1. 用公式法解下列方程：
(1) $x^{2}+x - 1 = 0$； (2) $x^{2}-2\sqrt{3}x + 3 = 0$； (3) $2x^{2}-2x + 1 = 0$.
(1) $x^{2}+x - 1 = 0$； (2) $x^{2}-2\sqrt{3}x + 3 = 0$； (3) $2x^{2}-2x + 1 = 0$.
答案：(1)对于方程$x^{2} + x - 1 = 0$：
这里$a = 1$，$b = 1$，$c = -1$。
首先计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac = 1^{2}-4×1×(-1)=1 + 4 = 5$。
由求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$可得：
$x=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2×1}=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$。
即$x_{1}=\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$，$x_{2}=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$。
(2)对于方程$x^{2}-2\sqrt{3}x + 3 = 0$：
这里$a = 1$，$b=-2\sqrt{3}$，$c = 3$。
计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac=(-2\sqrt{3})^{2}-4×1×3=12 - 12 = 0$。
由求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$可得：
$x=\frac{2\sqrt{3}\pm\sqrt{0}}{2×1}=\sqrt{3}$。
即$x_{1}=x_{2}=\sqrt{3}$。
(3)对于方程$2x^{2}-2x + 1 = 0$：
这里$a = 2$，$b=-2$，$c = 1$。
计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac=(-2)^{2}-4×2×1=4 - 8=-4\lt0$。
所以此方程在实数范围内无解。
综上，答案依次为：(1)$x_{1}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$，$x_{2}=\frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$；(2)$x_{1}=x_{2}=\sqrt{3}$；(3)无实数解。
这里$a = 1$，$b = 1$，$c = -1$。
首先计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac = 1^{2}-4×1×(-1)=1 + 4 = 5$。
由求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$可得：
$x=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2×1}=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$。
即$x_{1}=\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$，$x_{2}=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$。
(2)对于方程$x^{2}-2\sqrt{3}x + 3 = 0$：
这里$a = 1$，$b=-2\sqrt{3}$，$c = 3$。
计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac=(-2\sqrt{3})^{2}-4×1×3=12 - 12 = 0$。
由求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$可得：
$x=\frac{2\sqrt{3}\pm\sqrt{0}}{2×1}=\sqrt{3}$。
即$x_{1}=x_{2}=\sqrt{3}$。
(3)对于方程$2x^{2}-2x + 1 = 0$：
这里$a = 2$，$b=-2$，$c = 1$。
计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac=(-2)^{2}-4×2×1=4 - 8=-4\lt0$。
所以此方程在实数范围内无解。
综上，答案依次为：(1)$x_{1}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$，$x_{2}=\frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$；(2)$x_{1}=x_{2}=\sqrt{3}$；(3)无实数解。
2. 比较上面 3 个方程的解的情况,并说明方程解的情况与它们根的判别式有何联系.
答案：设三个一元二次方程分别为：
方程1：$x^{2} - 4x + 4 = 0$，
方程2：$x^{2} - 4x + 3 = 0$，
方程3：$x^{2} - 4x + 5 = 0$，
对于方程1：
判别式 $\Delta = b^{2} - 4ac = (-4)^{2} - 4× 1 × 4 = 0$，
因为 $\Delta = 0$，所以方程有两个相等的实数根，
解方程 $x^{2} - 4x + 4 = 0$，得 $x_{1} = x_{2} = 2$。
对于方程2：
判别式 $\Delta = b^{2} - 4ac = (-4)^{2} - 4 × 1 × 3 = 4$，
因为 $\Delta ＞ 0$，所以方程有两个不相等的实数根，
解方程 $x^{2} - 4x + 3 = 0$，得 $x_{1} = 1$，$x_{2} = 3$。
对于方程3：
判别式 $\Delta = b^{2} - 4ac = (-4)^{2} - 4 × 1 × 5 = -4$，
因为 $\Delta ＜ 0$，所以方程没有实数根。
方程解的情况与根的判别式的联系：
当 $\Delta ＞ 0$ 时，方程有两个不相等的实数根；
当 $\Delta = 0$ 时，方程有两个相等的实数根；
当 $\Delta ＜ 0$ 时，方程没有实数根。
方程1：$x^{2} - 4x + 4 = 0$，
方程2：$x^{2} - 4x + 3 = 0$，
方程3：$x^{2} - 4x + 5 = 0$，
对于方程1：
判别式 $\Delta = b^{2} - 4ac = (-4)^{2} - 4× 1 × 4 = 0$，
因为 $\Delta = 0$，所以方程有两个相等的实数根，
解方程 $x^{2} - 4x + 4 = 0$，得 $x_{1} = x_{2} = 2$。
对于方程2：
判别式 $\Delta = b^{2} - 4ac = (-4)^{2} - 4 × 1 × 3 = 4$，
因为 $\Delta ＞ 0$，所以方程有两个不相等的实数根，
解方程 $x^{2} - 4x + 3 = 0$，得 $x_{1} = 1$，$x_{2} = 3$。
对于方程3：
判别式 $\Delta = b^{2} - 4ac = (-4)^{2} - 4 × 1 × 5 = -4$，
因为 $\Delta ＜ 0$，所以方程没有实数根。
方程解的情况与根的判别式的联系：
当 $\Delta ＞ 0$ 时，方程有两个不相等的实数根；
当 $\Delta = 0$ 时，方程有两个相等的实数根；
当 $\Delta ＜ 0$ 时，方程没有实数根。
3. 一元二次方程 $ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$的根的情况可由
若
判别式$\Delta =b^{2}-4ac$
决定：若
$\Delta = 0$
,则该方程有两个相等的实数根；若$\Delta\gt 0$
,则该方程有两个不相等的实数根；若$\Delta\lt 0$
,则该方程没有实数根.答案：判别式$\Delta =b^{2}-4ac$；$\Delta = 0$；$\Delta\gt 0$；$\Delta\lt 0$
解析：
本题可根据一元二次方程根的判别式的相关知识进行填空。
一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$根的情况可由判别式$\Delta=b^{2}-4ac$决定：
当$\Delta = 0$时，方程有两个相等的实数根；
当$\Delta\gt 0$时，方程有两个不相等的实数根；
当$\Delta\lt 0$时，方程没有实数根。
一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$根的情况可由判别式$\Delta=b^{2}-4ac$决定：
当$\Delta = 0$时，方程有两个相等的实数根；
当$\Delta\gt 0$时，方程有两个不相等的实数根；
当$\Delta\lt 0$时，方程没有实数根。
不解方程,判别下列方程的根的情况：
(1) $x^{2}-2x + 2 = 0$； (2) $2x^{2}-2x - 1 = 0$； (3) $\frac{1}{2}x^{2}-2x + 2 = 0$.
(1) $x^{2}-2x + 2 = 0$； (2) $2x^{2}-2x - 1 = 0$； (3) $\frac{1}{2}x^{2}-2x + 2 = 0$.
答案：(1) 对于方程 $x^{2} - 2x + 2 = 0$，
其中 $a = 1, b = -2, c = 2$，
计算判别式：
$\Delta = b^{2} - 4ac = (-2)^{2} - 4 × 1 × 2 = 4 - 8 = -4$
由于 $\Delta ＜ 0$，所以方程无实数根。
(2) 对于方程 $2x^{2} - 2x - 1 = 0$，
其中 $a = 2, b = -2, c = -1$，
计算判别式：
$\Delta = b^{2} - 4ac = (-2)^{2} - 4 × 2 × (-1) = 4 + 8 = 12$
由于 $\Delta ＞ 0$，所以方程有两个不相等的实数根。
(3) 对于方程 $\frac{1}{2}x^{2} - 2x + 2 = 0$，
首先化为整数系数：$x^{2} - 4x + 4 = 0$，
其中 $a = 1, b = -4, c = 4$，
计算判别式：
$\Delta = b^{2} - 4ac = (-4)^{2} - 4 × 1 × 4 = 16 - 16 = 0$
由于 $\Delta = 0$，所以方程有两个相等的实数根。
其中 $a = 1, b = -2, c = 2$，
计算判别式：
$\Delta = b^{2} - 4ac = (-2)^{2} - 4 × 1 × 2 = 4 - 8 = -4$
由于 $\Delta ＜ 0$，所以方程无实数根。
(2) 对于方程 $2x^{2} - 2x - 1 = 0$，
其中 $a = 2, b = -2, c = -1$，
计算判别式：
$\Delta = b^{2} - 4ac = (-2)^{2} - 4 × 2 × (-1) = 4 + 8 = 12$
由于 $\Delta ＞ 0$，所以方程有两个不相等的实数根。
(3) 对于方程 $\frac{1}{2}x^{2} - 2x + 2 = 0$，
首先化为整数系数：$x^{2} - 4x + 4 = 0$，
其中 $a = 1, b = -4, c = 4$，
计算判别式：
$\Delta = b^{2} - 4ac = (-4)^{2} - 4 × 1 × 4 = 16 - 16 = 0$
由于 $\Delta = 0$，所以方程有两个相等的实数根。
已知关于 $x$ 的一元二次方程 $(m + 1)x^{2}+2mx + m - 3 = 0$ 恒有实数根.
(1) 求 $m$ 的取值范围；
(2) 在(1)的条件下,当 $m$ 在取值范围内取最小整数时,求原方程的解.
(1) 求 $m$ 的取值范围；
(2) 在(1)的条件下,当 $m$ 在取值范围内取最小整数时,求原方程的解.
答案：(1)
因为方程 $(m + 1)x^{2}+2mx + m - 3 = 0$ 是一元二次方程且恒有实数根，
所以$\begin{cases}m + 1\neq 0.\\\Delta=(2m)^{2}-4(m + 1)(m - 3)\geqslant0.\end{cases}$
由$\Delta = 4m^{2}-4(m^{2}-3m + m- 3)=4(2m + 3)\geqslant0$，
得$2m+3\geqslant0$，
$m\geqslant-\frac{3}{2}$且$m\neq - 1$。
(2)
因为$m\geqslant-\frac{3}{2}$且$m\neq - 1$，
所以$m$ 的最小整数为 $0$，
原方程为 $x^{2}-3 = 0$，
$x^{2}=3$，
解得$x=\pm\sqrt{3}$。
因为方程 $(m + 1)x^{2}+2mx + m - 3 = 0$ 是一元二次方程且恒有实数根，
所以$\begin{cases}m + 1\neq 0.\\\Delta=(2m)^{2}-4(m + 1)(m - 3)\geqslant0.\end{cases}$
由$\Delta = 4m^{2}-4(m^{2}-3m + m- 3)=4(2m + 3)\geqslant0$，
得$2m+3\geqslant0$，
$m\geqslant-\frac{3}{2}$且$m\neq - 1$。
(2)
因为$m\geqslant-\frac{3}{2}$且$m\neq - 1$，
所以$m$ 的最小整数为 $0$，
原方程为 $x^{2}-3 = 0$，
$x^{2}=3$，
解得$x=\pm\sqrt{3}$。
1. 填空题：
(1) 方程 $x^{2}+3x - 1 = 0$ 有
(2) 若关于 $x$ 的方程 $x^{2}-kx + 4 = 0$ 有两个相等的实数根,则 $k=$
(3) 若关于 $x$ 的方程 $x^{2}-mx + 3 = 0$ 有实数根,则 $m$ 的值可以为
(1) 方程 $x^{2}+3x - 1 = 0$ 有
两
个不相等
的实数根；(2) 若关于 $x$ 的方程 $x^{2}-kx + 4 = 0$ 有两个相等的实数根,则 $k=$
±4
；(3) 若关于 $x$ 的方程 $x^{2}-mx + 3 = 0$ 有实数根,则 $m$ 的值可以为
4（答案不唯一）
(任意写出一个即可).答案：(1)两；不相等；(2)±4；(3)4（答案不唯一）
解析：
(1) 对于方程$x^2 + 3x - 1 = 0$，判别式$\Delta = 3^2 - 4×1×(-1) = 9 + 4 = 13 ＞ 0$，所以有两个不相等的实数根。
(2) 方程$x^2 - kx + 4 = 0$有两个相等实数根，判别式$\Delta = (-k)^2 - 4×1×4 = k^2 - 16 = 0$，解得$k = ±4$。
(3) 方程$x^2 - mx + 3 = 0$有实数根，判别式$\Delta = (-m)^2 - 4×1×3 = m^2 - 12 ≥ 0$，取$m = 4$（满足$m^2 ≥ 12$即可）。
(2) 方程$x^2 - kx + 4 = 0$有两个相等实数根，判别式$\Delta = (-k)^2 - 4×1×4 = k^2 - 16 = 0$，解得$k = ±4$。
(3) 方程$x^2 - mx + 3 = 0$有实数根，判别式$\Delta = (-m)^2 - 4×1×3 = m^2 - 12 ≥ 0$，取$m = 4$（满足$m^2 ≥ 12$即可）。