1. 如图,OC 是∠AOB 的平分线,PD⊥OA 于点 D,PD = 2,则点 P 到 OB 的距离是(
A.1
B.2
C.3
D.4
B
)A.1
B.2
C.3
D.4
答案：B
解析：
证明：
∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PD=2，
∴点P到OB的距离=PD=2。
答案：B
∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PD=2，
∴点P到OB的距离=PD=2。
答案：B
2. 如图,在△ABC 中,点 O 到三边的距离相等,若∠BAC = 88°,则∠BOC = (
A.144°
B.136°
C.134°
D.92°
C
)A.144°
B.136°
C.134°
D.92°
答案：C
解析：
证明：
∵点O到△ABC三边的距离相等，
∴O是△ABC的内心，即BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB。
∵∠BAC=88°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-88°=92°。
∵BO、CO为角平分线，
∴∠OBC+∠OCB=1/2(∠ABC+∠ACB)=1/2×92°=46°。
∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-46°=134°。
C
∵点O到△ABC三边的距离相等，
∴O是△ABC的内心，即BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB。
∵∠BAC=88°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-88°=92°。
∵BO、CO为角平分线，
∴∠OBC+∠OCB=1/2(∠ABC+∠ACB)=1/2×92°=46°。
∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-46°=134°。
C
3. (2024·湖南)如图,在锐角三角形 ABC 中,AD 是边 BC 上的高,在 BA,BC 上分别截取线段 BE,BF,使 BE = BF；分别以点 E,F 为圆心,大于 $\frac{1}{2}EF$ 的长为半径画弧,在∠ABC 内,两弧交于点 P,作射线 BP,交 AD 于点 M,过点 M 作 MN⊥AB 于点 N. 若 MN = 2,AD = 4MD,则 AM =
6
.答案：6
解析：
证明：由作图知，BP平分∠ABC。
∵AD⊥BC，MN⊥AB，M在BP上，
∴MD=MN=2。
∵AD=4MD，
∴AD=4×2=8。
∴AM=AD-MD=8-2=6。
6
∵AD⊥BC，MN⊥AB，M在BP上，
∴MD=MN=2。
∵AD=4MD，
∴AD=4×2=8。
∴AM=AD-MD=8-2=6。
6
4. 如图,BD 是∠ABC 的平分线,交 AC 于点 D,DE⊥AB 于点 E,DF⊥BC 于点 F,$S_{△ABC}$ = 36 $cm^{2}$,AB = 8 cm,BC = 10 cm,则 DE 的长为
4
cm.答案：4
解析：
证明：
∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE=DF（角平分线的性质）。
设DE=DF=x cm，
∵S△ABC=S△ABD+S△CBD，
∴36 = $\frac{1}{2} × AB × DE + \frac{1}{2} × BC × DF$，
即36 = $\frac{1}{2} × 8 × x + \frac{1}{2} × 10 × x$，
化简得36 = 4x + 5x，
9x = 36，
解得x=4。
4
∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE=DF（角平分线的性质）。
设DE=DF=x cm，
∵S△ABC=S△ABD+S△CBD，
∴36 = $\frac{1}{2} × AB × DE + \frac{1}{2} × BC × DF$，
即36 = $\frac{1}{2} × 8 × x + \frac{1}{2} × 10 × x$，
化简得36 = 4x + 5x，
9x = 36，
解得x=4。
4
5. 如图,校园有两条路 OA,OB,在交叉口附近有两块宣传牌 C,D,学校准备在这里安装一盏路灯,要求灯柱的位置 P 离两块宣传牌一样远,并且到两条路的距离也一样远,请你用尺规作出灯柱的位置点 P.(保留作图痕迹)
答案：
解:如答图,点P即为所作
解:如答图,点P即为所作
6. 如图,BE⊥AC 于点 E,CF⊥AB 于点 F,AE = AF,BE 与 CF 相交于点 D. 有以下结论：①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③点 D 在∠BAC 的平分线上. 其中,正确的是(
A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③
D
)A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③
答案：D
解析：
证明：①
∵BE⊥AC，CF⊥AB，
∴∠AEB=∠AFC=90°。在△ABE和△ACF中，
∵∠AEB=∠AFC，AE=AF，∠A=∠A，
∴△ABE≌△ACF(ASA)。②
∵△ABE≌△ACF，
∴AB=AC，∠B=∠C。
∵AE=AF，
∴AB-AF=AC-AE，即BF=CE。在△BDF和△CDE中，
∵∠B=∠C，∠BDF=∠CDE，BF=CE，
∴△BDF≌△CDE(AAS)。③
∵△BDF≌△CDE，
∴DF=DE。
∵BE⊥AC，CF⊥AB，
∴点D在∠BAC的平分线上。综上，①②③均正确。答案：D
∵BE⊥AC，CF⊥AB，
∴∠AEB=∠AFC=90°。在△ABE和△ACF中，
∵∠AEB=∠AFC，AE=AF，∠A=∠A，
∴△ABE≌△ACF(ASA)。②
∵△ABE≌△ACF，
∴AB=AC，∠B=∠C。
∵AE=AF，
∴AB-AF=AC-AE，即BF=CE。在△BDF和△CDE中，
∵∠B=∠C，∠BDF=∠CDE，BF=CE，
∴△BDF≌△CDE(AAS)。③
∵△BDF≌△CDE，
∴DF=DE。
∵BE⊥AC，CF⊥AB，
∴点D在∠BAC的平分线上。综上，①②③均正确。答案：D