6. 已知直径为30 cm的⊙O中有两条平行的弦AB和CD,AB= 18 cm,CD= 24 cm,则弦AB与CD间的距离为
$3\ \mathrm {cm}$或$21\ \mathrm {cm}$
.答案：$3\ \mathrm {cm}$或$21\ \mathrm {cm}$
解析：
情况一：AB、CD在圆心O同侧
过O作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连接OA、OC。
OA=OC=15 cm，AE=9 cm，CF=12 cm。
OE=$\sqrt{OA^2-AE^2}=\sqrt{15^2-9^2}=12$ cm，
OF=$\sqrt{OC^2-CF^2}=\sqrt{15^2-12^2}=9$ cm，
距离：OE-OF=12-9=3 cm。
情况二：AB、CD在圆心O两侧
距离：OE+OF=12+9=21 cm。
3 cm 或 21 cm
过O作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连接OA、OC。
OA=OC=15 cm，AE=9 cm，CF=12 cm。
OE=$\sqrt{OA^2-AE^2}=\sqrt{15^2-9^2}=12$ cm，
OF=$\sqrt{OC^2-CF^2}=\sqrt{15^2-12^2}=9$ cm，
距离：OE-OF=12-9=3 cm。
情况二：AB、CD在圆心O两侧
距离：OE+OF=12+9=21 cm。
3 cm 或 21 cm
7. 如图,P是⊙O内的一个定点.
(1)过点P作弦AB,使P是AB的中点(不写作法,保留作图痕迹)；
(2)在(1)的条件下,若⊙O的半径为13,OP= 5,求AB的长.
(1)过点P作弦AB,使P是AB的中点(不写作法,保留作图痕迹)；
(2)在(1)的条件下,若⊙O的半径为13,OP= 5,求AB的长.
答案：
解：(1)如图所示
(2)连接OA ，如图所示：
因为OP⊥AB .
所以$AP=BP=\sqrt{OA²-OP²}=\sqrt{13²-5²}=12，$
所以AB= 2AP=24
解：(1)如图所示
(2)连接OA ，如图所示：
因为OP⊥AB .
所以$AP=BP=\sqrt{OA²-OP²}=\sqrt{13²-5²}=12，$
所以AB= 2AP=24
8. 如图,一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中$\overset{\frown}{CD}$,点O是$\overset{\frown}{CD}$的圆心),其中CD= 600 m,E是$\overset{\frown}{CD}$上一点,且OE⊥CD,垂足为F,EF= 90 m.求这段弯路的半径.
答案：
解：连接OC,
∵OE⊥CD且$CD=600\,\,\text{m}$
∴$CF=\frac{1}{2}CD=300\,\,\text{m}$
设$OC=OE=\,\,x\,\,\text{m}，$则$OF=OE-EF=\left( x-90 \right) \,\,\text{m}$
在Rt△OCF中，
$ OC^2=OF^2+CF^2$
∴$x^2=\left( x-90 \right) ^2+300^2$
解得，x=545
∴$OC=OE=545\,\,\text{m}$
答：这段弯路的半径为$545\,\,\text{m}.$
解：连接OC,
∵OE⊥CD且$CD=600\,\,\text{m}$
∴$CF=\frac{1}{2}CD=300\,\,\text{m}$
设$OC=OE=\,\,x\,\,\text{m}，$则$OF=OE-EF=\left( x-90 \right) \,\,\text{m}$
在Rt△OCF中，
$ OC^2=OF^2+CF^2$
∴$x^2=\left( x-90 \right) ^2+300^2$
解得，x=545
∴$OC=OE=545\,\,\text{m}$
答：这段弯路的半径为$545\,\,\text{m}.$
解析：
设这段弯路的半径为$ R $米，则$ OC = OE = R $米。
因为$ OE \perp CD $，$ CD = 600 $米，所以$ CF = \frac{1}{2}CD = 300 $米，$ OF = OE - EF = (R - 90) $米。
在$ Rt\triangle OCF $中，由勾股定理得：$ OC^2 = CF^2 + OF^2 $，即$ R^2 = 300^2 + (R - 90)^2 $。
展开得：$ R^2 = 90000 + R^2 - 180R + 8100 $。
移项化简得：$ 180R = 98100 $，解得$ R = 545 $。
这段弯路的半径为$ 545 $米。
因为$ OE \perp CD $，$ CD = 600 $米，所以$ CF = \frac{1}{2}CD = 300 $米，$ OF = OE - EF = (R - 90) $米。
在$ Rt\triangle OCF $中，由勾股定理得：$ OC^2 = CF^2 + OF^2 $，即$ R^2 = 300^2 + (R - 90)^2 $。
展开得：$ R^2 = 90000 + R^2 - 180R + 8100 $。
移项化简得：$ 180R = 98100 $，解得$ R = 545 $。
这段弯路的半径为$ 545 $米。
9. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB= 90°,AC= 1,BC= $2\sqrt{2}$,以点C为圆心,CA长为半径画弧交斜边AB于点A、D,求BD的长.
答案：
解：作CE⊥AD，垂足为点E，连接CD，
在Rt△ACB中，AC=1，$BC=2\sqrt{2}$
∴$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=3$
∴$CE=\frac {AC×BC}{AB}=\frac {2\sqrt{2}}{3}$
在Rt△CDE中，
∵CD=CA=1，$CE=\frac {2\sqrt{2}}{3}$
∴$DE=\sqrt{CD^2-CE^2}=\frac {1}{3}$
∵CE⊥AD
∴$AD=2DE=\frac {2}{3}$
∴$BD=AB-AD=3-\frac {2}{3}=\frac {7}{3}$
解：作CE⊥AD，垂足为点E，连接CD，
在Rt△ACB中，AC=1，$BC=2\sqrt{2}$
∴$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=3$
∴$CE=\frac {AC×BC}{AB}=\frac {2\sqrt{2}}{3}$
在Rt△CDE中，
∵CD=CA=1，$CE=\frac {2\sqrt{2}}{3}$
∴$DE=\sqrt{CD^2-CE^2}=\frac {1}{3}$
∵CE⊥AD
∴$AD=2DE=\frac {2}{3}$
∴$BD=AB-AD=3-\frac {2}{3}=\frac {7}{3}$
解析：
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，BC=2√2，由勾股定理得AB=√(AC²+BC²)=√(1²+(2√2)²)=3。
过点C作CE⊥AB于点E，根据三角形面积公式，S△ABC=1/2×AC×BC=1/2×AB×CE，即1/2×1×2√2=1/2×3×CE，解得CE=2√2/3。
在Rt△ACE中，AE=√(AC²-CE²)=√(1²-(2√2/3)²)=1/3。
因为CA=CD=1，CE⊥AD，所以AD=2AE=2/3。
则BD=AB-AD=3-2/3=7/3。
7/3
过点C作CE⊥AB于点E，根据三角形面积公式，S△ABC=1/2×AC×BC=1/2×AB×CE，即1/2×1×2√2=1/2×3×CE，解得CE=2√2/3。
在Rt△ACE中，AE=√(AC²-CE²)=√(1²-(2√2/3)²)=1/3。
因为CA=CD=1，CE⊥AD，所以AD=2AE=2/3。
则BD=AB-AD=3-2/3=7/3。
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