1. 如图，在$Rt \bigtriangleup ABC$中，$\angle C = 90{°}$，$AB = 13$，$BC = 12$，则下列三角函数表示正确的是 (
A.$\sin A = \frac{12}{5}$
B.$\cos A = \frac{5}{13}$
C.$\tan A = \frac{12}{13}$
D.$\tan B = \frac{12}{5}$
B
)A.$\sin A = \frac{12}{5}$
B.$\cos A = \frac{5}{13}$
C.$\tan A = \frac{12}{13}$
D.$\tan B = \frac{12}{5}$
答案：1.B
解析：
解：在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$，$AB=13$，$BC=12$，
$\therefore AC=\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}=\sqrt{13^{2}-12^{2}}=5$，
A.$\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{12}{13}$，故A错误；
B.$\cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{5}{13}$，故B正确；
C.$\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{12}{5}$，故C错误；
D.$\tan B=\frac{AC}{BC}=\frac{5}{12}$，故D错误.
答案：B
$\therefore AC=\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}=\sqrt{13^{2}-12^{2}}=5$，
A.$\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{12}{13}$，故A错误；
B.$\cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{5}{13}$，故B正确；
C.$\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{12}{5}$，故C错误；
D.$\tan B=\frac{AC}{BC}=\frac{5}{12}$，故D错误.
答案：B
2. 将$Rt \bigtriangleup ABC$的斜边和直角边都扩大到原来的$n$倍，那么锐角A的三角函数值 (
A.都扩大到原来的$n$倍
B.都缩小到原来的$\frac{1}{n}$
C.没有变化
D.只有$\tan A$发生变化
C
)A.都扩大到原来的$n$倍
B.都缩小到原来的$\frac{1}{n}$
C.没有变化
D.只有$\tan A$发生变化
答案：2.C
解析：
在直角三角形中，锐角的三角函数值是其对应边的比值。将$Rt\triangle ABC$的斜边和直角边都扩大到原来的$n$倍，所得新三角形与原三角形相似，对应边的比值不变。因此，锐角$A$的三角函数值没有变化。
C
C
3. 在$\bigtriangleup ABC$中，$\angle A$，$\angle B$均为锐角，且$\left| \tan B - \sqrt{3} \right| + (2\sin A - \sqrt{3} )^{2} = 0$，则$\bigtriangleup ABC$是 (
A.钝角三角形
B.等边三角形
C.直角三角形
D.等腰直角三角形
B
)A.钝角三角形
B.等边三角形
C.直角三角形
D.等腰直角三角形
答案：3.B
解析：
解：
∵$\left| \tan B - \sqrt{3} \right| + (2\sin A - \sqrt{3} )^{2} = 0$，
且$\left| \tan B - \sqrt{3} \right| \geq 0$，$(2\sin A - \sqrt{3} )^{2} \geq 0$，
∴$\tan B - \sqrt{3} = 0$，$2\sin A - \sqrt{3} = 0$，
即$\tan B = \sqrt{3}$，$\sin A = \frac{\sqrt{3}}{2}$。
∵$\angle A$，$\angle B$均为锐角，
∴$\angle B = 60°$，$\angle A = 60°$，
∴$\angle C = 180° - \angle A - \angle B = 60°$，
∴$\triangle ABC$是等边三角形。
B
∵$\left| \tan B - \sqrt{3} \right| + (2\sin A - \sqrt{3} )^{2} = 0$，
且$\left| \tan B - \sqrt{3} \right| \geq 0$，$(2\sin A - \sqrt{3} )^{2} \geq 0$，
∴$\tan B - \sqrt{3} = 0$，$2\sin A - \sqrt{3} = 0$，
即$\tan B = \sqrt{3}$，$\sin A = \frac{\sqrt{3}}{2}$。
∵$\angle A$，$\angle B$均为锐角，
∴$\angle B = 60°$，$\angle A = 60°$，
∴$\angle C = 180° - \angle A - \angle B = 60°$，
∴$\triangle ABC$是等边三角形。
B
4. 在$Rt \bigtriangleup ABC$中，$\angle C = 90{°}$，如果$\sin A = \frac{1}{3}$，那么$\sin B$的值为 (
A.$\frac{2\sqrt{2}}{3}$
B.$2\sqrt{2}$
C.$\frac{\sqrt{2}}{4}$
D.$3$
A
)A.$\frac{2\sqrt{2}}{3}$
B.$2\sqrt{2}$
C.$\frac{\sqrt{2}}{4}$
D.$3$
答案：4.A
解析：
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$，则$\angle A+\angle B=90^{\circ}$，所以$\sin B=\cos A$。
因为$\sin A=\frac{1}{3}$，且$\sin^{2}A+\cos^{2}A=1$，所以$\cos A=\sqrt{1-\sin^{2}A}=\sqrt{1-(\frac{1}{3})^{2}}=\sqrt{1-\frac{1}{9}}=\sqrt{\frac{8}{9}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$，即$\sin B=\frac{2\sqrt{2}}{3}$。
A
因为$\sin A=\frac{1}{3}$，且$\sin^{2}A+\cos^{2}A=1$，所以$\cos A=\sqrt{1-\sin^{2}A}=\sqrt{1-(\frac{1}{3})^{2}}=\sqrt{1-\frac{1}{9}}=\sqrt{\frac{8}{9}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$，即$\sin B=\frac{2\sqrt{2}}{3}$。
A
5. 如图，小兵同学从点$A$处出发向正东方向走$x$ $m$到达点$B$处，再向正北方向走到点$C$处.已知$\angle BAC = \alpha$，则$A$，$C$两处相距 (
A.$\frac{x}{\sin\alpha}m$
B.$\frac{x}{\cos\alpha}m$
C.$x · \sin\alpha$ $m$
D.$x · \cos\alpha$ $m$
B
)A.$\frac{x}{\sin\alpha}m$
B.$\frac{x}{\cos\alpha}m$
C.$x · \sin\alpha$ $m$
D.$x · \cos\alpha$ $m$
答案：5.B
解析：
在直角三角形$ABC$中，$\angle ABC = 90°$，$AB = x\ m$，$\angle BAC=\alpha$。
因为$\cos\alpha=\frac{AB}{AC}$，所以$AC = \frac{AB}{\cos\alpha}=\frac{x}{\cos\alpha}\ m$。
答案：B
因为$\cos\alpha=\frac{AB}{AC}$，所以$AC = \frac{AB}{\cos\alpha}=\frac{x}{\cos\alpha}\ m$。
答案：B
6. ($2024·$南通模拟)如图，在网格中，每个小正方形的边长都是$1$，$\bigtriangleup ABC$的顶点都在这些小正方形的格点上，那么$\sin\angle BAC$的值为 (
A.$\frac{2\sqrt{10}}{5}$
B.$\frac{\sqrt{17}}{5}$
C.$\frac{16\sqrt{17}}{85}$
D.$\frac{4}{5}$
C
)A.$\frac{2\sqrt{10}}{5}$
B.$\frac{\sqrt{17}}{5}$
C.$\frac{16\sqrt{17}}{85}$
D.$\frac{4}{5}$
答案：6.C
解析：
解：以点$A$为原点，建立平面直角坐标系，可得$A(0,0)$，$B(4,-1)$，$C(3,4)$。
向量$\overrightarrow{AB}=(4,-1)$，$\overrightarrow{AC}=(3,4)$。
$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{4^2+(-1)^2}=\sqrt{17}$，$|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
$\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AC}=4×3+(-1)×4=8$。
$\cos\angle BAC=\frac{\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|}=\frac{8}{5\sqrt{17}}=\frac{8\sqrt{17}}{85}$。
$\sin\angle BAC=\sqrt{1-\cos^2\angle BAC}=\sqrt{1-(\frac{8\sqrt{17}}{85})^2}=\frac{16\sqrt{17}}{85}$。
答案：C
向量$\overrightarrow{AB}=(4,-1)$，$\overrightarrow{AC}=(3,4)$。
$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{4^2+(-1)^2}=\sqrt{17}$，$|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
$\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AC}=4×3+(-1)×4=8$。
$\cos\angle BAC=\frac{\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|}=\frac{8}{5\sqrt{17}}=\frac{8\sqrt{17}}{85}$。
$\sin\angle BAC=\sqrt{1-\cos^2\angle BAC}=\sqrt{1-(\frac{8\sqrt{17}}{85})^2}=\frac{16\sqrt{17}}{85}$。
答案：C
7. 如图所示为以$\bigtriangleup ABC$的边$AB$为直径的半圆$O$，点$C$恰好在半圆上，过点$C$作$CD\perp AB$于点$D$.已知$\cos\angle ACD = \frac{3}{5}$，$BC = 4$，则$AC$的长为 (
A.$1$
B.$\frac{20}{3}$
C.$3$
D.$\frac{16}{3}$
D
)A.$1$
B.$\frac{20}{3}$
C.$3$
D.$\frac{16}{3}$
答案：7.D
解析：
证明：
∵AB为半圆O的直径，点C在半圆上，
∴∠ACB=90°，即∠ACD+∠BCD=90°．
∵CD⊥AB，
∴∠CDB=90°，∠B+∠BCD=90°，
∴∠ACD=∠B．
∵cos∠ACD=cosB=$\frac{3}{5}$，
在Rt△ABC中，cosB=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{3}{5}$，BC=4，
∴$\frac{4}{AB}$=$\frac{3}{5}$，解得AB=$\frac{20}{3}$．
由勾股定理得：AC=$\sqrt{AB^2-BC^2}$=$\sqrt{(\frac{20}{3})^2-4^2}$=$\sqrt{\frac{400}{9}-\frac{144}{9}}$=$\sqrt{\frac{256}{9}}$=$\frac{16}{3}$．
$\frac{16}{3}$
∵AB为半圆O的直径，点C在半圆上，
∴∠ACB=90°，即∠ACD+∠BCD=90°．
∵CD⊥AB，
∴∠CDB=90°，∠B+∠BCD=90°，
∴∠ACD=∠B．
∵cos∠ACD=cosB=$\frac{3}{5}$，
在Rt△ABC中，cosB=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{3}{5}$，BC=4，
∴$\frac{4}{AB}$=$\frac{3}{5}$，解得AB=$\frac{20}{3}$．
由勾股定理得：AC=$\sqrt{AB^2-BC^2}$=$\sqrt{(\frac{20}{3})^2-4^2}$=$\sqrt{\frac{400}{9}-\frac{144}{9}}$=$\sqrt{\frac{256}{9}}$=$\frac{16}{3}$．
$\frac{16}{3}$
8. ($2024·$德阳)如图，某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物$CD$的高度，在建筑物旁边有一高度为$10$米的小楼房$AB$，小李同学在小楼房楼底点$B$处测得点$C$处的仰角为$60{°}$，在小楼房楼顶点$A$处测得点$C$处的仰角为$30{°}$($AB$，$CD$在同一平面内，点$B$，$D$在同一水平面上)，则建筑物$CD$的高度为 (
A.$20$米
B.$15$米
C.$12$米
D.$(10 + 5\sqrt{3})$米
B
)A.$20$米
B.$15$米
C.$12$米
D.$(10 + 5\sqrt{3})$米
答案：8.B
解析：
解：设 $ BD = x $ 米，$ CD = h $ 米。
在 $ Rt\triangle BCD $ 中，$ \tan 60° = \frac{CD}{BD} $，即 $ \sqrt{3} = \frac{h}{x} $，得 $ h = \sqrt{3}x $。
过点 $ A $ 作 $ AE \perp CD $ 于点 $ E $，则 $ AE = BD = x $ 米，$ EC = CD - AB = (h - 10) $ 米。
在 $ Rt\triangle AEC $ 中，$ \tan 30° = \frac{EC}{AE} $，即 $ \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{h - 10}{x} $，得 $ h - 10 = \frac{\sqrt{3}}{3}x $。
将 $ h = \sqrt{3}x $ 代入 $ h - 10 = \frac{\sqrt{3}}{3}x $，得 $ \sqrt{3}x - 10 = \frac{\sqrt{3}}{3}x $。
解得 $ x = 5\sqrt{3} $，则 $ h = \sqrt{3} × 5\sqrt{3} = 15 $。
答：建筑物 $ CD $ 的高度为 $ 15 $ 米。
B
在 $ Rt\triangle BCD $ 中，$ \tan 60° = \frac{CD}{BD} $，即 $ \sqrt{3} = \frac{h}{x} $，得 $ h = \sqrt{3}x $。
过点 $ A $ 作 $ AE \perp CD $ 于点 $ E $，则 $ AE = BD = x $ 米，$ EC = CD - AB = (h - 10) $ 米。
在 $ Rt\triangle AEC $ 中，$ \tan 30° = \frac{EC}{AE} $，即 $ \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{h - 10}{x} $，得 $ h - 10 = \frac{\sqrt{3}}{3}x $。
将 $ h = \sqrt{3}x $ 代入 $ h - 10 = \frac{\sqrt{3}}{3}x $，得 $ \sqrt{3}x - 10 = \frac{\sqrt{3}}{3}x $。
解得 $ x = 5\sqrt{3} $，则 $ h = \sqrt{3} × 5\sqrt{3} = 15 $。
答：建筑物 $ CD $ 的高度为 $ 15 $ 米。
B