1. 下列说法中,正确的是(
A.平面上任意三点都可以确定一个圆
B.任意三角形都有唯一的外接圆,任意圆都有唯一的内接三角形
C.等腰三角形的外心一定在三角形的内部
D.三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等
D
)A.平面上任意三点都可以确定一个圆
B.任意三角形都有唯一的外接圆,任意圆都有唯一的内接三角形
C.等腰三角形的外心一定在三角形的内部
D.三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等
答案：D
2. 小明不慎把家里的圆形镜子打碎了,其中三块碎片如图所示,三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是(
A.①
B.②
C.③
D.不能确定
A
)A.①
B.②
C.③
D.不能确定
答案：A
3. 如图,在平面直角坐标系中,△ABC 的三个顶点坐标分别是 A(0,3)、B(2,1)、C(2,-3),则△ABC 的外心坐标是
(-2,-1)
.答案：(-2,-1)
解析：
设△ABC的外心坐标为$(x,y)$。
因为外心到三角形三个顶点的距离相等，所以有：
$\begin{cases}\sqrt{(x - 0)^2 + (y - 3)^2} = \sqrt{(x - 2)^2 + (y - 1)^2} \\\sqrt{(x - 2)^2 + (y - 1)^2} = \sqrt{(x - 2)^2 + (y + 3)^2}\end{cases}$
对第一个方程两边平方：
$x^2 + (y - 3)^2 = (x - 2)^2 + (y - 1)^2$
展开得：
$x^2 + y^2 - 6y + 9 = x^2 - 4x + 4 + y^2 - 2y + 1$
化简：
$-6y + 9 = -4x + 5 - 2y$
移项合并：
$4x - 4y + 4 = 0 \Rightarrow x - y + 1 = 0 \quad (1)$
对第二个方程两边平方：
$(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = (x - 2)^2 + (y + 3)^2$
消去$(x - 2)^2$：
$(y - 1)^2 = (y + 3)^2$
展开：
$y^2 - 2y + 1 = y^2 + 6y + 9$
化简：
$-8y - 8 = 0 \Rightarrow y = -1$
将$y = -1$代入方程$(1)$：$x - (-1) + 1 = 0 \Rightarrow x = -2$
$(-2,-1)$
因为外心到三角形三个顶点的距离相等，所以有：
$\begin{cases}\sqrt{(x - 0)^2 + (y - 3)^2} = \sqrt{(x - 2)^2 + (y - 1)^2} \\\sqrt{(x - 2)^2 + (y - 1)^2} = \sqrt{(x - 2)^2 + (y + 3)^2}\end{cases}$
对第一个方程两边平方：
$x^2 + (y - 3)^2 = (x - 2)^2 + (y - 1)^2$
展开得：
$x^2 + y^2 - 6y + 9 = x^2 - 4x + 4 + y^2 - 2y + 1$
化简：
$-6y + 9 = -4x + 5 - 2y$
移项合并：
$4x - 4y + 4 = 0 \Rightarrow x - y + 1 = 0 \quad (1)$
对第二个方程两边平方：
$(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = (x - 2)^2 + (y + 3)^2$
消去$(x - 2)^2$：
$(y - 1)^2 = (y + 3)^2$
展开：
$y^2 - 2y + 1 = y^2 + 6y + 9$
化简：
$-8y - 8 = 0 \Rightarrow y = -1$
将$y = -1$代入方程$(1)$：$x - (-1) + 1 = 0 \Rightarrow x = -2$
$(-2,-1)$
4. 把一张边长为 12 cm 的等边三角形纸片贴在一个圆形纸片上,若三角形三个顶点都在这个圆上,则该圆的半径是
$4\sqrt{3}\ \mathrm {cm}$
.答案：$4\sqrt{3}\ \mathrm {cm}$
解析：
设该圆的半径为$R$ cm。
因为等边三角形三个顶点都在圆上，所以该圆是等边三角形的外接圆。
对于等边三角形，其外接圆半径公式为$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$（其中$a$为等边三角形的边长）。
已知等边三角形边长$a = 12$ cm，代入公式可得：
$R = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}$
$4\sqrt{3}$ cm
因为等边三角形三个顶点都在圆上，所以该圆是等边三角形的外接圆。
对于等边三角形，其外接圆半径公式为$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$（其中$a$为等边三角形的边长）。
已知等边三角形边长$a = 12$ cm，代入公式可得：
$R = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}$
$4\sqrt{3}$ cm
5. 如图是一把 T 字形木工尺,已知 AD 垂直平分 BC,AD= BC= 40 cm,则过 A、B、C 三点的圆的半径是
25cm
.答案：25cm
解析：
设过A、B、C三点的圆的圆心为O，半径为$r$cm。
因为AD垂直平分BC，AD=BC=40cm，所以BD=DC=20cm，AD⊥BC。
设OD=x cm，则OA=OB=r cm，OD=x cm，AD=40 cm，故OA=40 - x。
在Rt△OBD中，由勾股定理得：$OB^2 = OD^2 + BD^2$，即$r^2 = x^2 + 20^2$。
又OA=r=40 - x，所以$(40 - x)^2 = x^2 + 400$。
展开得：$1600 - 80x + x^2 = x^2 + 400$，化简得$80x = 1200$，解得x=15。
则$r = 40 - 15 = 25$。
25 cm
因为AD垂直平分BC，AD=BC=40cm，所以BD=DC=20cm，AD⊥BC。
设OD=x cm，则OA=OB=r cm，OD=x cm，AD=40 cm，故OA=40 - x。
在Rt△OBD中，由勾股定理得：$OB^2 = OD^2 + BD^2$，即$r^2 = x^2 + 20^2$。
又OA=r=40 - x，所以$(40 - x)^2 = x^2 + 400$。
展开得：$1600 - 80x + x^2 = x^2 + 400$，化简得$80x = 1200$，解得x=15。
则$r = 40 - 15 = 25$。
25 cm