1. (2024·巴中)“今有池,方一丈,葭生其中央,出水一尺.引葭赴岸,适与岸齐.问：水深、葭长各几何?”这是我国数学史上的“葭生池中”问题.如图,$AC = 5$,$DC = 1$,$BD = BA$,则$BC = $(
A.8
B.10
C.12
D.13
C
)A.8
B.10
C.12
D.13
答案：C
解析：
解：设$BC = x$，则$BD = BA = x + 1$。
在$Rt\triangle ABC$中，$AC = 5$，根据勾股定理得：$AC^{2} + BC^{2} = AB^{2}$，即$5^{2} + x^{2} = (x + 1)^{2}$。
展开得：$25 + x^{2} = x^{2} + 2x + 1$，化简得：$2x = 24$，解得$x = 12$。
故$BC = 12$。
答案：C
在$Rt\triangle ABC$中，$AC = 5$，根据勾股定理得：$AC^{2} + BC^{2} = AB^{2}$，即$5^{2} + x^{2} = (x + 1)^{2}$。
展开得：$25 + x^{2} = x^{2} + 2x + 1$，化简得：$2x = 24$，解得$x = 12$。
故$BC = 12$。
答案：C
2. 直角三角形斜边上的中线长为4,则两直角边长的平方和为
64
.答案：64
解析：
在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。已知斜边上的中线长为$4$，则斜边长为$2×4 = 8$。
设两直角边长分别为$a$、$b$，斜边长为$c$，根据勾股定理可得$a^{2}+b^{2}=c^{2}$。
因为$c = 8$，所以$a^{2}+b^{2}=8^{2}=64$。
64
设两直角边长分别为$a$、$b$，斜边长为$c$，根据勾股定理可得$a^{2}+b^{2}=c^{2}$。
因为$c = 8$，所以$a^{2}+b^{2}=8^{2}=64$。
64
3. 一个三角形的三边长分别为5,12,13,则这个三角形最长边上的中线长为
6.5
.答案：6.5
解析：
因为$5^{2}+12^{2}=25 + 144=169=13^{2}$，所以该三角形是直角三角形，斜边长为$13$。
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，所以最长边上的中线长为$\frac{13}{2}=6.5$。
$6.5$
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，所以最长边上的中线长为$\frac{13}{2}=6.5$。
$6.5$
4. 如图,一棵大树(树干与地面垂直)在一次强台风中于离地面6米的$B$处折断倒下,倒下后的树顶$C与树根A$的距离为8米,则这棵大树在折断前的高度为
16
米.答案：16
解析：
解：由题意知，树干与地面垂直，故$\triangle ABC$为直角三角形，其中$AB = 6$米，$AC = 8$米，$\angle BAC = 90°$。
根据勾股定理，$BC=\sqrt{AB^{2}+AC^{2}}=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=\sqrt{36 + 64}=\sqrt{100}=10$米。
大树折断前的高度为$AB + BC=6 + 10=16$米。
16
根据勾股定理，$BC=\sqrt{AB^{2}+AC^{2}}=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=\sqrt{36 + 64}=\sqrt{100}=10$米。
大树折断前的高度为$AB + BC=6 + 10=16$米。
16
5. 如图,一架2.5m长的梯子,斜立在一竖直的墙上,这时梯子的底部距墙底端0.7m,如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m,那么梯子的底部将平滑(
A.0.9m
B.1.5m
C.0.5m
D.0.8m
D
)A.0.9m
B.1.5m
C.0.5m
D.0.8m
答案：D
解析：
解：在Rt△ABC中，AC²+BC²=AB²，AC=√(AB²-BC²)=√(2.5²-0.7²)=2.4m。
梯子顶端下滑0.4m后，A₁C=AC-0.4=2m。
在Rt△A₁B₁C中，A₁C²+B₁C²=A₁B₁²，B₁C=√(A₁B₁²-A₁C²)=√(2.5²-2²)=1.5m。
梯子底部平滑距离B₁B=B₁C-BC=1.5-0.7=0.8m。
答案：D
梯子顶端下滑0.4m后，A₁C=AC-0.4=2m。
在Rt△A₁B₁C中，A₁C²+B₁C²=A₁B₁²，B₁C=√(A₁B₁²-A₁C²)=√(2.5²-2²)=1.5m。
梯子底部平滑距离B₁B=B₁C-BC=1.5-0.7=0.8m。
答案：D
6. 对角线互相垂直的四边形叫作“垂美”四边形,现有如图所示“垂美”四边形$ABCD$,对角线$AC$,$BD交于点O$.若$AB = 6$,$CD = 10$,则$AD^{2}+BC^{2}= $
136
.答案：136
解析：
证明：
∵四边形$ABCD$是“垂美”四边形，
∴$AC \perp BD$，即$\angle AOB = \angle BOC = \angle COD = \angle DOA = 90°$。
由勾股定理得：
$AD^2 = AO^2 + DO^2$，
$BC^2 = BO^2 + CO^2$，
$AB^2 = AO^2 + BO^2 = 6^2 = 36$，
$CD^2 = CO^2 + DO^2 = 10^2 = 100$。
∴$AD^2 + BC^2 = (AO^2 + DO^2) + (BO^2 + CO^2) = (AO^2 + BO^2) + (CO^2 + DO^2) = AB^2 + CD^2$。
∴$AD^2 + BC^2 = 36 + 100 = 136$。
136
∵四边形$ABCD$是“垂美”四边形，
∴$AC \perp BD$，即$\angle AOB = \angle BOC = \angle COD = \angle DOA = 90°$。
由勾股定理得：
$AD^2 = AO^2 + DO^2$，
$BC^2 = BO^2 + CO^2$，
$AB^2 = AO^2 + BO^2 = 6^2 = 36$，
$CD^2 = CO^2 + DO^2 = 10^2 = 100$。
∴$AD^2 + BC^2 = (AO^2 + DO^2) + (BO^2 + CO^2) = (AO^2 + BO^2) + (CO^2 + DO^2) = AB^2 + CD^2$。
∴$AD^2 + BC^2 = 36 + 100 = 136$。
136
7. 如图,有两棵树,一棵高10m,另一棵高4m,两树相距8m,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,则小鸟至少飞行
10
m.答案：10
解析：
设高10m的树为AB，高4m的树为CD，两树相距8m，即AC=8m。过D作DE⊥AB于E，则AE=AB-CD=10-4=6m，DE=AC=8m。在Rt△AED中，AD=$\sqrt{AE^2 + DE^2}=\sqrt{6^2 + 8^2}=\sqrt{36 + 64}=\sqrt{100}=10$m。
10
10
8. 如图,将长为48cm的橡皮筋放置在水平面上,固定两端$A和B$,然后把中点$C$垂直向上拉升7cm至点$D$,则橡皮筋被拉长了
2
cm.答案：2
解析：
解：
∵C是AB中点，AB=48cm，
∴AC=BC=24cm。
∵CD⊥AB，CD=7cm，
在Rt△ACD中，AD=$\sqrt{AC^2 + CD^2}=\sqrt{24^2 + 7^2}=25$cm。
同理BD=25cm。
∴AD+BD=50cm。
50-48=2cm。
答：橡皮筋被拉长了2cm。
∵C是AB中点，AB=48cm，
∴AC=BC=24cm。
∵CD⊥AB，CD=7cm，
在Rt△ACD中，AD=$\sqrt{AC^2 + CD^2}=\sqrt{24^2 + 7^2}=25$cm。
同理BD=25cm。
∴AD+BD=50cm。
50-48=2cm。
答：橡皮筋被拉长了2cm。