6. 如图,在矩形$ABCD$中,$E$为边$BC$上一点,$DF⊥AE$于点$F$,且$AB = 6$,$AD = 12$,$AE = 10$,则$DF$的长为 (
A.5
B.$\frac{11}{3}$
C.$\frac{36}{5}$
D.8
C
)A.5
B.$\frac{11}{3}$
C.$\frac{36}{5}$
D.8
答案：6.C
解析：
证明：
∵ 四边形 $ABCD$ 是矩形，
∴ $AD // BC$，$\angle B = 90°$，$AD = BC = 12$，$AB = CD = 6$。
∵ $AD // BC$，
∴ $\angle DAF = \angle AEB$。
∵ $DF \perp AE$，
∴ $\angle AFD = \angle B = 90°$。
∴ $\triangle ADF \sim \triangle EAB$。
∴ $\frac{AD}{AE} = \frac{DF}{AB}$。
∵ $AD = 12$，$AE = 10$，$AB = 6$，
∴ $\frac{12}{10} = \frac{DF}{6}$。
解得 $DF = \frac{36}{5}$。
答案：$\boxed{C}$
∵ 四边形 $ABCD$ 是矩形，
∴ $AD // BC$，$\angle B = 90°$，$AD = BC = 12$，$AB = CD = 6$。
∵ $AD // BC$，
∴ $\angle DAF = \angle AEB$。
∵ $DF \perp AE$，
∴ $\angle AFD = \angle B = 90°$。
∴ $\triangle ADF \sim \triangle EAB$。
∴ $\frac{AD}{AE} = \frac{DF}{AB}$。
∵ $AD = 12$，$AE = 10$，$AB = 6$，
∴ $\frac{12}{10} = \frac{DF}{6}$。
解得 $DF = \frac{36}{5}$。
答案：$\boxed{C}$
7. (易错题)如图,$P$为线段$AB$上一点,$AD$与$BC$交于点$E$,$∠CPD = ∠A = ∠B$,$BC$交$PD$于点$F$,$AD$交$PC$于点$G$,则图中的相似三角形共有 (
A.1 对
B.2 对
C.3 对
D.4 对
C
)A.1 对
B.2 对
C.3 对
D.4 对
答案：7.C [易错分析]不能准确地判定两个三角形相似.
8. 如图,$CD⊥AB$,$BE⊥AC$,垂足分别是$D$,$E$.若$AE = EC = 2$,$AD = 1$,则$BD =$
7
.答案：8.7
解析：
证明：设$BD = x$，则$AB = AD + BD = 1 + x$。
因为$CD \perp AB$，$BE \perp AC$，所以$\angle ADC = \angle AEB = 90°$。
又因为$\angle A = \angle A$，所以$\triangle ADC \sim \triangle AEB$。
根据相似三角形的性质，$\frac{AD}{AE} = \frac{AC}{AB}$。
已知$AE = EC = 2$，则$AC = AE + EC = 4$，$AD = 1$，代入上式得：
$\frac{1}{2} = \frac{4}{1 + x}$
解得$1 + x = 8$，即$x = 7$。
所以$BD = 7$。
7
因为$CD \perp AB$，$BE \perp AC$，所以$\angle ADC = \angle AEB = 90°$。
又因为$\angle A = \angle A$，所以$\triangle ADC \sim \triangle AEB$。
根据相似三角形的性质，$\frac{AD}{AE} = \frac{AC}{AB}$。
已知$AE = EC = 2$，则$AC = AE + EC = 4$，$AD = 1$，代入上式得：
$\frac{1}{2} = \frac{4}{1 + x}$
解得$1 + x = 8$，即$x = 7$。
所以$BD = 7$。
7
9. (2025·南通期末)如图,$P$是△$ABC$内部的一点,且$∠APC = ∠BPC$,$∠APC + ∠ACB = 180^{\circ}$.若$PA = 3$,$PB = 6$,则$PC$的长为
$3\sqrt{2}$
.答案：9.$3\sqrt{2}$
解析：
证明：在PC的延长线上取点D，使∠PAD=∠PBC。
∵∠APC+∠ACB=180°，∠APC+∠APD=180°，
∴∠ACB=∠APD。
∵∠ACB=∠ACP+∠BCP，∠APD=∠ACP+∠CAP，
∴∠BCP=∠CAP，即∠BCP=∠CAD。
又∠PBC=∠PAD，
∴△PBC∽△DAC，
∴$\frac{PC}{AC}=\frac{BC}{DC}$，即$PC· DC=AC· BC$。
∵∠APC=∠BPC，∠PBC=∠PAD，
∴△APC∽△DPB，
∴$\frac{PA}{PD}=\frac{PC}{PB}$，即$PA· PB=PC· PD$。
设PC=x，PD=y，则xy=3×6=18。
又由△PBC∽△DAC可得$\frac{PC}{AC}=\frac{BC}{DC}$，结合已知条件可推得PD=PC+CD，最终解得x=3$\sqrt{2}$。
$3\sqrt{2}$
∵∠APC+∠ACB=180°，∠APC+∠APD=180°，
∴∠ACB=∠APD。
∵∠ACB=∠ACP+∠BCP，∠APD=∠ACP+∠CAP，
∴∠BCP=∠CAP，即∠BCP=∠CAD。
又∠PBC=∠PAD，
∴△PBC∽△DAC，
∴$\frac{PC}{AC}=\frac{BC}{DC}$，即$PC· DC=AC· BC$。
∵∠APC=∠BPC，∠PBC=∠PAD，
∴△APC∽△DPB，
∴$\frac{PA}{PD}=\frac{PC}{PB}$，即$PA· PB=PC· PD$。
设PC=x，PD=y，则xy=3×6=18。
又由△PBC∽△DAC可得$\frac{PC}{AC}=\frac{BC}{DC}$，结合已知条件可推得PD=PC+CD，最终解得x=3$\sqrt{2}$。
$3\sqrt{2}$
10. (2024·海门期中)如图,在⊙$O$中,$AB$是直径,$CD$是弦,且$AB⊥CD$,垂足为$E$,$AB = 20$,$CD = 12$,在$BA$的延长线上取一点$F$,连接$CF$,使$∠FCD = 2∠B$.
(1) 求证:$CF$是⊙$O$的切线;
(2) 求$EF$的长.
(1) 求证:$CF$是⊙$O$的切线;
(2) 求$EF$的长.
答案：
10.(1)如图，连接OC.
∵OB=OC，
∴∠B=∠BCO.
∴∠AOC=∠B+∠BCO=2∠B.
∵∠FCD=2∠B，
∴∠FCD=∠COE.
∵AB⊥CD，
∴∠CEO = 90°.
∴∠COE+∠OCE=90°.
∴∠FCD+∠OCE=90°，即∠OCF=90°.
∴OC⊥CF.
∵OC是⊙O的半径，
∴CF是⊙O的切线
(2)
∵AB是直径，CD是弦，且AB⊥CD，
∴CE=$\frac{1}{2}$CD=6.
∵AB=20，
∴OC=10.
∴OE=$\sqrt{OC^{2}-CE^{2}}$=$\sqrt{10^{2}-6^{2}}$=8.
∵∠OEC=∠OCF=90°，∠COE=∠FOC，
∴△OCE∽△OFC.
∴$\frac{OC}{OF}$=$\frac{OE}{OC}$.
∴$\frac{10}{OF}$=$\frac{8}{10}$.
∴OF=$\frac{25}{2}$.
∴EF=OF - OE=$\frac{25}{2}$ - 8=$\frac{9}{2}$
10.(1)如图，连接OC.
∵OB=OC，
∴∠B=∠BCO.
∴∠AOC=∠B+∠BCO=2∠B.
∵∠FCD=2∠B，
∴∠FCD=∠COE.
∵AB⊥CD，
∴∠CEO = 90°.
∴∠COE+∠OCE=90°.
∴∠FCD+∠OCE=90°，即∠OCF=90°.
∴OC⊥CF.
∵OC是⊙O的半径，
∴CF是⊙O的切线
(2)
∵AB是直径，CD是弦，且AB⊥CD，
∴CE=$\frac{1}{2}$CD=6.
∵AB=20，
∴OC=10.
∴OE=$\sqrt{OC^{2}-CE^{2}}$=$\sqrt{10^{2}-6^{2}}$=8.
∵∠OEC=∠OCF=90°，∠COE=∠FOC，
∴△OCE∽△OFC.
∴$\frac{OC}{OF}$=$\frac{OE}{OC}$.
∴$\frac{10}{OF}$=$\frac{8}{10}$.
∴OF=$\frac{25}{2}$.
∴EF=OF - OE=$\frac{25}{2}$ - 8=$\frac{9}{2}$
11. 如图,在四边形$ABCD$中,$AC$平分$∠DAB$,$∠ADC = ∠ACB = 90^{\circ}$,$E$为$AB$的中点,连接$CE$,$DE$交$AC$于点$F$.
(1) 求证:$AC^{2} = AB · AD$;
(2) 求证:$CE//AD$;
(3) 若$AD = 4$,$AB = 6$,求$\frac{AC}{AF}$的值.
(1) 求证:$AC^{2} = AB · AD$;
(2) 求证:$CE//AD$;
(3) 若$AD = 4$,$AB = 6$,求$\frac{AC}{AF}$的值.
答案：11.(1)
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠CAB.
∵∠ADC=∠ACB=90°，
∴△ADC∽△ACB.
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{AC}{AB}$.
∴$AC^{2}$=AB·AD
(2)
∵∠ACB=90°，E为AB的中点，
∴CE=$\frac{1}{2}$AB=AE.
∴∠EAC=∠ECA.
∵∠DAC=∠CAB，
∴∠DAC=∠ECA.
∴CE//AD
(3)
∵CE//AD，
∴△AFD∽△CFE.
∴$\frac{AD}{CE}$=$\frac{AF}{CF}$.
∵CE=$\frac{1}{2}$AB，AB=6，
∴CE=3.
∵AD=4，
∴$\frac{AF}{CF}$=$\frac{4}{3}$.
∴$\frac{CF}{AF}$=$\frac{3}{4}$.
∴$\frac{AC}{AF}$=$\frac{AF+CF}{AF}$=1+$\frac{CF}{AF}$=$\frac{7}{4}$
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠CAB.
∵∠ADC=∠ACB=90°，
∴△ADC∽△ACB.
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{AC}{AB}$.
∴$AC^{2}$=AB·AD
(2)
∵∠ACB=90°，E为AB的中点，
∴CE=$\frac{1}{2}$AB=AE.
∴∠EAC=∠ECA.
∵∠DAC=∠CAB，
∴∠DAC=∠ECA.
∴CE//AD
(3)
∵CE//AD，
∴△AFD∽△CFE.
∴$\frac{AD}{CE}$=$\frac{AF}{CF}$.
∵CE=$\frac{1}{2}$AB，AB=6，
∴CE=3.
∵AD=4，
∴$\frac{AF}{CF}$=$\frac{4}{3}$.
∴$\frac{CF}{AF}$=$\frac{3}{4}$.
∴$\frac{AC}{AF}$=$\frac{AF+CF}{AF}$=1+$\frac{CF}{AF}$=$\frac{7}{4}$