 = 0$是“美好方程”,求关于$y的一元一次方程\frac{1}{2024}(y + 1) = 2y + k - 1$的解.
(1)若关于$x的方程3x + m = 0与方程4x - 2 = x + 10$是“美好方程”,求$m$的值；
(2)若“美好方程”的两个解的差为 8,其中一个解为$n$,求$n$的值；
(3)若关于$x的一元一次方程\frac{1}{2024}x + 3 = 2x + k和\frac{1}{2024}x + 1 = 0$是“美好方程”,求关于$y的一元一次方程\frac{1}{2024}(y + 1) = 2y + k - 1$的解.
答案：
(1)解方程4x-2=x+10,得x=4.
∵关于x的方程3x+m=0与方程4x-2=x+10是"美好方程",
∴关于x的方程3x+m=0的解为x=1-4=-3,
∴-3×3+m=0,
∴m=9.
(2)由题意,得另一个解为1-n.
∵"美好方程"的两个解的差为8,
∴n-(1-n)=8或1-n-n=8,解得n=4.5或n=-3.5.
(3)解方程$\frac{1}{2024}$x+1=0,得x=-2024.
∵关于x的一元一次方程$\frac{1}{2024}$x+3=2x+k和$\frac{1}{2024}$x+1=0是"美好方程",
∴关于x的一元一次方程$\frac{1}{2024}$x+3=2x+k的解为x=1-(-2024)=2025,
∴关于x的一元一次方程$\frac{1}{2024}$x=2x+k-3的解为x=2025,
∴关于x的一元一次方程$\frac{1}{2024}$x=2(x-1)+k-1的解为x=2025.令x=y+1=2025,则原方程等价为$\frac{1}{2024}$(y+1)=2y+k-1,→利用换元思想得到方程的解
∴关于y的一元一次方程$\frac{1}{2024}$(y+1)=2y+k-1的解为y=2025-1=2024.
(1)解方程4x-2=x+10,得x=4.
∵关于x的方程3x+m=0与方程4x-2=x+10是"美好方程",
∴关于x的方程3x+m=0的解为x=1-4=-3,
∴-3×3+m=0,
∴m=9.
(2)由题意,得另一个解为1-n.
∵"美好方程"的两个解的差为8,
∴n-(1-n)=8或1-n-n=8,解得n=4.5或n=-3.5.
(3)解方程$\frac{1}{2024}$x+1=0,得x=-2024.
∵关于x的一元一次方程$\frac{1}{2024}$x+3=2x+k和$\frac{1}{2024}$x+1=0是"美好方程",
∴关于x的一元一次方程$\frac{1}{2024}$x+3=2x+k的解为x=1-(-2024)=2025,
∴关于x的一元一次方程$\frac{1}{2024}$x=2x+k-3的解为x=2025,
∴关于x的一元一次方程$\frac{1}{2024}$x=2(x-1)+k-1的解为x=2025.令x=y+1=2025,则原方程等价为$\frac{1}{2024}$(y+1)=2y+k-1,→利用换元思想得到方程的解
∴关于y的一元一次方程$\frac{1}{2024}$(y+1)=2y+k-1的解为y=2025-1=2024.