22. 在东西方向的海岸线$l$上有一长为$1$千米的码头$MN$，在距码头西端$M$的正西方向$59.5$千米处有一观测站$O$，现测得位于观测站$O$的北偏西$37{°}$方向，且与观测站$O$相距$60$千米的小岛$A$处有一艘轮船开始航行驶向码头$MN$.经过一段时间后又测得该轮船位于观测站$O$的正北方向，且与观测站$O$相距$30$千米的点$B$处(参考数据：$\sin 37{°} \approx 0.60$，$\cos 37{°} \approx 0.80$，$\tan 37{°} \approx 0.75$).
(1) 求小岛$A$与点$B$之间的距离(结果保留根号).
(2) 如果不改变航向继续航行，那么该轮船能否行至码头$MN$靠岸？请说明理由.
(1) 求小岛$A$与点$B$之间的距离(结果保留根号).
(2) 如果不改变航向继续航行，那么该轮船能否行至码头$MN$靠岸？请说明理由.
答案：
22.(1)如图，过点A作AC⊥OB于点C.由题意，得OA=60千米,OB=30千米,∠AOC=37°.
∴AC=OA·sin37°≈60×0.60=36(千米),OC=OA·cos37°≈60×0.8=48(千米).
∴BC=OC−OB=48−30=18(千米).
∴在Rt△ABC中，AB=$\sqrt{AC²+BC²}$=$\sqrt{36²+18²}$=18$\sqrt{5}$(千米) (2)如果不改变航向继续航行,那么该轮船能行至码头MN靠岸 理由:如图，延长AB交l于点D.
∵∠ABC=∠OBD,∠ACB=∠DOB=90°,
∴△ABC∽△DBO.
∴$\frac{BC}{BO}$=$\frac{CA}{OD}$.
∴OD=$\frac{CA·BO}{BC}$=$\frac{36×30}{18}$=60(千米).
∵OM=59.5千米,MN=1千米，
∴ON=60.5千米.
∴OM＜OD＜ON.
∴如果不改变航向继续航行，那么该轮船能行至码头MN靠岸.
22.(1)如图，过点A作AC⊥OB于点C.由题意，得OA=60千米,OB=30千米,∠AOC=37°.
∴AC=OA·sin37°≈60×0.60=36(千米),OC=OA·cos37°≈60×0.8=48(千米).
∴BC=OC−OB=48−30=18(千米).
∴在Rt△ABC中，AB=$\sqrt{AC²+BC²}$=$\sqrt{36²+18²}$=18$\sqrt{5}$(千米) (2)如果不改变航向继续航行,那么该轮船能行至码头MN靠岸 理由:如图，延长AB交l于点D.
∵∠ABC=∠OBD,∠ACB=∠DOB=90°,
∴△ABC∽△DBO.
∴$\frac{BC}{BO}$=$\frac{CA}{OD}$.
∴OD=$\frac{CA·BO}{BC}$=$\frac{36×30}{18}$=60(千米).
∵OM=59.5千米,MN=1千米，
∴ON=60.5千米.
∴OM＜OD＜ON.
∴如果不改变航向继续航行，那么该轮船能行至码头MN靠岸.
23. ($2024·$苏州)如图①所示为某种可调节支撑架，$BC$为水平固定杆，竖直固定杆$AB\perp BC$，活动杆$AD$可绕点$A$旋转，$CD$为液压可伸缩支撑杆，已知$AB = 10cm$，$BC = 20cm$，$AD = 50cm$.
(1) 如图②，当活动杆$AD$处于水平状态时，求可伸缩支撑杆$CD$的长度(结果保留根号)；
(2) 如图③，当活动杆$AD$绕点$A$由水平状态按逆时针方向旋转角度$\alpha$，且$\tan\alpha = \frac{3}{4}$($\alpha$为锐角)，求此时可伸缩支撑杆$CD$的长度(结果保留根号).
(1) 如图②，当活动杆$AD$处于水平状态时，求可伸缩支撑杆$CD$的长度(结果保留根号)；
(2) 如图③，当活动杆$AD$绕点$A$由水平状态按逆时针方向旋转角度$\alpha$，且$\tan\alpha = \frac{3}{4}$($\alpha$为锐角)，求此时可伸缩支撑杆$CD$的长度(结果保留根号).
答案：
23.(1)如图①,过点C作CE⊥AD,垂足为E.由题意，得AB=CE=10cm,BC=AE=20cm.
∵AD=50cm,
∴ED=AD−AE=50−20=30(cm).在Rt△CED中,CD=$\sqrt{CE²+ED²}$=$\sqrt{10²+30²}$=10$\sqrt{10}$(cm).
∴可伸缩支撑杆CD的长度为10$\sqrt{10}$cm (2)如图②,过点D作DF⊥BC,交BC的延长线于点F,交AD'于点G.由题意，得AB=FG=10cm,AG=BF,∠AGD=90°.在Rt△ADG中,tanα=$\frac{DG}{AG}$=$\frac{3}{4}$,
∴设DG=3x cm,则AG=4x cm.
∴AD=$\sqrt{AG²+DG²}$=$\sqrt{(4x)^{2}+(3x)^{2}}$=5x(cm).
∵AD=50cm,
∴5x=50,解得x=10.
∴AG=40cm,DG=30cm.
∴DF=DG+FG=30+10=40(cm).
∴BF=AG=40cm.
∵BC=20cm,
∴CF=BF−BC=40−20=20(cm).在Rt△CFD中,CD=$\sqrt{CF²+DF²}$=$\sqrt{20²+40²}$=20$\sqrt{5}$(cm).
∴此时可伸缩支撑杆CD的长度为20$\sqrt{5}$cm
23.(1)如图①,过点C作CE⊥AD,垂足为E.由题意，得AB=CE=10cm,BC=AE=20cm.
∵AD=50cm,
∴ED=AD−AE=50−20=30(cm).在Rt△CED中,CD=$\sqrt{CE²+ED²}$=$\sqrt{10²+30²}$=10$\sqrt{10}$(cm).
∴可伸缩支撑杆CD的长度为10$\sqrt{10}$cm (2)如图②,过点D作DF⊥BC,交BC的延长线于点F,交AD'于点G.由题意，得AB=FG=10cm,AG=BF,∠AGD=90°.在Rt△ADG中,tanα=$\frac{DG}{AG}$=$\frac{3}{4}$,
∴设DG=3x cm,则AG=4x cm.
∴AD=$\sqrt{AG²+DG²}$=$\sqrt{(4x)^{2}+(3x)^{2}}$=5x(cm).
∵AD=50cm,
∴5x=50,解得x=10.
∴AG=40cm,DG=30cm.
∴DF=DG+FG=30+10=40(cm).
∴BF=AG=40cm.
∵BC=20cm,
∴CF=BF−BC=40−20=20(cm).在Rt△CFD中,CD=$\sqrt{CF²+DF²}$=$\sqrt{20²+40²}$=20$\sqrt{5}$(cm).
∴此时可伸缩支撑杆CD的长度为20$\sqrt{5}$cm