25. (10分)甲、乙两个工程队同时挖掘两段长度相等的隧道,如图是甲、乙两队挖掘隧道长度y m与挖掘时间x h之间关系的部分图象.请解答下列问题:
(1) 在前2 h的挖掘中,甲队的挖掘速度为
(2) ① 当$2\leq x\leq 6$时,求乙队挖掘隧道长度$y_{乙}$关于x的函数表达式.
② 开挖几小时后,甲队所挖掘隧道的长度开始超过乙队?
(3) 如果甲队施工速度不变,乙队在开挖6 h后,施工速度增加到12 m/h,那么两队同时完成了任务,求甲队从开挖到完工所挖掘隧道的总长度.
(1) 在前2 h的挖掘中,甲队的挖掘速度为
10
m/h,乙队的挖掘速度为15
m/h.(2) ① 当$2\leq x\leq 6$时,求乙队挖掘隧道长度$y_{乙}$关于x的函数表达式.
② 开挖几小时后,甲队所挖掘隧道的长度开始超过乙队?
(3) 如果甲队施工速度不变,乙队在开挖6 h后,施工速度增加到12 m/h,那么两队同时完成了任务,求甲队从开挖到完工所挖掘隧道的总长度.
(2) ① 设$y_{乙}=kx+b$，把$(2,30)$，$(6,50)$代入，得$\begin{cases}2k + b = 30, \\6k + b = 50.\end{cases}$解得$\begin{cases}k = 5, \\b = 20.\end{cases}$所以当$2\leq x\leq 6$时，$y_{乙}=5x + 20$。② 由图可知，甲队函数表达式为$y_{甲}=10x$。当$y_{甲}＞y_{乙}$时，$10x＞5x + 20$，解得$x＞4$。所以开挖 4 h 后，甲队所挖掘隧道的长度开始超过乙队。(3) 设甲队从开挖到完工所挖掘隧道的总长度为$m$米。甲队速度为$10$m/h，乙队前 6 h 挖掘长度为$50$米，之后速度为$12$m/h，设甲队总时间为$t$，则$m = 10t$，乙队$m=50 + 12(t - 6)$，即$m = 12t - 22$。又因为$m = 10t$，所以$10t=12t - 22$，解得$t = 11$，则$m = 10×11 = 110$米。
答案：(1) 在前 2 h 的挖掘中，甲队的挖掘速度为$\frac{60}{6} = 10$ (m/h)，乙队的挖掘速度为$\frac{30}{2} = 15$ (m/h)。
(2) ① 设$y_{乙}=kx+b$，把$(2,30)$，$(6,50)$代入，
得$\begin{cases}2k + b = 30, \\6k + b = 50.\end{cases}$
解得$\begin{cases}k = 5, \\b = 20.\end{cases}$
所以当$2\leq x\leq 6$时，$y_{乙}=5x + 20$。
② 由图可知，甲队函数表达式为$y_{甲}=10x$。
当$y_{甲}＞y_{乙}$时，$10x＞5x + 20$，
解得$x＞4$。
所以开挖 4 h 后，甲队所挖掘隧道的长度开始超过乙队。
(3) 设甲队从开挖到完工所挖掘隧道的总长度为$m$米。
甲队速度为$10$m/h，乙队前 6 h 的速度我们根据之前计算，在$2\leq x\leq 6$时为$5$m/h 加上初始$2$小时的$15$m/h ，6h 后速度为$12$m/h。
甲队挖掘总长度$m = 10t$（$t$为甲队总时间）。
乙队前 6 h 挖掘长度为$50$米，之后速度为$12$m/h，设之后时间为$t_{1}$，则$m=50 + 12t_{1}$，且$t=6 + t_{1}$。
把$t_{1}=t - 6$代入$m = 50+12t_{1}$得$m = 50+12(t - 6)=12t-22$。
又因为$m = 10t$，所以$10t=12t - 22$，
$2t=22$，解得$t = 11$。
则$m = 10×11 = 110$（米）。
综上，答案依次为：(1)$10$，$15$；(2)①$y_{乙}=5x + 20(2\leq x\leq 6)$；②$4$h；(3)$110$m。
(2) ① 设$y_{乙}=kx+b$，把$(2,30)$，$(6,50)$代入，
得$\begin{cases}2k + b = 30, \\6k + b = 50.\end{cases}$
解得$\begin{cases}k = 5, \\b = 20.\end{cases}$
所以当$2\leq x\leq 6$时，$y_{乙}=5x + 20$。
② 由图可知，甲队函数表达式为$y_{甲}=10x$。
当$y_{甲}＞y_{乙}$时，$10x＞5x + 20$，
解得$x＞4$。
所以开挖 4 h 后，甲队所挖掘隧道的长度开始超过乙队。
(3) 设甲队从开挖到完工所挖掘隧道的总长度为$m$米。
甲队速度为$10$m/h，乙队前 6 h 的速度我们根据之前计算，在$2\leq x\leq 6$时为$5$m/h 加上初始$2$小时的$15$m/h ，6h 后速度为$12$m/h。
甲队挖掘总长度$m = 10t$（$t$为甲队总时间）。
乙队前 6 h 挖掘长度为$50$米，之后速度为$12$m/h，设之后时间为$t_{1}$，则$m=50 + 12t_{1}$，且$t=6 + t_{1}$。
把$t_{1}=t - 6$代入$m = 50+12t_{1}$得$m = 50+12(t - 6)=12t-22$。
又因为$m = 10t$，所以$10t=12t - 22$，
$2t=22$，解得$t = 11$。
则$m = 10×11 = 110$（米）。
综上，答案依次为：(1)$10$，$15$；(2)①$y_{乙}=5x + 20(2\leq x\leq 6)$；②$4$h；(3)$110$m。
26. (12分)(1) 问题:如图①,在$Rt\triangle ABC$中,$AB= AC$,D为边BC上一点(不与点B,C重合),将线段AD绕点A按逆时针方向旋转$90^{\circ}$得到AE,连接EC,则线段BC,DC,EC之间满足的等量关系为______
(2) 探索:如图②,在$Rt\triangle ABC与Rt\triangle ADE$中,$AB= AC$,$AD= AE$,将$\triangle ADE$绕点A旋转,使点D落在边BC上,试探索线段AD,BD,CD之间满足的等量关系,并证明结论.______
(3) 应用:如图③,在四边形ABCD中,$\angle ABC= \angle ACB= \angle ADC= 45^{\circ}$.若$BD= 12$,$CD= 4$,求AD的长.______
BC=DC+EC
.(2) 探索:如图②,在$Rt\triangle ABC与Rt\triangle ADE$中,$AB= AC$,$AD= AE$,将$\triangle ADE$绕点A旋转,使点D落在边BC上,试探索线段AD,BD,CD之间满足的等量关系,并证明结论.______
BD²+CD²=2AD²
(3) 应用:如图③,在四边形ABCD中,$\angle ABC= \angle ACB= \angle ADC= 45^{\circ}$.若$BD= 12$,$CD= 4$,求AD的长.______
AD=8
答案：(1) BC=DC+EC
证明：∵AB=AC，∠BAC=90°，AD绕A逆时针旋转90°得AE，∴AD=AE，∠DAE=90°。
∴∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE。
在△ABD和△ACE中，$\left\{\begin{array}{l}AB=AC\\∠BAD=∠CAE\\AD=AE\end{array}\right.$，∴△ABD≌△ACE(SAS)。
∴BD=EC，∵BC=BD+DC，∴BC=DC+EC。
(2) BD²+CD²=2AD²
证明：连接CE。
∵AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAD=∠CAE。
∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴BD=CE，∠ABD=∠ACE=45°。
∵∠ACB=45°，∴∠DCE=∠ACB+∠ACE=90°。
在Rt△DCE中，CD²+CE²=DE²。
∵△ADE为等腰直角三角形，∴DE²=AD²+AE²=2AD²。
∵CE=BD，∴BD²+CD²=2AD²。
(3) AD=8
证明：∵∠ABC=∠ACB=45°，∴∠BAC=90°，AB=AC。
将△ADC绕A顺时针旋转90°得△AD'B，连接DD'。
则AD=AD'，∠DAD'=90°，BD'=CD=4，∠AD'B=∠ADC=45°。
∴△DAD'为等腰直角三角形，∠AD'D=45°，∴∠BD'D=∠AD'B+∠AD'D=90°。
在Rt△BD'D中，BD=12，BD'=4，∴D'D²=BD²-BD'²=12²-4²=128。
∵△DAD'为等腰直角三角形，∴D'D²=2AD²，即128=2AD²，∴AD=8。
证明：∵AB=AC，∠BAC=90°，AD绕A逆时针旋转90°得AE，∴AD=AE，∠DAE=90°。
∴∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE。
在△ABD和△ACE中，$\left\{\begin{array}{l}AB=AC\\∠BAD=∠CAE\\AD=AE\end{array}\right.$，∴△ABD≌△ACE(SAS)。
∴BD=EC，∵BC=BD+DC，∴BC=DC+EC。
(2) BD²+CD²=2AD²
证明：连接CE。
∵AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAD=∠CAE。
∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴BD=CE，∠ABD=∠ACE=45°。
∵∠ACB=45°，∴∠DCE=∠ACB+∠ACE=90°。
在Rt△DCE中，CD²+CE²=DE²。
∵△ADE为等腰直角三角形，∴DE²=AD²+AE²=2AD²。
∵CE=BD，∴BD²+CD²=2AD²。
(3) AD=8
证明：∵∠ABC=∠ACB=45°，∴∠BAC=90°，AB=AC。
将△ADC绕A顺时针旋转90°得△AD'B，连接DD'。
则AD=AD'，∠DAD'=90°，BD'=CD=4，∠AD'B=∠ADC=45°。
∴△DAD'为等腰直角三角形，∠AD'D=45°，∴∠BD'D=∠AD'B+∠AD'D=90°。
在Rt△BD'D中，BD=12，BD'=4，∴D'D²=BD²-BD'²=12²-4²=128。
∵△DAD'为等腰直角三角形，∴D'D²=2AD²，即128=2AD²，∴AD=8。