1.(教材 P73 例 1 变式)在 Rt$\triangle ABC$ 中，$\angle C = 90^{\circ}$，$AB = 2\sqrt{5}$，$AC = \sqrt{15}$，则$\angle A$的度数为 (
A.$90^{\circ}$
B.$60^{\circ}$
C.$45^{\circ}$
D.$30^{\circ}$
D
)A.$90^{\circ}$
B.$60^{\circ}$
C.$45^{\circ}$
D.$30^{\circ}$
答案：1.D
解析：
解：在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$
$\because AB=2\sqrt{5}$，$AC=\sqrt{15}$
$\therefore \cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{15}}{2\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\therefore \angle A=30^{\circ}$
答案：D
$\because AB=2\sqrt{5}$，$AC=\sqrt{15}$
$\therefore \cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{15}}{2\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\therefore \angle A=30^{\circ}$
答案：D
2.(2025·南通期末)根据下列条件，不能解直角三角形的是
(
A.已知两条直角边
B.已知斜边和一条直角边
C.已知两个锐角
D.已知一条直角边与一个锐角
(
C
)A.已知两条直角边
B.已知斜边和一条直角边
C.已知两个锐角
D.已知一条直角边与一个锐角
答案：2.C
3.(教材 P72 探究变式)在$\triangle ABC$ 中，$\angle C = 90^{\circ}$，设$\angle A$，$\angle B$，$\angle C$ 所对的边分别为$a$，$b$，$c$，则(
A.$c = b \sin B$
B.$b = c \sin B$
C.$a = b \tan B$
D.$b = c \tan B$
B
)A.$c = b \sin B$
B.$b = c \sin B$
C.$a = b \tan B$
D.$b = c \tan B$
答案：3.B
解析：
在$\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，根据锐角三角函数的定义，$\sin B = \frac{b}{c}$，则$b = c \sin B$。
B
B
4.(2024·南通期末)如图，在$\triangle ABC$ 中，$\angle B = 45^{\circ}$，$\sin C = \frac{\sqrt{3}}{2}$，过点$A$ 作$AD \perp BC$ 于点$D$，$AB = 2\sqrt{6}$. 若$E$，$F$ 分别为$AB$，$BC$ 的中点，则$EF$ 的长为 (
A.$2$
B.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
D.$4$
A
)A.$2$
B.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
D.$4$
答案：4.A
解析：
解：在$Rt\triangle ABD$中，$\angle ADB=90°$，$\angle B=45°$，$AB=2\sqrt{6}$，
$\therefore AD=AB·\sin45°=2\sqrt{6}×\frac{\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{3}$。
在$Rt\triangle ADC$中，$\angle ADC=90°$，$\sin C=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
$\therefore AC=\frac{AD}{\sin C}=\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=4$。
$\because E$，$F$分别为$AB$，$BC$的中点，
$\therefore EF$是$\triangle ABC$的中位线，
$\therefore EF=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×4=2$。
答案：A
$\therefore AD=AB·\sin45°=2\sqrt{6}×\frac{\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{3}$。
在$Rt\triangle ADC$中，$\angle ADC=90°$，$\sin C=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
$\therefore AC=\frac{AD}{\sin C}=\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=4$。
$\because E$，$F$分别为$AB$，$BC$的中点，
$\therefore EF$是$\triangle ABC$的中位线，
$\therefore EF=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×4=2$。
答案：A
5.（易错题）在$\triangle ABC$ 中，$\tan B = \frac{1}{3}$，$AB = 2\sqrt{10}$，$AC = \sqrt{5}$，则$BC$ 的长为
5或7
答案：5.5或7 [易错分析]对三角形的形状考虑不全致错.
解析：
过点$A$作$AD \perp BC$于点$D$，设$AD = x$。
在$Rt\triangle ABD$中，$\tan B=\frac{AD}{BD}=\frac{1}{3}$，则$BD = 3x$。由勾股定理得$AD^{2}+BD^{2}=AB^{2}$，即$x^{2}+(3x)^{2}=(2\sqrt{10})^{2}$，解得$x = 2$（$x=-2$舍去），所以$AD = 2$，$BD=6$。
在$Rt\triangle ACD$中，由勾股定理得$CD=\sqrt{AC^{2}-AD^{2}}=\sqrt{(\sqrt{5})^{2}-2^{2}}=1$。
当点$D$在线段$BC$上时，$BC=BD + CD=6 + 1=7$；当点$D$在线段$BC$的延长线上时，$BC=BD - CD=6 - 1=5$。
综上，$BC$的长为$5$或$7$。
在$Rt\triangle ABD$中，$\tan B=\frac{AD}{BD}=\frac{1}{3}$，则$BD = 3x$。由勾股定理得$AD^{2}+BD^{2}=AB^{2}$，即$x^{2}+(3x)^{2}=(2\sqrt{10})^{2}$，解得$x = 2$（$x=-2$舍去），所以$AD = 2$，$BD=6$。
在$Rt\triangle ACD$中，由勾股定理得$CD=\sqrt{AC^{2}-AD^{2}}=\sqrt{(\sqrt{5})^{2}-2^{2}}=1$。
当点$D$在线段$BC$上时，$BC=BD + CD=6 + 1=7$；当点$D$在线段$BC$的延长线上时，$BC=BD - CD=6 - 1=5$。
综上，$BC$的长为$5$或$7$。
6. 如图，在四边形$ABCD$ 中，$AD // BC$，$AC \perp AB$. 若$AD = CD$，$\cos \angle DCA = \frac{4}{5}$，$BC = 10$，则$AB$ 的长为
6
.答案：6.6
解析：
解：
∵$AD = CD$，
∴$\angle DAC = \angle DCA$.
∵$AD // BC$，
∴$\angle DAC = \angle ACB$，
∴$\angle ACB = \angle DCA$.
∵$\cos \angle DCA = \frac{4}{5}$，
∴$\cos \angle ACB = \frac{4}{5}$.
∵$AC \perp AB$，
∴$\triangle ABC$是直角三角形，$\angle BAC = 90°$.
在$ Rt\triangle ABC$中，$\cos \angle ACB = \frac{AC}{BC} = \frac{4}{5}$，$BC = 10$，
∴$AC = BC · \cos \angle ACB = 10 × \frac{4}{5} = 8$.
由勾股定理得：$AB = \sqrt{BC^2 - AC^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{36} = 6$.
答案：$6$
∵$AD = CD$，
∴$\angle DAC = \angle DCA$.
∵$AD // BC$，
∴$\angle DAC = \angle ACB$，
∴$\angle ACB = \angle DCA$.
∵$\cos \angle DCA = \frac{4}{5}$，
∴$\cos \angle ACB = \frac{4}{5}$.
∵$AC \perp AB$，
∴$\triangle ABC$是直角三角形，$\angle BAC = 90°$.
在$ Rt\triangle ABC$中，$\cos \angle ACB = \frac{AC}{BC} = \frac{4}{5}$，$BC = 10$，
∴$AC = BC · \cos \angle ACB = 10 × \frac{4}{5} = 8$.
由勾股定理得：$AB = \sqrt{BC^2 - AC^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{36} = 6$.
答案：$6$
7.（教材 P74 练习变式）在 Rt$\triangle ABC$ 中，$\angle C = 90^{\circ}$，$\angle A$，$\angle B$，$\angle C$ 所对的边分别为$a$，$b$，$c$. 根据下列条件解直角三角形：
(1)$a = 8$，$c = 8\sqrt{2}$；
(2)$c = 4\sqrt{3}$，$\angle A = 60^{\circ}$；
(3)$a = \sqrt{5}$，$b = \sqrt{15}$.
(1)$a = 8$，$c = 8\sqrt{2}$；
(2)$c = 4\sqrt{3}$，$\angle A = 60^{\circ}$；
(3)$a = \sqrt{5}$，$b = \sqrt{15}$.
答案：7.(1)
∵∠C = 90°，
∴b = $\sqrt{c^{2}-a^{2}}$ = $\sqrt{(8\sqrt{2})^{2}-8^{2}}$ = 8.
∵tanA = $\frac{a}{b}$ = $\frac{8}{8}$ = 1，
∴∠A = 45°.
∴∠B = 90° - ∠A = 90° - 45° = 45°.
(2)
∵∠A = 60°，
∴∠B = 90° - ∠A = 90° - 60° = 30°.
∵sinB = $\frac{b}{c}$，
∴b = c sinB = 4$\sqrt{3}$ × sin30° = 4$\sqrt{3}$ × $\frac{1}{2}$ = 2$\sqrt{3}$.
∵cosB = $\frac{a}{c}$，
∴a = c cosB = 4$\sqrt{3}$ × cos30° = 4$\sqrt{3}$ × $\frac{\sqrt{3}}{2}$ = 6.
(3)
∵tanA = $\frac{a}{b}$ = $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{15}}$ = $\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠A = 30°.
∴∠B = 90° - ∠A = 90° - 30° = 60°，c = 2a = 2$\sqrt{5}$.
∵∠C = 90°，
∴b = $\sqrt{c^{2}-a^{2}}$ = $\sqrt{(8\sqrt{2})^{2}-8^{2}}$ = 8.
∵tanA = $\frac{a}{b}$ = $\frac{8}{8}$ = 1，
∴∠A = 45°.
∴∠B = 90° - ∠A = 90° - 45° = 45°.
(2)
∵∠A = 60°，
∴∠B = 90° - ∠A = 90° - 60° = 30°.
∵sinB = $\frac{b}{c}$，
∴b = c sinB = 4$\sqrt{3}$ × sin30° = 4$\sqrt{3}$ × $\frac{1}{2}$ = 2$\sqrt{3}$.
∵cosB = $\frac{a}{c}$，
∴a = c cosB = 4$\sqrt{3}$ × cos30° = 4$\sqrt{3}$ × $\frac{\sqrt{3}}{2}$ = 6.
(3)
∵tanA = $\frac{a}{b}$ = $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{15}}$ = $\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠A = 30°.
∴∠B = 90° - ∠A = 90° - 30° = 60°，c = 2a = 2$\sqrt{5}$.
8. 如图，在$\triangle ABC$ 中，$\sin B = \frac{1}{3}$，$\tan C = 2$，$AB = 3$，则$AC$ 的长为
(
A.$\sqrt{2}$
B.$\frac{\sqrt{5}}{2}$
C.$\sqrt{5}$
D.$2$
(
B
)A.$\sqrt{2}$
B.$\frac{\sqrt{5}}{2}$
C.$\sqrt{5}$
D.$2$
答案：8.B
解析：
解：过点$A$作$AD \perp BC$于点$D$，设$AD = x$。
在$ Rt\triangle ABD$中，$\sin B=\frac{AD}{AB}=\frac{1}{3}$，$AB = 3$，则$\frac{x}{3}=\frac{1}{3}$，解得$x = 1$，即$AD=1$。
在$ Rt\triangle ADC$中，$\tan C=\frac{AD}{DC}=2$，$AD = 1$，则$\frac{1}{DC}=2$，解得$DC=\frac{1}{2}$。
由勾股定理得$AC=\sqrt{AD^{2}+DC^{2}}=\sqrt{1^{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{1+\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{5}{4}}=\frac{\sqrt{5}}{2}$。
$\frac{\sqrt{5}}{2}$
在$ Rt\triangle ABD$中，$\sin B=\frac{AD}{AB}=\frac{1}{3}$，$AB = 3$，则$\frac{x}{3}=\frac{1}{3}$，解得$x = 1$，即$AD=1$。
在$ Rt\triangle ADC$中，$\tan C=\frac{AD}{DC}=2$，$AD = 1$，则$\frac{1}{DC}=2$，解得$DC=\frac{1}{2}$。
由勾股定理得$AC=\sqrt{AD^{2}+DC^{2}}=\sqrt{1^{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{1+\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{5}{4}}=\frac{\sqrt{5}}{2}$。
$\frac{\sqrt{5}}{2}$