1. 如图5-1,在平面直角坐标系中,一次函数$y= -2x+8$的图象与y轴交于点A,与x轴交于点B；在y轴上取一点C,$AC= BC$,连接BC.
(1)求点C的坐标和直线BC相应的函数表达式；
(2)在线段AB上取一点D,若点D的横坐标为2,请在x轴上找一点P,使得$PD+PC$的值最小,并求出此时点P的坐标.
(1)求点C的坐标和直线BC相应的函数表达式；
(2)在线段AB上取一点D,若点D的横坐标为2,请在x轴上找一点P,使得$PD+PC$的值最小,并求出此时点P的坐标.
答案：(1)对于一次函数$y=-2x+8$，
令$x=0$，得$y=8$，则$A(0,8)$；令$y=0$，得$-2x+8=0$，$x=4$，则$B(4,0)$。
设$C(0,c)$，$AC=|8-c|$，$BC=\sqrt{(4-0)^2+(0-c)^2}=\sqrt{16+c^2}$。
由$AC=BC$，得$|8-c|=\sqrt{16+c^2}$，两边平方：$(8-c)^2=16+c^2$，
即$64-16c+c^2=16+c^2$，解得$c=3$，故$C(0,3)$。
设直线$BC$：$y=kx+b$，将$B(4,0)$，$C(0,3)$代入，得$\begin{cases}4k+b=0\\b=3\end{cases}$，
解得$k=-\frac{3}{4}$，$b=3$，故直线$BC$：$y=-\frac{3}{4}x+3$。
(2)在$y=-2x+8$中，令$x=2$，得$y=4$，则$D(2,4)$。
作$C(0,3)$关于$x$轴的对称点$C'(0,-3)$，连接$DC'$交$x$轴于$P$，此时$PD+PC$最小。
设直线$DC'$：$y=mx+n$，将$D(2,4)$，$C'(0,-3)$代入，得$\begin{cases}2m+n=4\\n=-3\end{cases}$，
解得$m=\frac{7}{2}$，$n=-3$，故直线$DC'$：$y=\frac{7}{2}x-3$。
令$y=0$，得$\frac{7}{2}x-3=0$，$x=\frac{6}{7}$，则$P\left(\frac{6}{7},0\right)$。
(1)$C(0,3)$，直线$BC$：$y=-\frac{3}{4}x+3$；(2)$P\left(\frac{6}{7},0\right)$。
令$x=0$，得$y=8$，则$A(0,8)$；令$y=0$，得$-2x+8=0$，$x=4$，则$B(4,0)$。
设$C(0,c)$，$AC=|8-c|$，$BC=\sqrt{(4-0)^2+(0-c)^2}=\sqrt{16+c^2}$。
由$AC=BC$，得$|8-c|=\sqrt{16+c^2}$，两边平方：$(8-c)^2=16+c^2$，
即$64-16c+c^2=16+c^2$，解得$c=3$，故$C(0,3)$。
设直线$BC$：$y=kx+b$，将$B(4,0)$，$C(0,3)$代入，得$\begin{cases}4k+b=0\\b=3\end{cases}$，
解得$k=-\frac{3}{4}$，$b=3$，故直线$BC$：$y=-\frac{3}{4}x+3$。
(2)在$y=-2x+8$中，令$x=2$，得$y=4$，则$D(2,4)$。
作$C(0,3)$关于$x$轴的对称点$C'(0,-3)$，连接$DC'$交$x$轴于$P$，此时$PD+PC$最小。
设直线$DC'$：$y=mx+n$，将$D(2,4)$，$C'(0,-3)$代入，得$\begin{cases}2m+n=4\\n=-3\end{cases}$，
解得$m=\frac{7}{2}$，$n=-3$，故直线$DC'$：$y=\frac{7}{2}x-3$。
令$y=0$，得$\frac{7}{2}x-3=0$，$x=\frac{6}{7}$，则$P\left(\frac{6}{7},0\right)$。
(1)$C(0,3)$，直线$BC$：$y=-\frac{3}{4}x+3$；(2)$P\left(\frac{6}{7},0\right)$。