1. 已知一直角三角形的一条直角边长为 2,斜边长为 4,则这个三角形的面积为 (
A.4
B.6
C.2
D.$\sqrt{12}$
D
)A.4
B.6
C.2
D.$\sqrt{12}$
答案：D
解析：
另一条直角边长为 $\sqrt{4^2 - 2^2} = \sqrt{16 - 4} = \sqrt{12}$，面积为 $\frac{1}{2} × 2 × \sqrt{12} = \sqrt{12}$，答案选 D。
2. 如图,在△ABC 中,∠ACB= 90°,AC= 4,BC= 3,则边 AB 上的中线 CD 的长为 (
A.$\frac{3}{2}$
B.2
C.$\frac{5}{2}$
D.$\frac{\sqrt{34}}{2}$
C
)A.$\frac{3}{2}$
B.2
C.$\frac{5}{2}$
D.$\frac{\sqrt{34}}{2}$
答案：C
解析：
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB=90^\circ$，$AC=4$，$BC=3$，由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^2 + BC^2}=\sqrt{4^2 + 3^2}=5$。
因为$CD$是$AB$边上的中线，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，所以$CD=\frac{1}{2}AB=\frac{5}{2}$。
C
因为$CD$是$AB$边上的中线，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，所以$CD=\frac{1}{2}AB=\frac{5}{2}$。
C
3. 如图,以单位长度为边长画一个正方形,正方形的两个顶点分别在数轴上 1 和 2 对应的点,以 1 对应的点为圆心,以正方形的对角线为半径画弧,分别交数轴于点 A,B. 设点 A,B 表示的数分别为 a,b,下列说法正确的是 (
A.a= -$\sqrt{2}$
B.$\frac{\pi}{2}$对应的点在线段 AB 上
C.a+b 是无理数
D.b-a 是有理数
B
)A.a= -$\sqrt{2}$
B.$\frac{\pi}{2}$对应的点在线段 AB 上
C.a+b 是无理数
D.b-a 是有理数
答案：B
解析：
正方形边长为1，对角线长为$\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$。圆心为1对应的点，半径为$\sqrt{2}$，则点A表示的数为$1 - \sqrt{2}$，点B表示的数为$1 + \sqrt{2}$。
A选项：$a = 1 - \sqrt{2} \neq -\sqrt{2}$，错误。
B选项：$\pi \approx 3.14$，$\frac{\pi}{2} \approx 1.57$，$a = 1 - \sqrt{2} \approx -0.414$，$b = 1 + \sqrt{2} \approx 2.414$，$-0.414 ＜ 1.57 ＜ 2.414$，故$\frac{\pi}{2}$对应的点在线段AB上，正确。
C选项：$a + b = (1 - \sqrt{2}) + (1 + \sqrt{2}) = 2$，是有理数，错误。
D选项：$b - a = (1 + \sqrt{2}) - (1 - \sqrt{2}) = 2\sqrt{2}$，是无理数，错误。
B
A选项：$a = 1 - \sqrt{2} \neq -\sqrt{2}$，错误。
B选项：$\pi \approx 3.14$，$\frac{\pi}{2} \approx 1.57$，$a = 1 - \sqrt{2} \approx -0.414$，$b = 1 + \sqrt{2} \approx 2.414$，$-0.414 ＜ 1.57 ＜ 2.414$，故$\frac{\pi}{2}$对应的点在线段AB上，正确。
C选项：$a + b = (1 - \sqrt{2}) + (1 + \sqrt{2}) = 2$，是有理数，错误。
D选项：$b - a = (1 + \sqrt{2}) - (1 - \sqrt{2}) = 2\sqrt{2}$，是无理数，错误。
B
4. 如图,在等腰三角形 ABC 中,∠A= 120°,腰 AB= 6,△ABC 的底边 BC 的长为
$\sqrt{108}$
.答案：$\sqrt{108}$
解析：
过点$ A $作$ AD \perp BC $于点$ D $。
在等腰$ \triangle ABC $中，$ AB = AC = 6 $，$ \angle BAC = 120^\circ $，
$ \therefore \angle BAD = \angle CAD = \frac{1}{2}\angle BAC = 60^\circ $，$ BD = CD = \frac{1}{2}BC $。
在$ Rt\triangle ABD $中，$ \angle ADB = 90^\circ $，
$ \sin\angle BAD = \frac{BD}{AB} $，
$ \therefore BD = AB \cdot \sin60^\circ = 6 × \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} $，
$ \therefore BC = 2BD = 2 × 3\sqrt{3} = 6\sqrt{3} = \sqrt{108} $。
$\sqrt{108}$
在等腰$ \triangle ABC $中，$ AB = AC = 6 $，$ \angle BAC = 120^\circ $，
$ \therefore \angle BAD = \angle CAD = \frac{1}{2}\angle BAC = 60^\circ $，$ BD = CD = \frac{1}{2}BC $。
在$ Rt\triangle ABD $中，$ \angle ADB = 90^\circ $，
$ \sin\angle BAD = \frac{BD}{AB} $，
$ \therefore BD = AB \cdot \sin60^\circ = 6 × \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} $，
$ \therefore BC = 2BD = 2 × 3\sqrt{3} = 6\sqrt{3} = \sqrt{108} $。
$\sqrt{108}$
5. 将一副三角板按如图所示的方式叠放在一起,点 A,C,D 在同一条直线上,AE 与 BC 交于点 F,若 AB= 10,则 AF=
$\sqrt{50}$
.答案：$\sqrt{50}$
6. 如图,分别以 Rt△ABC 的三边为斜边向外作等腰直角三角形,若斜边 AB= 6,则图中阴影部分的面积为 (
A.6
B.9
C.12
D.18
D
)A.6
B.9
C.12
D.18
答案：D
解析：
设以AC为斜边的等腰直角三角形面积为$S_1$，以BC为斜边的为$S_2$，以AB为斜边的为$S_3$。
对于等腰直角三角形，斜边为$c$时，直角边$a = \frac{c}{\sqrt{2}}$，面积$S=\frac{1}{2}a^2=\frac{c^2}{4}$。
$S_1=\frac{AC^2}{4}$，$S_2=\frac{BC^2}{4}$，$S_3=\frac{AB^2}{4}=\frac{6^2}{4}=9$。
在Rt△ABC中，$AC^2 + BC^2 = AB^2 = 36$。
阴影部分面积$S = S_1 + S_2 + S_3=\frac{AC^2 + BC^2}{4}+9=\frac{36}{4}+9=9 + 9=18$。
D
对于等腰直角三角形，斜边为$c$时，直角边$a = \frac{c}{\sqrt{2}}$，面积$S=\frac{1}{2}a^2=\frac{c^2}{4}$。
$S_1=\frac{AC^2}{4}$，$S_2=\frac{BC^2}{4}$，$S_3=\frac{AB^2}{4}=\frac{6^2}{4}=9$。
在Rt△ABC中，$AC^2 + BC^2 = AB^2 = 36$。
阴影部分面积$S = S_1 + S_2 + S_3=\frac{AC^2 + BC^2}{4}+9=\frac{36}{4}+9=9 + 9=18$。
D
7. 如图,在△ABC 中,AB= AC= 5,BC= 6,则边 AC 上的高 BD 为 (
A.4
B.4.4
C.4.8
D.5
C
)A.4
B.4.4
C.4.8
D.5
答案：C
解析：
过点$A$作$AE \perp BC$于点$E$。
$\because AB = AC = 5$，$BC = 6$，
$\therefore BE = EC=\frac{BC}{2}=3$。
在$Rt\triangle AEC$中，$AE=\sqrt{AC^{2}-EC^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}}=4$。
$\because S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2} × BC × AE=\frac{1}{2} × AC × BD$，
$\therefore \frac{1}{2} × 6 × 4=\frac{1}{2} × 5 × BD$，
解得$BD=\frac{24}{5}=4.8$。
C
$\because AB = AC = 5$，$BC = 6$，
$\therefore BE = EC=\frac{BC}{2}=3$。
在$Rt\triangle AEC$中，$AE=\sqrt{AC^{2}-EC^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}}=4$。
$\because S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2} × BC × AE=\frac{1}{2} × AC × BD$，
$\therefore \frac{1}{2} × 6 × 4=\frac{1}{2} × 5 × BD$，
解得$BD=\frac{24}{5}=4.8$。
C