答案：【解析】：本题可根据直角三角形斜边中线的性质，分别得出点$E$到点$B$、$D$的距离与$BD$的关系，再通过等量代换比较点$E$到点$A$、$C$的距离。
在$Rt\triangle ABD$中，因为直角三角形斜边中线等于斜边的一半，$E$是$BD$中点，所以$AE = \frac{1}{2}BD$。
在$Rt\triangle BCD$中，同理可得$CE = \frac{1}{2}BD$。
由此可推出$AE = CE$，即点$E$到点$A$、$C$的距离相等。
【答案】：解：$AE = CE$。
理由：
∵$\triangle ABD$是直角三角形，$E$是$BD$的中点，
∴在$Rt\triangle ABD$中，$AE=\frac{1}{2}BD$（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）。
∵$\triangle BCD$是直角三角形，$E$是$BD$的中点，
∴在$Rt\triangle BCD$中，$CE=\frac{1}{2}BD$（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）。
∴$AE = CE$，即点$E$到点$A$、$C$的距离相等。

答案：证明：取AB的中点D，连接CD。
∵∠ACB=90°，D是AB的中点，
∴CD=AD=BD=$\frac{1}{2}$AB（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）。
∵AC=$\frac{1}{2}$AB，
∴AC=AD=CD。
∴△ACD是等边三角形。
∴∠A=60°。
∵∠ACB=90°，
∴∠B=90°-∠A=90°-60°=30°。

答案：【解析】：本题可根据直角三角形斜边中线的性质得出线段相等关系，再根据等腰三角形的性质来证明$\angle EBD = \angle EDB$。
首先，在$Rt\triangle ABC$中，因为$\angle ABC = 90^{\circ}$，$E$是$AC$的中点，根据直角三角形斜边中线定理（直角三角形斜边的中线等于斜边的一半），可得$BE=\frac{1}{2}AC$。
同理，在$Rt\triangle ADC$中，$\angle ADC = 90^{\circ}$，$E$是$AC$的中点，所以$DE=\frac{1}{2}AC$。
由上述两个结论可知$BE = DE$，根据等腰三角形的性质（等腰三角形两底角相等），在$\triangle EBD$中，$BE = DE$，所以$\angle EBD = \angle EDB$。
【答案】：证明：
∵$\angle ABC = 90^{\circ}$，$E$是$AC$的中点，
∴$BE=\frac{1}{2}AC$（直角三角形斜边的中线等于斜边的一半）。
∵$\angle ADC = 90^{\circ}$，$E$是$AC$的中点，
∴$DE=\frac{1}{2}AC$（直角三角形斜边的中线等于斜边的一半）。
∴$BE = DE$。
∴$\angle EBD = \angle EDB$（等边对等角）。