1. (2025·长春)如图，某山峰的海拔为$m$米，一位登山者到达海拔为$n$米的点$A$处，测得山峰顶端$B$的仰角为$\alpha$，则$A$，$B$两点之间的距离为 (
A.$(m - n)\sin\alpha$米
B.$\frac{m - n}{\sin\alpha}$米
C.$(m - n)\cos\alpha$米
D.$\frac{m - n}{\cos\alpha}$米
B
)A.$(m - n)\sin\alpha$米
B.$\frac{m - n}{\sin\alpha}$米
C.$(m - n)\cos\alpha$米
D.$\frac{m - n}{\cos\alpha}$米
答案：1.B
解析：
解：过点$A$作$AC \perp BD$于点$C$，则$AC$为水平距离，$BC$为铅直高度差。
由题意得：$BC = m - n$（米），$\angle BAC = \alpha$。
在$ Rt\triangle ABC$中，$\sin\alpha=\frac{BC}{AB}$，
$\therefore AB=\frac{BC}{\sin\alpha}=\frac{m - n}{\sin\alpha}$（米）。
答案：B
由题意得：$BC = m - n$（米），$\angle BAC = \alpha$。
在$ Rt\triangle ABC$中，$\sin\alpha=\frac{BC}{AB}$，
$\therefore AB=\frac{BC}{\sin\alpha}=\frac{m - n}{\sin\alpha}$（米）。
答案：B
2. (2024·南通)社团活动课上，九年级学习小组测量学校旗杆的高度.如图，他们在点$B$处测得旗杆顶部$A$的仰角为$60^{\circ}$，$BC = 6\mathrm{m}$，则旗杆$AC$的高度为
]
$6\sqrt{3}$
$\mathrm{m}$.]
答案：2.$6\sqrt{3}$
解析：
解：在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$，$\angle B=60^{\circ}$，$BC=6\mathrm{m}$。
$\tan B=\frac{AC}{BC}$，
$AC=BC·\tan60^{\circ}=6×\sqrt{3}=6\sqrt{3}\mathrm{m}$。
故答案为$6\sqrt{3}$。
$\tan B=\frac{AC}{BC}$，
$AC=BC·\tan60^{\circ}=6×\sqrt{3}=6\sqrt{3}\mathrm{m}$。
故答案为$6\sqrt{3}$。
3. (教材 P78 习题 28.2 第 3 题变式)(2024·武汉)黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉.在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼$AB$的高度.具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面$102\mathrm{m}$的$C$处，测得黄鹤楼顶端$A$的俯角为$45^{\circ}$，底端$B$的俯角为$63^{\circ}$，则测得黄鹤楼的高度约是
]
51
$\mathrm{m}$(参考数据：$\tan63^{\circ} \approx 2$).]
答案：3.51
解析：
解：过点$C$作地面的垂线，垂足为点$D$，过点$A$作$AE \perp CD$于点$E$，则四边形$ABDE$为矩形，$AE = BD$，$AB = ED$。
由题意得：$CD = 102\ m$，$\angle CAE = 45^{\circ}$，$\angle CBD = 63^{\circ}$。
在$ Rt \triangle CBD$中，$\tan 63^{\circ} = \dfrac{CD}{BD}$，$BD = \dfrac{CD}{\tan 63^{\circ}} \approx \dfrac{102}{2} = 51\ m$，故$AE = BD = 51\ m$。
在$ Rt \triangle ACE$中，$\tan 45^{\circ} = \dfrac{CE}{AE}$，$CE = AE · \tan 45^{\circ} = 51 × 1 = 51\ m$。
$AB = ED = CD - CE = 102 - 51 = 51\ m$。
答：黄鹤楼的高度约是$51\ m$。
由题意得：$CD = 102\ m$，$\angle CAE = 45^{\circ}$，$\angle CBD = 63^{\circ}$。
在$ Rt \triangle CBD$中，$\tan 63^{\circ} = \dfrac{CD}{BD}$，$BD = \dfrac{CD}{\tan 63^{\circ}} \approx \dfrac{102}{2} = 51\ m$，故$AE = BD = 51\ m$。
在$ Rt \triangle ACE$中，$\tan 45^{\circ} = \dfrac{CE}{AE}$，$CE = AE · \tan 45^{\circ} = 51 × 1 = 51\ m$。
$AB = ED = CD - CE = 102 - 51 = 51\ m$。
答：黄鹤楼的高度约是$51\ m$。
4. (教材 P76 练习第 1 题变式)(2024·通辽)在“综合与实践”活动课上，活动小组测量一棵杨树的高度.如图，从点$C$测得杨树底端点$B$的仰角是$30^{\circ}$，$BC$长$6\mathrm{m}$，在距离点$C\ 4\mathrm{m}$处的点$D$测得杨树顶端点$A$的仰角为$45^{\circ}$，求杨树$AB$的高度(结果精确到$0.1\mathrm{m}$，$AB$，$BC$，$CD$在同一平面内，点$C$，$D$在同一水平线上，参考数据：$\sqrt{3} \approx 1.73$).
]
]答案：
4.如图，延长AB交DC于点H，则$\angle AHD = 90^{\circ}$。$\because \angle BCH = 30^{\circ}$，$BC = 6m$，$\therefore BH = \frac{1}{2}BC = 3m$，$CH = \frac{\sqrt{3}}{2}BC = 3\sqrt{3}m$。$\because \angle ADC = 45^{\circ}$，$\therefore$在$ Rt\triangle AHD$中，$AH = DH = CD + CH = (4 + 3\sqrt{3})m$。$\therefore AB = AH - BH = 4 + 3\sqrt{3} - 3 = 1 + 3\sqrt{3} \approx 6.2(m)$。$\therefore$杨树AB的高度约为$6.2m$
4.如图，延长AB交DC于点H，则$\angle AHD = 90^{\circ}$。$\because \angle BCH = 30^{\circ}$，$BC = 6m$，$\therefore BH = \frac{1}{2}BC = 3m$，$CH = \frac{\sqrt{3}}{2}BC = 3\sqrt{3}m$。$\because \angle ADC = 45^{\circ}$，$\therefore$在$ Rt\triangle AHD$中，$AH = DH = CD + CH = (4 + 3\sqrt{3})m$。$\therefore AB = AH - BH = 4 + 3\sqrt{3} - 3 = 1 + 3\sqrt{3} \approx 6.2(m)$。$\therefore$杨树AB的高度约为$6.2m$
5. (2025·通州一模)如图，建筑物$BC$上有一旗杆$AB$，从与$BC$相距$40\mathrm{m}$的点$D$处观测旗杆顶部$A$的仰角为$50^{\circ}$，观测旗杆底部$B$的仰角为$45^{\circ}$，则旗杆$AB$的高度是 (
A.$(\frac{40}{\sin50^{\circ}} - 40)\mathrm{m}$
B.$(40\sin50^{\circ} - 40)\mathrm{m}$
C.$(\frac{40}{\tan50^{\circ}} - 40)\mathrm{m}$
D.$(40\tan50^{\circ} - 40)\mathrm{m}$
]
D
)A.$(\frac{40}{\sin50^{\circ}} - 40)\mathrm{m}$
B.$(40\sin50^{\circ} - 40)\mathrm{m}$
C.$(\frac{40}{\tan50^{\circ}} - 40)\mathrm{m}$
D.$(40\tan50^{\circ} - 40)\mathrm{m}$
]
答案：5.D
解析：
解：在$Rt\triangle BCD$中，$\angle BDC=45°$，$CD=40\ m$，
$\tan45°=\frac{BC}{CD}\implies BC=CD·\tan45°=40×1=40\ m$.
在$Rt\triangle ACD$中，$\angle ADC=50°$，$CD=40\ m$，
$\tan50°=\frac{AC}{CD}\implies AC=CD·\tan50°=40\tan50°\ m$.
则$AB=AC-BC=40\tan50°-40\ m$.
答案：D
$\tan45°=\frac{BC}{CD}\implies BC=CD·\tan45°=40×1=40\ m$.
在$Rt\triangle ACD$中，$\angle ADC=50°$，$CD=40\ m$，
$\tan50°=\frac{AC}{CD}\implies AC=CD·\tan50°=40\tan50°\ m$.
则$AB=AC-BC=40\tan50°-40\ m$.
答案：D