3. 如图,在∠ABC内有一点P.能否在边BA,BC上各找一点M,N,使△PMN的周长最短？若能,请作图确定点M,N的位置(不需证明,不写作法,保留作图痕迹)；若不能,请说明理由.
答案：能。
作图痕迹：作点P关于BA的对称点P₁，作点P关于BC的对称点P₂，连接P₁P₂，分别交BA于点M，交BC于点N。点M、N即为所求。
作图痕迹：作点P关于BA的对称点P₁，作点P关于BC的对称点P₂，连接P₁P₂，分别交BA于点M，交BC于点N。点M、N即为所求。
4. 如图,在△ABC中,AB= BC= AC= 12 cm,现有两动点M,N分别从点A,B同时出发,沿三角形的边运动,已知点M的速度为1 cm/s,点N的速度为2 cm/s.当点N第一次到达点B时,点M,N同时停止运动.
(1)点M,N运动几秒后,M,N两点重合？
(2)点M,N运动几秒后,以点A,M,N为顶点的三角形是等边三角形？
(3)当点M,N在边BC上运动时,连接AM,AN,能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？若能,请求出此时点M,N运动的时间.
(1)点M,N运动几秒后,M,N两点重合？
(2)点M,N运动几秒后,以点A,M,N为顶点的三角形是等边三角形？
(3)当点M,N在边BC上运动时,连接AM,AN,能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？若能,请求出此时点M,N运动的时间.
答案：(1) 设运动时间为 $ t $ 秒。M 从 A 沿 AC 运动，速度 1cm/s，N 从 B 沿 BA→AC 运动，速度 2cm/s。当 6≤t≤12 时，M、N 均在 AC 上，M 距 A 为 $ t $ cm，N 距 A 为 $ 2(t-6) $ cm。重合时 $ t=2(t-6) $，解得 $ t=12 $。
(2) ① 0≤t≤6 时，M 在 AC 上（AM=t），N 在 BA 上（AN=12-2t）。△AMN 为等边三角形，则 $ t=12-2t $，解得 $ t=4 $。② 6＜t≤12 时，M、N 共线，不构成三角形。③ 12＜t≤18 时，AM≠AN，故仅 $ t=4 $。
(3) 12≤t≤18 时，M、N 在 BC 上，CM=t-12，CN=2(t-12)。AM=AN 需 M、N 关于 BC 中线对称，即 $ (t-12)+2(t-12)=12 $，解得 $ t=16 $。
(1) 12 秒
(2) 4 秒
(3) 16 秒
(2) ① 0≤t≤6 时，M 在 AC 上（AM=t），N 在 BA 上（AN=12-2t）。△AMN 为等边三角形，则 $ t=12-2t $，解得 $ t=4 $。② 6＜t≤12 时，M、N 共线，不构成三角形。③ 12＜t≤18 时，AM≠AN，故仅 $ t=4 $。
(3) 12≤t≤18 时，M、N 在 BC 上，CM=t-12，CN=2(t-12)。AM=AN 需 M、N 关于 BC 中线对称，即 $ (t-12)+2(t-12)=12 $，解得 $ t=16 $。
(1) 12 秒
(2) 4 秒
(3) 16 秒