1. 若一个三角形的两边长分别为3和5,则第三边长可以是(
A.2
B.4
C.8
D.10
B
)A.2
B.4
C.8
D.10
答案：B
解析：
设第三边长为$x$，根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可得$5 - 3 ＜ x ＜ 5 + 3$，即$2 ＜ x ＜ 8$。选项中只有$4$满足条件，故答案为B。
2. 如图,若$\triangle ABC\cong\triangle DEF$,点$B$,$E$,$C$,$F$在同一直线上,$BC = 7$,$EC = 5$,则$CF$的长是(
A.2
B.3
C.5
D.7
A
)A.2
B.3
C.5
D.7
答案：A
解析：
证明：
∵$\triangle ABC\cong\triangle DEF$，
∴$BC=EF$（全等三角形对应边相等）。
∵$BC=7$，
∴$EF=7$。
∵点$B$，$E$，$C$，$F$在同一直线上，$EC=5$，
∴$CF=EF-EC=7-5=2$。
答案：A
∵$\triangle ABC\cong\triangle DEF$，
∴$BC=EF$（全等三角形对应边相等）。
∵$BC=7$，
∴$EF=7$。
∵点$B$，$E$，$C$，$F$在同一直线上，$EC=5$，
∴$CF=EF-EC=7-5=2$。
答案：A
3. 如图,$AB = AD$,$AC平分\angle BAD$,判定$\triangle ABC\cong\triangle ADC$的依据是(
A.ASA
B.SAS
C.SSS
D.HL
B
)A.ASA
B.SAS
C.SSS
D.HL
答案：B
解析：
证明：
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC。
在△ABC和△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l} AB=AD,\\ ∠BAC=∠DAC,\\ AC=AC,\end{array}\right.$
∴△ABC≌△ADC(SAS)。
B
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC。
在△ABC和△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l} AB=AD,\\ ∠BAC=∠DAC,\\ AC=AC,\end{array}\right.$
∴△ABC≌△ADC(SAS)。
B
4. 如图,在四边形$ABCD$中,$\angle DAB的平分线与四边形ABCD的外角平分线相交于点P$,且$\angle D+\angle C = 210^{\circ}$,则$\angle P= $(
A.$10^{\circ}$
B.$15^{\circ}$
C.$30^{\circ}$
D.$40^{\circ}$
B
)A.$10^{\circ}$
B.$15^{\circ}$
C.$30^{\circ}$
D.$40^{\circ}$
答案：B
5. (2024·宿城期中)如图,$\triangle ABC$中,边$AB的垂直平分线分别交BC$,$AB于点D$,$E$,连接$AD$,$AE = 3\mathrm{cm}$,若$\triangle ADC的周长为8\mathrm{cm}$,则$\triangle ABC$的周长是(
A.$14\mathrm{cm}$
B.$17\mathrm{cm}$
C.$19\mathrm{cm}$
D.$20\mathrm{cm}$
A
)A.$14\mathrm{cm}$
B.$17\mathrm{cm}$
C.$19\mathrm{cm}$
D.$20\mathrm{cm}$
答案：A
解析：
解：
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，AE=BE。
∵AE=3cm，
∴AB=AE+BE=2AE=6cm。
∵△ADC的周长为8cm，
∴AD+DC+AC=8cm。
∵AD=BD，
∴BD+DC+AC=BC+AC=8cm。
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=6+8=14cm。
答案：A
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，AE=BE。
∵AE=3cm，
∴AB=AE+BE=2AE=6cm。
∵△ADC的周长为8cm，
∴AD+DC+AC=8cm。
∵AD=BD，
∴BD+DC+AC=BC+AC=8cm。
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=6+8=14cm。
答案：A
6. (2024·苏州一模)如图,直线$AB// CD$,等腰直角三角尺($\triangle EFG$)的两个底角顶点$E$,$F分别在直线AB$,$CD$上,边$EG与直线CD交于点H$.若$FH平分\angle EFG$,则$\angle AEH$的度数为(
A.$60^{\circ}$
B.$70^{\circ}$
C.$75^{\circ}$
D.$67.5^{\circ}$
D
)A.$60^{\circ}$
B.$70^{\circ}$
C.$75^{\circ}$
D.$67.5^{\circ}$
答案：D
7. (2024·常州溧阳期中)如图,等边$\triangle DEF的顶点分别在等边\triangle ABC$的各边上,且$DE\perp BC于点E$.若$AB = 1$,则$DB$的长为(
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{2}{3}$
D.$\frac{3}{4}$
C
)A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{2}{3}$
D.$\frac{3}{4}$
答案：C
解析：
解：设 $DB = x$。
∵ $\triangle ABC$ 是等边三角形，
∴ $\angle B = 60°$，$AB = BC = 1$。
∵ $DE \perp BC$，
∴ $\angle DEB = 90°$，
在 $Rt\triangle DEB$ 中，$\angle BDE = 30°$，
∴ $BE = \frac{1}{2}DB = \frac{x}{2}$，
$DE = DB \cdot \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}x$。
∵ $\triangle DEF$ 是等边三角形，
∴ $DE = EF = \frac{\sqrt{3}}{2}x$，$\angle DEF = 60°$，
∴ $\angle FEC = 180° - 90° - 60° = 30°$。
∵ $\triangle ABC$ 是等边三角形，
∴ $\angle C = 60°$，
在 $\triangle FEC$ 中，$\angle EFC = 180° - 60° - 30° = 90°$，
∴ $EC = \frac{EF}{\cos 30°} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}x}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = x$。
∵ $BC = 1$，$BC = BE + EC$，
∴ $\frac{x}{2} + x = 1$，解得 $x = \frac{2}{3}$。
答案：$\frac{2}{3}$
∵ $\triangle ABC$ 是等边三角形，
∴ $\angle B = 60°$，$AB = BC = 1$。
∵ $DE \perp BC$，
∴ $\angle DEB = 90°$，
在 $Rt\triangle DEB$ 中，$\angle BDE = 30°$，
∴ $BE = \frac{1}{2}DB = \frac{x}{2}$，
$DE = DB \cdot \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}x$。
∵ $\triangle DEF$ 是等边三角形，
∴ $DE = EF = \frac{\sqrt{3}}{2}x$，$\angle DEF = 60°$，
∴ $\angle FEC = 180° - 90° - 60° = 30°$。
∵ $\triangle ABC$ 是等边三角形，
∴ $\angle C = 60°$，
在 $\triangle FEC$ 中，$\angle EFC = 180° - 60° - 30° = 90°$，
∴ $EC = \frac{EF}{\cos 30°} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}x}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = x$。
∵ $BC = 1$，$BC = BE + EC$，
∴ $\frac{x}{2} + x = 1$，解得 $x = \frac{2}{3}$。
答案：$\frac{2}{3}$