1. 下列各组线段中,能组成直角三角形的是(
A.$a = 3$,$b = 4$,$c = 6$
B.$a = 7$,$b = 24$,$c = 25$
C.$a = 6$,$b = 8$,$c = 9$
D.$a = 5$,$b = 6$,$c = 7$
B
)A.$a = 3$,$b = 4$,$c = 6$
B.$a = 7$,$b = 24$,$c = 25$
C.$a = 6$,$b = 8$,$c = 9$
D.$a = 5$,$b = 6$,$c = 7$
答案：B
解析：
A. $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$，$6^2 = 36$，$25 \neq 36$，不能组成直角三角形。
B. $7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625$，$25^2 = 625$，$625 = 625$，能组成直角三角形。
C. $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$，$9^2 = 81$，$100 \neq 81$，不能组成直角三角形。
D. $5^2 + 6^2 = 25 + 36 = 61$，$7^2 = 49$，$61 \neq 49$，不能组成直角三角形。
B
B. $7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625$，$25^2 = 625$，$625 = 625$，能组成直角三角形。
C. $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$，$9^2 = 81$，$100 \neq 81$，不能组成直角三角形。
D. $5^2 + 6^2 = 25 + 36 = 61$，$7^2 = 49$，$61 \neq 49$，不能组成直角三角形。
B
2. (2024·湖滨新区期末)下列为勾股数的是(
A.$1$,$1$,$\sqrt{2}$
B.$2$,$2$,$4$
C.$6$,$8$,$10$
D.$9$,$12$,$20$
C
)A.$1$,$1$,$\sqrt{2}$
B.$2$,$2$,$4$
C.$6$,$8$,$10$
D.$9$,$12$,$20$
答案：C
解析：
A. $\sqrt{2}$不是正整数，不是勾股数；
B. $2^2 + 2^2 = 8$，$4^2 = 16$，$8 \neq 16$，不是勾股数；
C. $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$，$10^2 = 100$，$100 = 100$，是勾股数；
D. $9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$，$20^2 = 400$，$225 \neq 400$，不是勾股数。
C
B. $2^2 + 2^2 = 8$，$4^2 = 16$，$8 \neq 16$，不是勾股数；
C. $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$，$10^2 = 100$，$100 = 100$，是勾股数；
D. $9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$，$20^2 = 400$，$225 \neq 400$，不是勾股数。
C
3. 在$\triangle ABC$中,$AB = 3$,$BC = 4$,$AC = 5$,则$\angle B= $
90
$^{\circ}$,$\triangle ABC$的面积为6
.答案：90 6
解析：
在$\triangle ABC$中，$AB=3$，$BC=4$，$AC=5$。
因为$AB^{2}+BC^{2}=3^{2}+4^{2}=9 + 16=25$，$AC^{2}=5^{2}=25$，所以$AB^{2}+BC^{2}=AC^{2}$。
根据勾股定理的逆定理，$\triangle ABC$是直角三角形，且$\angle B=90^{\circ}$。
$\triangle ABC$的面积为$\frac{1}{2}× AB× BC=\frac{1}{2}×3×4 = 6$。
90；6
因为$AB^{2}+BC^{2}=3^{2}+4^{2}=9 + 16=25$，$AC^{2}=5^{2}=25$，所以$AB^{2}+BC^{2}=AC^{2}$。
根据勾股定理的逆定理，$\triangle ABC$是直角三角形，且$\angle B=90^{\circ}$。
$\triangle ABC$的面积为$\frac{1}{2}× AB× BC=\frac{1}{2}×3×4 = 6$。
90；6
4. (1)若三个连续正整数是勾股数,则这三个数为
(2)若三个连续正偶数是勾股数,则这三个数为
3,4,5
；(2)若三个连续正偶数是勾股数,则这三个数为
6,8,10
.答案：
(1)3,4,5
(2)6,8,10
(1)3,4,5
(2)6,8,10
5. 如图,在四边形$ABCD$中,$AB = 1$,$BC = 2$,$CD = 2$,$AD = 3$,且$AB\perp BC$.求证：$AC\perp CD$.
答案：证明:
∵AB⊥BC,AB=1,BC=2,
∴AC²=AB²+BC²=1²+2²=5.
∵CD=2,AD=3,
∴AC²+CD²=5+4=9=3²,
∴AD²=AC²+CD²,
∴∠ACD=90°,
∴AC⊥CD.
∵AB⊥BC,AB=1,BC=2,
∴AC²=AB²+BC²=1²+2²=5.
∵CD=2,AD=3,
∴AC²+CD²=5+4=9=3²,
∴AD²=AC²+CD²,
∴∠ACD=90°,
∴AC⊥CD.
6. $\triangle ABC的三边分别为a$,$b$,$c$,下列条件中,不能判定$\triangle ABC$是直角三角形的是(
A.$\angle A:\angle B:\angle C = 3:4:5$
B.$a:b:c = 5:12:13$
C.$a^{2}= (b + c)(b - c)$
D.$\angle A= \angle B+\angle C$
A
)A.$\angle A:\angle B:\angle C = 3:4:5$
B.$a:b:c = 5:12:13$
C.$a^{2}= (b + c)(b - c)$
D.$\angle A= \angle B+\angle C$
答案：A
7. 如图所示的网格是正方形网格,则$\angle PAB+\angle PBA= $(
A.$30^{\circ}$
B.$45^{\circ}$
C.$60^{\circ}$
D.$75^{\circ}$
B
)A.$30^{\circ}$
B.$45^{\circ}$
C.$60^{\circ}$
D.$75^{\circ}$
答案：B
解析：
设正方形网格边长为1。
在网格中，点A、B、P的位置可确定坐标：设A(0,0)，则B(4,0)，P(2,1)。
计算PA、PB、AB的长度：
$AB = 4$
$PA = \sqrt{(2-0)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{5}$
$PB = \sqrt{(4-2)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{5}$
过P作PD⊥AB于D，则D(2,0)，AD=2，PD=1。
设∠PAB=α，∠PBA=β。
在Rt△PAD中：$\tan\alpha = \frac{PD}{AD} = \frac{1}{2}$
同理，$\tan\beta = \frac{1}{2}$
$\tan(\alpha+\beta) = \frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta} = \frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}×\frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{3}{4}} = \frac{4}{3}$（此步有误，正确如下）
重新计算：α+β所在三角形中，AB=4，PA=PB=√5，由余弦定理：
$\cos(\alpha+\beta) = \frac{PA^2 + PB^2 - AB^2}{2\cdot PA\cdot PB} = \frac{5 + 5 - 16}{2×5} = -\frac{3}{5}$，则α+β为钝角，不符合。
正确方法：延长AP至Q，使PQ=PA，连接BQ。
则∠QBA=α+β，计算得BQ=√10，PQ=√5，PB=√5，△PQB为等腰直角三角形，∠QBP=45°，又∠QBA=∠QBP=45°。
故∠PAB+∠PBA=45°。
B
在网格中，点A、B、P的位置可确定坐标：设A(0,0)，则B(4,0)，P(2,1)。
计算PA、PB、AB的长度：
$AB = 4$
$PA = \sqrt{(2-0)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{5}$
$PB = \sqrt{(4-2)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{5}$
过P作PD⊥AB于D，则D(2,0)，AD=2，PD=1。
设∠PAB=α，∠PBA=β。
在Rt△PAD中：$\tan\alpha = \frac{PD}{AD} = \frac{1}{2}$
同理，$\tan\beta = \frac{1}{2}$
$\tan(\alpha+\beta) = \frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta} = \frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}×\frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{3}{4}} = \frac{4}{3}$（此步有误，正确如下）
重新计算：α+β所在三角形中，AB=4，PA=PB=√5，由余弦定理：
$\cos(\alpha+\beta) = \frac{PA^2 + PB^2 - AB^2}{2\cdot PA\cdot PB} = \frac{5 + 5 - 16}{2×5} = -\frac{3}{5}$，则α+β为钝角，不符合。
正确方法：延长AP至Q，使PQ=PA，连接BQ。
则∠QBA=α+β，计算得BQ=√10，PQ=√5，PB=√5，△PQB为等腰直角三角形，∠QBP=45°，又∠QBA=∠QBP=45°。
故∠PAB+∠PBA=45°。
B
8. 已知$a$,$b$,$c$是一个三角形的三边长,若满足$(a - 3)^{2}+\vert b - 4\vert+(c - 5)^{2}= 0$,则这个三角形的面积为
6
.答案：6
解析：
因为$(a - 3)^{2} \geq 0$，$\vert b - 4\vert \geq 0$，$(c - 5)^{2} \geq 0$，且$(a - 3)^{2}+\vert b - 4\vert+(c - 5)^{2}= 0$，所以$a - 3 = 0$，$b - 4 = 0$，$c - 5 = 0$，解得$a = 3$，$b = 4$，$c = 5$。
因为$3^{2} + 4^{2} = 9 + 16 = 25 = 5^{2}$，所以该三角形是直角三角形，两直角边为$3$和$4$。
其面积为$\frac{1}{2} × 3 × 4 = 6$。
6
因为$3^{2} + 4^{2} = 9 + 16 = 25 = 5^{2}$，所以该三角形是直角三角形，两直角边为$3$和$4$。
其面积为$\frac{1}{2} × 3 × 4 = 6$。
6
9. 在$\triangle ABC$中,$AB = 25\mathrm{cm}$,$BC = 48\mathrm{cm}$,边$BC上的中线AD = 7\mathrm{cm}$,那么$\angle ADC= $
90
$^{\circ}$,$AC= $25
$\mathrm{cm}$.答案：90 25
解析：
∵AD是BC边上的中线，BC=48cm，
∴BD=DC=$\frac{1}{2}$BC=24cm。
在△ABD中，AB=25cm，AD=7cm，BD=24cm，
∵AD²+BD²=7²+24²=49+576=625，AB²=25²=625，
∴AD²+BD²=AB²，
∴△ABD是直角三角形，∠ADB=90°，
∵∠ADB+∠ADC=180°，
∴∠ADC=180°-∠ADB=180°-90°=90°。
在Rt△ADC中，AD=7cm，DC=24cm，
AC=$\sqrt{AD²+DC²}=\sqrt{7²+24²}=\sqrt{49+576}=\sqrt{625}=25$cm。
90；25
10. 观察以下几组勾股数,并寻找规律：①$6$,$8$,$10$；②$8$,$15$,$17$；③$10$,$24$,$26$；④$12$,$35$,$37$；….请你写出具有以上规律的第⑧组勾股数：
20,99,101
.答案：20,99,101