8. 已知△ABC∽△DEF，且△ABC 和△DEF 的相似比为$\frac{2}{3}$.
(1)△ABC 和△DEF 对应中线的比为
(2)若它们的周长之差为 20，则△ABC 和△DEF 的周长分别是
(3)若它们的面积之和为 19.5，则△ABC 和△DEF 的面积分别是
(1)△ABC 和△DEF 对应中线的比为
$\frac{2}{3}$
；(2)若它们的周长之差为 20，则△ABC 和△DEF 的周长分别是
40
，60
；(3)若它们的面积之和为 19.5，则△ABC 和△DEF 的面积分别是
6
，13.5
.答案：$8.(1)\frac{2}{3} (2)40 60 (3)6 13.5$
9. 如图，在△ABC 中，AC ＞ AB，点 D 在 BC 上，且 BD = BA，∠ABC 的平分线 BE 交 AD 于点 E，F 是 AC 的中点，连接 EF. 若四边形 CDEF 和△BDE 的面积都为 3，则△ABC 的面积为
10
$. $答案：9.10
解析：
证明：
∵ $BD = BA$，$BE$ 平分 $\angle ABC$，
∴ $BE$ 垂直平分 $AD$（三线合一），即 $E$ 为 $AD$ 中点。
∵ $F$ 是 $AC$ 中点，
∴ $EF$ 是 $\triangle ADC$ 的中位线，$EF // DC$ 且 $EF = \frac{1}{2}DC$。
设 $DC = 2x$，则 $EF = x$，设 $\triangle AEF$ 的面积为 $S$。
∵ $EF // DC$，$\triangle AEF \sim \triangle ADC$，相似比为 $\frac{1}{2}$，
∴ $\triangle ADC$ 的面积为 $4S$。
∵ 四边形 $CDEF$ 面积为 $3$，
∴ $4S - S = 3$，解得 $S = 1$，故 $\triangle ADC$ 面积为 $4$。
∵ $E$ 为 $AD$ 中点，$\triangle BDE$ 面积为 $3$，
∴ $\triangle ABD$ 面积为 $2 × 3 = 6$。
∴ $\triangle ABC$ 面积为 $\triangle ABD + \triangle ADC = 6 + 4 = 10$。
10
∵ $BD = BA$，$BE$ 平分 $\angle ABC$，
∴ $BE$ 垂直平分 $AD$（三线合一），即 $E$ 为 $AD$ 中点。
∵ $F$ 是 $AC$ 中点，
∴ $EF$ 是 $\triangle ADC$ 的中位线，$EF // DC$ 且 $EF = \frac{1}{2}DC$。
设 $DC = 2x$，则 $EF = x$，设 $\triangle AEF$ 的面积为 $S$。
∵ $EF // DC$，$\triangle AEF \sim \triangle ADC$，相似比为 $\frac{1}{2}$，
∴ $\triangle ADC$ 的面积为 $4S$。
∵ 四边形 $CDEF$ 面积为 $3$，
∴ $4S - S = 3$，解得 $S = 1$，故 $\triangle ADC$ 面积为 $4$。
∵ $E$ 为 $AD$ 中点，$\triangle BDE$ 面积为 $3$，
∴ $\triangle ABD$ 面积为 $2 × 3 = 6$。
∴ $\triangle ABC$ 面积为 $\triangle ABD + \triangle ADC = 6 + 4 = 10$。
10
10. 如图，点 A，B，C，D 在同一条直线上，CE 与 BF 交于点 G，∠A = ∠1，CE//DF.
（1）求证：∠E = ∠F；
（2）若 AB : BC : CD = 2 : 2 : 1，求$\frac{S_{四边形 GCDF}}{S_{四边形 ABGE}}$的值$. $
（1）求证：∠E = ∠F；
（2）若 AB : BC : CD = 2 : 2 : 1，求$\frac{S_{四边形 GCDF}}{S_{四边形 ABGE}}$的值$. $
答案：$10.(1)\because CE//DF，$$\therefore \angle ACE = \angle D.\because \angle A = \angle1，$$\therefore 180° - \angle A - \angle ACE = 180° - \angle1 - \angle D，$即$\angle E = \angle F (2)\because AB$：BC：CD = 2：2：1，$\therefore AC$：BD = 4：$3.\because \angle A = \angle1，$又由(1)知，$\angle E = \angle F，$$\therefore △ACE ∽ △BDF.\therefore\frac{S_{△ACE}}{S_{△BDF}} = (\frac{AC}{BD})^2 = \frac{16}{9}. $设$S_{△ACE} = 16x(x ＞ 0)，$则$S_{△BDF} = 9x.\because \angle1 = \angle A，$$\therefore BG//AE.\therefore △BCG ∽ △ACE.\therefore\frac{S_{△BCG}}{S_{△ACE}} = (\frac{BC}{AC})^2 = \frac{1}{4}.\therefore S_{△BCG} = \frac{1}{4} × 16x = 4x.\therefore S_{四边形ABGE} = S_{△ACE} - S_{△BCG} = 16x - 4x = 12x，$$ S_{四边形GCDF} = S_{△BDF} - S_{△BCG} = 9x - 4x = 5x.\therefore\frac{S_{四边形GCDF}}{S_{四边形ABGE}} = \frac{5x}{12x} = \frac{5}{12}$
解析：
（1）证明：
∵CE//DF，
∴∠ACE=∠D．
∵∠A=∠1，
∴180°-∠A-∠ACE=180°-∠1-∠D，
即∠E=∠F．
（2）
∵AB:BC:CD=2:2:1，
∴设AB=2k，BC=2k，CD=k（k＞0），则AC=AB+BC=4k，BD=BC+CD=3k，
∴AC:BD=4:3．
∵∠A=∠1，由（1）知∠E=∠F，
∴△ACE∽△BDF．
∴$\frac{S_{△ACE}}{S_{△BDF}}=(\frac{AC}{BD})^2=(\frac{4}{3})^2=\frac{16}{9}$．
设$S_{△ACE}=16x$（x＞0），则$S_{△BDF}=9x$．
∵∠1=∠A，
∴BG//AE．
∴△BCG∽△ACE．
∴$\frac{S_{△BCG}}{S_{△ACE}}=(\frac{BC}{AC})^2=(\frac{2k}{4k})^2=\frac{1}{4}$．
∴$S_{△BCG}=\frac{1}{4}×16x=4x$．
∴$S_{四边形ABGE}=S_{△ACE}-S_{△BCG}=16x - 4x=12x$，
$S_{四边形GCDF}=S_{△BDF}-S_{△BCG}=9x - 4x=5x$．
∴$\frac{S_{四边形GCDF}}{S_{四边形ABGE}}=\frac{5x}{12x}=\frac{5}{12}$．
∵CE//DF，
∴∠ACE=∠D．
∵∠A=∠1，
∴180°-∠A-∠ACE=180°-∠1-∠D，
即∠E=∠F．
（2）
∵AB:BC:CD=2:2:1，
∴设AB=2k，BC=2k，CD=k（k＞0），则AC=AB+BC=4k，BD=BC+CD=3k，
∴AC:BD=4:3．
∵∠A=∠1，由（1）知∠E=∠F，
∴△ACE∽△BDF．
∴$\frac{S_{△ACE}}{S_{△BDF}}=(\frac{AC}{BD})^2=(\frac{4}{3})^2=\frac{16}{9}$．
设$S_{△ACE}=16x$（x＞0），则$S_{△BDF}=9x$．
∵∠1=∠A，
∴BG//AE．
∴△BCG∽△ACE．
∴$\frac{S_{△BCG}}{S_{△ACE}}=(\frac{BC}{AC})^2=(\frac{2k}{4k})^2=\frac{1}{4}$．
∴$S_{△BCG}=\frac{1}{4}×16x=4x$．
∴$S_{四边形ABGE}=S_{△ACE}-S_{△BCG}=16x - 4x=12x$，
$S_{四边形GCDF}=S_{△BDF}-S_{△BCG}=9x - 4x=5x$．
∴$\frac{S_{四边形GCDF}}{S_{四边形ABGE}}=\frac{5x}{12x}=\frac{5}{12}$．
11. （新考法·操作实践题）课本中有一道作业题（如图①）：有一块三角形余料 ABC，它的边 BC = 120 mm，高 AD = 80 mm. 要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在 BC 上，其余两个顶点分别在 AB，AC 上，那么加工成的正方形零件的边长为多少毫米？
小颖解得此题的答案是 48 mm. 经过反思，她又提出了如下问题：
（1）如果原题中所要加工成的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形组成的（如图②），那么此时这个矩形零件的长和宽分别是多少毫米？
（2）如果原题中所要加工成的零件只是一个矩形（如图③），那么这个矩形零件的长和宽就不能确定，但这个矩形零件的面积有最大值，求达到这个最大值时这个矩形零件的长和宽.
小颖解得此题的答案是 48 mm. 经过反思，她又提出了如下问题：
（1）如果原题中所要加工成的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形组成的（如图②），那么此时这个矩形零件的长和宽分别是多少毫米？
（2）如果原题中所要加工成的零件只是一个矩形（如图③），那么这个矩形零件的长和宽就不能确定，但这个矩形零件的面积有最大值，求达到这个最大值时这个矩形零件的长和宽.
答案：11.(1) 设PQ = x mm，则PN = 2x mm. 由题意，易得△APN ∽ △ABC，AE是△APN的高，$\therefore\frac{PN}{BC} = \frac{AE}{AD}，$$\frac{2x}{120} = \frac{80 - x}{80}，$解得$x = \frac{240}{7}.\therefore PN = \frac{480}{7} mm.\therefore$这个矩形零件的长和宽分别为$\frac{480}{7} mm，$$\frac{240}{7} mm (2) $设PQ = t mm，$PN = n mm. \because$易得△APN ∽ △ABC，AE是△APN的高，$\therefore\frac{PN}{BC} = \frac{AE}{AD}，$$\therefore\frac{n}{120} = \frac{80 - t}{80}，$解得$n = 120 - \frac{3}{2}t.\therefore PN = (120 - \frac{3}{2}t)mm. \therefore$这个矩形零件的面积$S = PQ · PN = t(120 - \frac{3}{2}t) = -\frac{3}{2}t^2 + 120t = [-\frac{3}{2}(t - 40)^2 + 2400]mm^2，$且0 ＜ t ＜ 80.
$\therefore$当t = 40时，这个矩形零件的面积最大，此时$120 - \frac{3}{2}t = 60，$即当PQ = 40 mm，PN = 60 mm时，这个矩形零件的面积取得最大值$.\therefore$当这个矩形零件的面积达到最大值时，其长和宽分别为60 mm，40 mm
$\therefore$当t = 40时，这个矩形零件的面积最大，此时$120 - \frac{3}{2}t = 60，$即当PQ = 40 mm，PN = 60 mm时，这个矩形零件的面积取得最大值$.\therefore$当这个矩形零件的面积达到最大值时，其长和宽分别为60 mm，40 mm