活动三:做一做
任意写出一个各数位上的数字都不是零的三位数,将三个数位上的数字任取两个组成所有可能的两位数.先将组成的六个两位数求和,再将和除以原三位数的各数位上的数字之和.
例如,对于三位数 223,各数位上数字可组成的两位数是 22,23,22,23,32,32,它们的和是 154,三位数 223 各数位数字的和是 7,154÷7= 22.
再取几个数试一试,你发现了什么? 请写出你的探索过程和发现的结论,并运用代数式的知识说明结论是否正确.
任意写出一个各数位上的数字都不是零的三位数,将三个数位上的数字任取两个组成所有可能的两位数.先将组成的六个两位数求和,再将和除以原三位数的各数位上的数字之和.
例如,对于三位数 223,各数位上数字可组成的两位数是 22,23,22,23,32,32,它们的和是 154,三位数 223 各数位数字的和是 7,154÷7= 22.
再取几个数试一试,你发现了什么? 请写出你的探索过程和发现的结论,并运用代数式的知识说明结论是否正确.
答案：解:计算的结果总是22
直接用代数式证明:设个位数a,十位数b,百位数c
由题$,(10a+b+10a+c+10b+a+10b+c+10c+a+10c+b)÷(a+b+c)=\frac {22(a+b+c)}{a+b+c}=22$
直接用代数式证明:设个位数a,十位数b,百位数c
由题$,(10a+b+10a+c+10b+a+10b+c+10c+a+10c+b)÷(a+b+c)=\frac {22(a+b+c)}{a+b+c}=22$
1. 下列说法中,错误的是(
$A.-a^2b $的系数是-1,次数是 3
B.$\frac{a}{2}-1$是整式
$C.6a^2-2b-3 $的项是$ 6a^2,-2b,-3$
$D.2^2ab^2c^3-3a^3 $是八次二项式
D
)$A.-a^2b $的系数是-1,次数是 3
B.$\frac{a}{2}-1$是整式
$C.6a^2-2b-3 $的项是$ 6a^2,-2b,-3$
$D.2^2ab^2c^3-3a^3 $是八次二项式
答案：D
解析：
A. 对于 $-a^2b$，其系数是前面的数字部分，即 $-1$，次数是所有字母的指数之和，即 $2+1=3$，所以 A 选项正确。
B. $\frac{a}{2}-1$ 只涉及加法、减法和乘法运算，并且所有变量的指数都是非负整数，因此它是一个整式，所以 B 选项正确。
C. 对于 $6a^2-2b-3$，其项分别是 $6a^2$，$-2b$ 和 $-3$，所以 C 选项正确。
D. 对于 $2^2ab^2c^3-3a^3$，需要计算每一项的次数。第一项 $2^2ab^2c^3$ 的次数是 $a:1+b:2+c:3=6$，第二项 $-3a^3$ 的次数是 $3$。因此，这是一个六次二项式，而不是八次二项式，所以 D 选项错误。
B. $\frac{a}{2}-1$ 只涉及加法、减法和乘法运算，并且所有变量的指数都是非负整数，因此它是一个整式，所以 B 选项正确。
C. 对于 $6a^2-2b-3$，其项分别是 $6a^2$，$-2b$ 和 $-3$，所以 C 选项正确。
D. 对于 $2^2ab^2c^3-3a^3$，需要计算每一项的次数。第一项 $2^2ab^2c^3$ 的次数是 $a:1+b:2+c:3=6$，第二项 $-3a^3$ 的次数是 $3$。因此，这是一个六次二项式，而不是八次二项式，所以 D 选项错误。
2. 若单项式 $5x^{n+1}y$ 与 $-x^{3}y^{m}$ 的和为单项式,则 m=
1
,n= 2
.答案：1
2
2
解析：
因为单项式$5x^{n+1}y$与$-x^{3}y^{m}$的和为单项式，所以它们是同类项。
同类项要求相同字母的指数相同，故：
对于$x$的指数：$n + 1 = 3$，解得$n = 2$；
对于$y$的指数：$m = 1$。
m=1；n=2。
同类项要求相同字母的指数相同，故：
对于$x$的指数：$n + 1 = 3$，解得$n = 2$；
对于$y$的指数：$m = 1$。
m=1；n=2。
3. 如图是一组有规律的图案,第 1 个图案由 4 个基本图形组成,第 2 个图案由 7 个基本图形组成……第 n(n 是正整数)个图案由
3n+1
个基本图形组成.答案：3n+1
解析：
第1个图案由4个基本图形组成，
第2个图案由7个基本图形组成，
第3个图案由10个基本图形组成。
观察规律可以发现，每个图案比前一个图案多3个基本图形，
即第$n$个图案由$4 + 3(n-1)$个基本图形组成，
化简得$3n + 1$。
第2个图案由7个基本图形组成，
第3个图案由10个基本图形组成。
观察规律可以发现，每个图案比前一个图案多3个基本图形，
即第$n$个图案由$4 + 3(n-1)$个基本图形组成，
化简得$3n + 1$。
4. 化简:
(1) $5x^{3}-3y^{2}-x^{3}+6y^{2}+y^{3}$;
(2) $5ab^{2}-[2a^{2}b-2(a^{2}b-2ab^{2})]$.
(1) $5x^{3}-3y^{2}-x^{3}+6y^{2}+y^{3}$;
(2) $5ab^{2}-[2a^{2}b-2(a^{2}b-2ab^{2})]$.
答案：
(1) 原式
$= 5x^{3} - x^{3} - 3y^{2} + 6y^{2} + y^{3}$
$= 4x^{3} + 3y^{2} + y^{3}$
(2) 原式
$= 5ab^{2} - [2a^{2}b - 2a^{2}b + 4ab^{2}]$
$= 5ab^{2} - 4ab^{2}$
$= ab^{2}$
(1) 原式
$= 5x^{3} - x^{3} - 3y^{2} + 6y^{2} + y^{3}$
$= 4x^{3} + 3y^{2} + y^{3}$
(2) 原式
$= 5ab^{2} - [2a^{2}b - 2a^{2}b + 4ab^{2}]$
$= 5ab^{2} - 4ab^{2}$
$= ab^{2}$
1. 对于单项式①$6x^{2}$,②$\frac{xy^{2}}{3}$,③$-0.37y^{2}x$,④$-\frac{1}{4}y^{3}$,⑤$\frac{1}{3}x^{2}y$,⑥$3×2^{3}$.下列说法正确的是(
A.②③⑤是同类项
B.②与③是同类项
C.②与⑤是同类项
D.①④⑥是同类项
B
)A.②③⑤是同类项
B.②与③是同类项
C.②与⑤是同类项
D.①④⑥是同类项
答案：B
解析：
同类项是指所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项。
①$6x^{2}$：字母为$x$，指数为$2$。
②$\frac{xy^{2}}{3}$：字母为$x$、$y$，$x$的指数为$1$，$y$的指数为$2$。
③$-0.37y^{2}x$：字母为$x$、$y$，$x$的指数为$1$，$y$的指数为$2$。
④$-\frac{1}{4}y^{3}$：字母为$y$，指数为$3$。
⑤$\frac{1}{3}x^{2}y$：字母为$x$、$y$，$x$的指数为$2$，$y$的指数为$1$。
⑥$3×2^{3}$：常数项。
②与③所含字母相同，相同字母的指数也相同，是同类项。
B
①$6x^{2}$：字母为$x$，指数为$2$。
②$\frac{xy^{2}}{3}$：字母为$x$、$y$，$x$的指数为$1$，$y$的指数为$2$。
③$-0.37y^{2}x$：字母为$x$、$y$，$x$的指数为$1$，$y$的指数为$2$。
④$-\frac{1}{4}y^{3}$：字母为$y$，指数为$3$。
⑤$\frac{1}{3}x^{2}y$：字母为$x$、$y$，$x$的指数为$2$，$y$的指数为$1$。
⑥$3×2^{3}$：常数项。
②与③所含字母相同，相同字母的指数也相同，是同类项。
B