活动一：忆一忆 说一说
1. 在有理数范围内,绝对值、相反数、倒数的意义是什么？在实数范围内呢？你能举例说明无理数的绝对值、相反数、倒数的意义吗？
2. 比较两个有理数的大小有哪些方法？
3. 回顾有理数的运算法则,对比实数的运算法则和有理数的运算法则,你有什么想法？
4. 你会应用四舍五入法对一个实数取近似值吗？
1. 在有理数范围内,绝对值、相反数、倒数的意义是什么？在实数范围内呢？你能举例说明无理数的绝对值、相反数、倒数的意义吗？
2. 比较两个有理数的大小有哪些方法？
3. 回顾有理数的运算法则,对比实数的运算法则和有理数的运算法则,你有什么想法？
4. 你会应用四舍五入法对一个实数取近似值吗？
答案：1.
绝对值：
有理数：数轴上表示数$a$的点与原点的距离叫做数$a$的绝对值，记作$|a|$。正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，$0$的绝对值是$0$。
实数：同样，实数$a$的绝对值$|a|$，正实数的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，$0$的绝对值是$0$。例如，无理数$\sqrt{2}$的绝对值$|\sqrt{2}|=\sqrt{2}$，$-\sqrt{2}$的绝对值$|-\sqrt{2}|=\sqrt{2}$。
相反数：
有理数：绝对值相等，正负号相反的两个数互为相反数。$a$的相反数是$-a$。
实数：实数$a$的相反数是$-a$。例如，无理数$\pi$的相反数是$-\pi$。
倒数：
有理数：乘积是$1$的两个数互为倒数，$0$没有倒数，$a(a\neq0)$的倒数是$\frac{1}{a}$。
实数：实数$a(a\neq0)$的倒数是$\frac{1}{a}$。例如，无理数$\sqrt{3}$的倒数是$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。
2.
比较两个有理数大小的方法：
数轴比较法：在数轴上，右边的数总比左边的数大。
作差比较法：设$a$、$b$是两个有理数，若$a - b＞0$，则$a＞b$；若$a - b = 0$，则$a = b$；若$a - b＜0$，则$a＜b$。
作商比较法：设$a$、$b$是两个正有理数，若$\frac{a}{b}＞1$，则$a＞b$；若$\frac{a}{b}=1$，则$a = b$；若$\frac{a}{b}＜1$，则$a＜b$。
3.
有理数的运算法则和实数的运算法则：
有理数的加、减、乘、除（除数不为$0$）、乘方运算规则在实数范围内仍然适用。例如，有理数的加法交换律$a + b = b + a$，结合律$(a + b)+c = a+(b + c)$在实数加法中同样成立；有理数的乘法交换律$ab = ba$，结合律$(ab)c = a(bc)$，分配律$a(b + c)=ab+ac$在实数乘法中也成立。
4.
四舍五入法对实数取近似值：
例如，要将实数$3.14159$保留到小数点后两位。看小数点后第三位数字是$1$，$1＜5$，则舍去，$3.14159\approx3.14$；若要将$2.678$保留到小数点后一位，看小数点后第二位数字是$7$，$7＞5$，则进一位，$2.678\approx2.7$。
绝对值：
有理数：数轴上表示数$a$的点与原点的距离叫做数$a$的绝对值，记作$|a|$。正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，$0$的绝对值是$0$。
实数：同样，实数$a$的绝对值$|a|$，正实数的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，$0$的绝对值是$0$。例如，无理数$\sqrt{2}$的绝对值$|\sqrt{2}|=\sqrt{2}$，$-\sqrt{2}$的绝对值$|-\sqrt{2}|=\sqrt{2}$。
相反数：
有理数：绝对值相等，正负号相反的两个数互为相反数。$a$的相反数是$-a$。
实数：实数$a$的相反数是$-a$。例如，无理数$\pi$的相反数是$-\pi$。
倒数：
有理数：乘积是$1$的两个数互为倒数，$0$没有倒数，$a(a\neq0)$的倒数是$\frac{1}{a}$。
实数：实数$a(a\neq0)$的倒数是$\frac{1}{a}$。例如，无理数$\sqrt{3}$的倒数是$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。
2.
比较两个有理数大小的方法：
数轴比较法：在数轴上，右边的数总比左边的数大。
作差比较法：设$a$、$b$是两个有理数，若$a - b＞0$，则$a＞b$；若$a - b = 0$，则$a = b$；若$a - b＜0$，则$a＜b$。
作商比较法：设$a$、$b$是两个正有理数，若$\frac{a}{b}＞1$，则$a＞b$；若$\frac{a}{b}=1$，则$a = b$；若$\frac{a}{b}＜1$，则$a＜b$。
3.
有理数的运算法则和实数的运算法则：
有理数的加、减、乘、除（除数不为$0$）、乘方运算规则在实数范围内仍然适用。例如，有理数的加法交换律$a + b = b + a$，结合律$(a + b)+c = a+(b + c)$在实数加法中同样成立；有理数的乘法交换律$ab = ba$，结合律$(ab)c = a(bc)$，分配律$a(b + c)=ab+ac$在实数乘法中也成立。
4.
四舍五入法对实数取近似值：
例如，要将实数$3.14159$保留到小数点后两位。看小数点后第三位数字是$1$，$1＜5$，则舍去，$3.14159\approx3.14$；若要将$2.678$保留到小数点后一位，看小数点后第二位数字是$7$，$7＞5$，则进一位，$2.678\approx2.7$。
活动二：想一想 做一做
1. 若$|a|= \sqrt{3}$,$b= \sqrt{2}$,求$a+b$的值.
2. 比较$\sqrt{3}与\sqrt{7}$,$-\sqrt{7}与-1.5$的大小.
3. 通过估算,比较$\frac{\sqrt{5}-1}{2}与\frac{1}{2}$的大小.
4. 用计算器计算：$\sqrt{3}-\sqrt{2}$. 说一说按键的顺序.
1. 若$|a|= \sqrt{3}$,$b= \sqrt{2}$,求$a+b$的值.
2. 比较$\sqrt{3}与\sqrt{7}$,$-\sqrt{7}与-1.5$的大小.
3. 通过估算,比较$\frac{\sqrt{5}-1}{2}与\frac{1}{2}$的大小.
4. 用计算器计算：$\sqrt{3}-\sqrt{2}$. 说一说按键的顺序.
答案：1.
因为$|a| = \sqrt{3}$，所以$a = \pm\sqrt{3}$。
当$a = \sqrt{3}$，$b = \sqrt{2}$时，$a + b=\sqrt{3}+\sqrt{2}$；
当$a = -\sqrt{3}$，$b = \sqrt{2}$时，$a + b=-\sqrt{3}+\sqrt{2}$。
2.
因为被开方数越大，其算术平方根越大，$3\lt7$，所以$\sqrt{3}\lt\sqrt{7}$；
因为$\sqrt{7}\approx2.65$，$1.5=\frac{3}{2}$，$\vert-\sqrt{7}\vert=\sqrt{7}\approx2.65$，$\vert - 1.5\vert = 1.5$，$2.65\gt1.5$，两个负数比较大小，绝对值大的反而小，所以$-\sqrt{7}\lt - 1.5$。
3.
因为$4\lt5\lt9$，所以$\sqrt{4}\lt\sqrt{5}\lt\sqrt{9}$，即$2\lt\sqrt{5}\lt3$，那么$2 - 1\lt\sqrt{5}-1\lt3 - 1$，$1\lt\sqrt{5}-1\lt2$，所以$\frac{1}{2}\lt\frac{\sqrt{5}-1}{2}\lt1$，故$\frac{\sqrt{5}-1}{2}\gt\frac{1}{2}$。
4.
按键顺序：先按$\sqrt{}$键，再按$3$，然后按$-$键，接着按$\sqrt{}$键，再按$2$，最后按$=$键。结果约为$0.318$。
因为$|a| = \sqrt{3}$，所以$a = \pm\sqrt{3}$。
当$a = \sqrt{3}$，$b = \sqrt{2}$时，$a + b=\sqrt{3}+\sqrt{2}$；
当$a = -\sqrt{3}$，$b = \sqrt{2}$时，$a + b=-\sqrt{3}+\sqrt{2}$。
2.
因为被开方数越大，其算术平方根越大，$3\lt7$，所以$\sqrt{3}\lt\sqrt{7}$；
因为$\sqrt{7}\approx2.65$，$1.5=\frac{3}{2}$，$\vert-\sqrt{7}\vert=\sqrt{7}\approx2.65$，$\vert - 1.5\vert = 1.5$，$2.65\gt1.5$，两个负数比较大小，绝对值大的反而小，所以$-\sqrt{7}\lt - 1.5$。
3.
因为$4\lt5\lt9$，所以$\sqrt{4}\lt\sqrt{5}\lt\sqrt{9}$，即$2\lt\sqrt{5}\lt3$，那么$2 - 1\lt\sqrt{5}-1\lt3 - 1$，$1\lt\sqrt{5}-1\lt2$，所以$\frac{1}{2}\lt\frac{\sqrt{5}-1}{2}\lt1$，故$\frac{\sqrt{5}-1}{2}\gt\frac{1}{2}$。
4.
按键顺序：先按$\sqrt{}$键，再按$3$，然后按$-$键，接着按$\sqrt{}$键，再按$2$，最后按$=$键。结果约为$0.318$。