活动一:想一想 写一写
(1)“等腰三角形的两底角相等”的逆命题是什么?
(2)上述命题的逆命题是真命题还是假命题?请加以证明.
(3)你还有不同的证明方法吗?
(1)“等腰三角形的两底角相等”的逆命题是什么?
(2)上述命题的逆命题是真命题还是假命题?请加以证明.
(3)你还有不同的证明方法吗?
答案：(1)有两个角相等的三角形是等腰三角形；(2)真命题；(3)有，证明见解析。
解析：
(1)逆命题：有两个角相等的三角形是等腰三角形。
(2)真命题。证明：已知△ABC中，∠B=∠C，求证AB=AC。作∠BAC的平分线AD交BC于D，则∠BAD=∠CAD。在△ABD和△ACD中，∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，AD=AD，∴△ABD≌△ACD(AAS)，∴AB=AC。
(3)有。证明：作AD⊥BC于D，则∠ADB=∠ADC=90°。在△ABD和△ACD中，∠B=∠C，∠ADB=∠ADC，AD=AD，∴△ABD≌△ACD(AAS)，∴AB=AC。
(2)真命题。证明：已知△ABC中，∠B=∠C，求证AB=AC。作∠BAC的平分线AD交BC于D，则∠BAD=∠CAD。在△ABD和△ACD中，∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，AD=AD，∴△ABD≌△ACD(AAS)，∴AB=AC。
(3)有。证明：作AD⊥BC于D，则∠ADB=∠ADC=90°。在△ABD和△ACD中，∠B=∠C，∠ADB=∠ADC，AD=AD，∴△ABD≌△ACD(AAS)，∴AB=AC。
活动二:说一说 议一议
若将课本第 44 页的例 2 改为“在图 1-45 中,如果AB= AC,AD平分∠EAC,那么AD//BC吗?”请你思考并解决这个问题.
若将课本第 44 页的例 2 改为“在图 1-45 中,如果AB= AC,AD平分∠EAC,那么AD//BC吗?”请你思考并解决这个问题.
答案：A（假设选项A代表“$AD // BC$”的结论，由于具体选项内容未给出，这里仅根据常规选择题设定进行假设）
解析：
1. 根据题意，已知 $AB = AC$，所以 $\triangle ABC$ 是等腰三角形。
2. 根据等腰三角形的性质，若两边相等，则它们对应的底角也相等。即 $\angle B = \angle C$。
3. 又因为 $AD$ 平分 $\angle EAC$，所以 $\angle EAD = \angle CAD$。
4. 根据外角定理，有 $\angle EAC = \angle B + \angle C$。由于 $\angle B = \angle C$，所以 $\angle EAC = 2\angle B$。
5. 由于 $AD$ 平分 $\angle EAC$，则 $\angle EAD = \frac{1}{2} \angle EAC = \angle B$。
6. 根据平行线的性质，若两直线被第三条直线所截，且内错角相等，则这两直线平行。在这里，$\angle EAD$ 和 $\angle B$ 是内错角，且相等，所以 $AD // BC$。
2. 根据等腰三角形的性质，若两边相等，则它们对应的底角也相等。即 $\angle B = \angle C$。
3. 又因为 $AD$ 平分 $\angle EAC$，所以 $\angle EAD = \angle CAD$。
4. 根据外角定理，有 $\angle EAC = \angle B + \angle C$。由于 $\angle B = \angle C$，所以 $\angle EAC = 2\angle B$。
5. 由于 $AD$ 平分 $\angle EAC$，则 $\angle EAD = \frac{1}{2} \angle EAC = \angle B$。
6. 根据平行线的性质，若两直线被第三条直线所截，且内错角相等，则这两直线平行。在这里，$\angle EAD$ 和 $\angle B$ 是内错角，且相等，所以 $AD // BC$。
活动三:看一看 做一做
用直尺和圆规作等腰三角形(见课本第 45 页例 3).
用直尺和圆规作等腰三角形(见课本第 45 页例 3).
答案：△PAB为所作等腰三角形
解析：
1. 作线段AB；2. 分别以A、B为圆心，大于AB一半的长为半径画弧，两弧交于点C、D；3. 作直线CD，交AB于点O；4. 在直线CD上取一点P（不与O重合），连接PA、PB；5. △PAB即为所求等腰三角形。
1. 选择题:
(1)在△ABC中,∠B= ∠C,AB= 5,则AC的长为(
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
(2)如图,在△ABC中,AB= AC,∠B= 36°,点D,E在边BC上,且∠BAD= ∠DAE= ∠EAC,则图中等腰三角形有(
A. 2个
B. 4个
C. 6个
D. 8个
(1)在△ABC中,∠B= ∠C,AB= 5,则AC的长为(
D
)A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
(2)如图,在△ABC中,AB= AC,∠B= 36°,点D,E在边BC上,且∠BAD= ∠DAE= ∠EAC,则图中等腰三角形有(
C
)A. 2个
B. 4个
C. 6个
D. 8个
答案：(1)D；(2)C
解析：
(1)在$\triangle ABC$中，因为$\angle B=\angle C$，根据等腰三角形的性质“等角对等边”，可知$AC = AB$，已知$AB = 5$，所以$AC = 5$。
(2)因为$AB = AC$，$\angle B = 36^{\circ}$，所以$\angle C = 36^{\circ}$，$\angle BAC=180^{\circ}-36^{\circ}-36^{\circ}=108^{\circ}$。
又因为$\angle BAD=\angle DAE=\angle EAC$，所以$\angle BAD=\angle DAE=\angle EAC = 36^{\circ}$。
则$\angle ADB=180^{\circ}-36^{\circ}-36^{\circ}=108^{\circ}$，$\angle AED = 180^{\circ}-36^{\circ}-36^{\circ}=72^{\circ}$，$\angle CDE=180^{\circ}-72^{\circ}=108^{\circ}$，$\angle DEC = 72^{\circ}$。
所以$\triangle ABC$、$\triangle ABD$、$\triangle ADE$、$\triangle AEC$、$\triangle ABE$、$\triangle ACD$都是等腰三角形，共$6$个。
(2)因为$AB = AC$，$\angle B = 36^{\circ}$，所以$\angle C = 36^{\circ}$，$\angle BAC=180^{\circ}-36^{\circ}-36^{\circ}=108^{\circ}$。
又因为$\angle BAD=\angle DAE=\angle EAC$，所以$\angle BAD=\angle DAE=\angle EAC = 36^{\circ}$。
则$\angle ADB=180^{\circ}-36^{\circ}-36^{\circ}=108^{\circ}$，$\angle AED = 180^{\circ}-36^{\circ}-36^{\circ}=72^{\circ}$，$\angle CDE=180^{\circ}-72^{\circ}=108^{\circ}$，$\angle DEC = 72^{\circ}$。
所以$\triangle ABC$、$\triangle ABD$、$\triangle ADE$、$\triangle AEC$、$\triangle ABE$、$\triangle ACD$都是等腰三角形，共$6$个。