7. 在$\triangle ABC$中$,AB=6,AC=4,P$是$AC$的中点,过点$P$的直线交边$AB$于点$Q$.若以$A,P,Q$为顶点的三角形和$\triangle ABC$相似,则$AQ$的长为 (
A.3
B.$3$或$\frac{4}{3}$
C.$3$或$\frac{3}{4}$
D.$\frac{4}{3}$
B
)A.3
B.$3$或$\frac{4}{3}$
C.$3$或$\frac{3}{4}$
D.$\frac{4}{3}$
答案：B
解析：
在$\triangle ABC$中，$AB=6$，$AC=4$，$P$是$AC$的中点，所以$AP=\frac{1}{2}AC=2$。
情况一：当$\triangle APQ \sim \triangle ACB$时
$\frac{AP}{AC}=\frac{AQ}{AB}$
$\frac{2}{4}=\frac{AQ}{6}$
$4AQ=12$
$AQ=3$
情况二：当$\triangle APQ \sim \triangle ABC$时
$\frac{AP}{AB}=\frac{AQ}{AC}$
$\frac{2}{6}=\frac{AQ}{4}$
$6AQ=8$
$AQ=\frac{4}{3}$
综上，$AQ$的长为$3$或$\frac{4}{3}$。
B
情况一：当$\triangle APQ \sim \triangle ACB$时
$\frac{AP}{AC}=\frac{AQ}{AB}$
$\frac{2}{4}=\frac{AQ}{6}$
$4AQ=12$
$AQ=3$
情况二：当$\triangle APQ \sim \triangle ABC$时
$\frac{AP}{AB}=\frac{AQ}{AC}$
$\frac{2}{6}=\frac{AQ}{4}$
$6AQ=8$
$AQ=\frac{4}{3}$
综上，$AQ$的长为$3$或$\frac{4}{3}$。
B
8. 如图,函数$y=\frac{12}{x}(x＞0)$的图象经过$A,B$两点,连接$OA,AB$,过点$B$作$BD \perp y$轴,垂足为$D,BD$交$OA$于点$E$.若$E$为$AO$的中点,则$\triangle AEB$的面积是 (
A.4.5
B.3.5
C.3
D.2.5
A
)A.4.5
B.3.5
C.3
D.2.5
答案：A
解析：
解：设点$A$的坐标为$(a,\frac{12}{a})$，其中$a＞0$。
因为$E$为$AO$的中点，所以点$E$的坐标为$(\frac{a}{2},\frac{6}{a})$。
由于$BD \perp y$轴，点$E$在$BD$上，所以点$B$的纵坐标与点$E$相同，为$\frac{6}{a}$。
又因为点$B$在函数$y = \frac{12}{x}(x＞0)$的图象上，所以点$B$的横坐标为$x=\frac{12}{\frac{6}{a}}=2a$，即点$B$的坐标为$(2a,\frac{6}{a})$。
$BD$的长度为点$B$的横坐标，即$2a$，$ED$的长度为点$E$的横坐标，即$\frac{a}{2}$，所以$BE=BD - ED=2a-\frac{a}{2}=\frac{3a}{2}$。
$\triangle AEB$的高为点$A$与点$E$的纵坐标之差，即$\frac{12}{a}-\frac{6}{a}=\frac{6}{a}$。
因此，$\triangle AEB$的面积为$\frac{1}{2}× BE×$高$=\frac{1}{2}×\frac{3a}{2}×\frac{6}{a}=\frac{9}{2}=4.5$。
答案：A
因为$E$为$AO$的中点，所以点$E$的坐标为$(\frac{a}{2},\frac{6}{a})$。
由于$BD \perp y$轴，点$E$在$BD$上，所以点$B$的纵坐标与点$E$相同，为$\frac{6}{a}$。
又因为点$B$在函数$y = \frac{12}{x}(x＞0)$的图象上，所以点$B$的横坐标为$x=\frac{12}{\frac{6}{a}}=2a$，即点$B$的坐标为$(2a,\frac{6}{a})$。
$BD$的长度为点$B$的横坐标，即$2a$，$ED$的长度为点$E$的横坐标，即$\frac{a}{2}$，所以$BE=BD - ED=2a-\frac{a}{2}=\frac{3a}{2}$。
$\triangle AEB$的高为点$A$与点$E$的纵坐标之差，即$\frac{12}{a}-\frac{6}{a}=\frac{6}{a}$。
因此，$\triangle AEB$的面积为$\frac{1}{2}× BE×$高$=\frac{1}{2}×\frac{3a}{2}×\frac{6}{a}=\frac{9}{2}=4.5$。
答案：A
9. 如图,在$ Rt \triangle ABC$中$,\angle C=90^{\circ},AB=13,BC=5$,结合尺规作图痕迹提供的信息,可得线段$AQ$的长为 (
A.$2\sqrt{13}$
B.$2\sqrt{15}$
C.6
D.$\frac{120}{13}$
A
)A.$2\sqrt{13}$
B.$2\sqrt{15}$
C.6
D.$\frac{120}{13}$
答案：
9.A 解析:
∵在Rt△ABC中,∠C = 90°,AB = 13,BC = 5,
∴AC = √{13² - 5²} = 12.由作图痕迹可知，BG平分∠ABC，即∠CBG = ∠ABG.如图，设BG,AC交于点M,过点M作MN⊥AB于点N,则CM = MN.设CM = MN = x.
∵S_△ABC = S_△MBC + S_△ABM,
∴$\frac{1}{2}BC·AC = \frac{1}{2}BC·CM + \frac{1}{2}AB·MN,$即5×12 = 5x + 13x,解得$x = \frac{10}{3}，$即$CM = \frac{10}{3}，$则$BM = √{5² + (\frac{10}{3})²} = \frac{5}{3}√{13}.$由作图痕迹可知，AQ⊥BH，
∴∠AQB = ∠C = 90°.
∵∠CBG = ∠ABG,
∴△ABQ∽△MBC.
∴$\frac{AQ}{MC} = \frac{AB}{MB}，$即$\frac{AQ}{\frac{10}{3}} = \frac{13}{\frac{5}{3}√{13}}，$解得AQ = 2√{13}.
9.A 解析:
∵在Rt△ABC中,∠C = 90°,AB = 13,BC = 5,
∴AC = √{13² - 5²} = 12.由作图痕迹可知，BG平分∠ABC，即∠CBG = ∠ABG.如图，设BG,AC交于点M,过点M作MN⊥AB于点N,则CM = MN.设CM = MN = x.
∵S_△ABC = S_△MBC + S_△ABM,
∴$\frac{1}{2}BC·AC = \frac{1}{2}BC·CM + \frac{1}{2}AB·MN,$即5×12 = 5x + 13x,解得$x = \frac{10}{3}，$即$CM = \frac{10}{3}，$则$BM = √{5² + (\frac{10}{3})²} = \frac{5}{3}√{13}.$由作图痕迹可知，AQ⊥BH，
∴∠AQB = ∠C = 90°.
∵∠CBG = ∠ABG,
∴△ABQ∽△MBC.
∴$\frac{AQ}{MC} = \frac{AB}{MB}，$即$\frac{AQ}{\frac{10}{3}} = \frac{13}{\frac{5}{3}√{13}}，$解得AQ = 2√{13}.
10. 如图$,O$是坐标原点,函数$y=-\frac{4}{x}(x＞0)$的图象与直线$y=-2x$交于点$A$,点$B$在函数$y=-\frac{4}{x}(x＞0)$的图象上,直线$AB$与$y$轴交于点$C$,连接$OB$.若$AB=3AC$,则$OB$的长为 (
A.$\sqrt{10}$
B.$\frac{5\sqrt{2}}{2}$
C.$\sqrt{34}$
D.$\frac{\sqrt{130}}{2}$
D
)A.$\sqrt{10}$
B.$\frac{5\sqrt{2}}{2}$
C.$\sqrt{34}$
D.$\frac{\sqrt{130}}{2}$
答案：
10.D 解析:如图，过点A作AD⊥x轴于点D,过点B作BE⊥x轴于点E.
∵函数$y = -\frac{4}{x}(x ＞ 0)$的图象与直线y = -2x交于点A,
∴令$-\frac{4}{x} = -2x,$解得x = √{2}或x = -√{2}(舍去).
∴OD = √{2}.
∵AD⊥x轴,BE⊥x轴，
∴AD//BE//y轴.
∴$\frac{AB}{AC} = \frac{DE}{OD}.$
∵AB = 3AC,
∴$3 = \frac{DE}{√{2}},$即DE = 3√{2}.
∴OE = √{2} + 3√{2} = 4√{2}.
∴将x = 4√{2}代入$y = -\frac{4}{x},$得$y = -\frac{4}{4√{2}} = -\frac{√{2}}{2}.$
∴$BE = \frac{√{2}}{2}.$
∴$OB = √{OE² + BE²} = \frac{√{130}}{2}. $
10.D 解析:如图，过点A作AD⊥x轴于点D,过点B作BE⊥x轴于点E.
∵函数$y = -\frac{4}{x}(x ＞ 0)$的图象与直线y = -2x交于点A,
∴令$-\frac{4}{x} = -2x,$解得x = √{2}或x = -√{2}(舍去).
∴OD = √{2}.
∵AD⊥x轴,BE⊥x轴，
∴AD//BE//y轴.
∴$\frac{AB}{AC} = \frac{DE}{OD}.$
∵AB = 3AC,
∴$3 = \frac{DE}{√{2}},$即DE = 3√{2}.
∴OE = √{2} + 3√{2} = 4√{2}.
∴将x = 4√{2}代入$y = -\frac{4}{x},$得$y = -\frac{4}{4√{2}} = -\frac{√{2}}{2}.$
∴$BE = \frac{√{2}}{2}.$
∴$OB = √{OE² + BE²} = \frac{√{130}}{2}. $
11. 反比例函数$y=\frac{1-m}{x}$的图象如图所示,则$m$的取值范围是
m ＜ 1
.答案：m ＜ 1
解析：
解：由图可知，反比例函数$y = \frac{1 - m}{x}$的图象位于第一、三象限，所以比例系数$1 - m ＞ 0$，解得$m ＜ 1$。
$m ＜ 1$
$m ＜ 1$
12. 设函数$y=\frac{3}{x}$的图象与函数$y=2x-6$的图象的交点坐标为$(a,b)$,则$\frac{1}{a}-\frac{2}{b}$的值是
-2
.答案：-2
解析：
解：因为函数$y = \frac{3}{x}$的图象与函数$y = 2x - 6$的图象的交点坐标为$(a,b)$，所以$b=\frac{3}{a}$，$b = 2a - 6$。
由$b=\frac{3}{a}$可得$ab=3$；由$b = 2a - 6$可得$b - 2a=-6$。
$\frac{1}{a}-\frac{2}{b}=\frac{b - 2a}{ab}=\frac{-6}{3}=-2$。
$-2$
由$b=\frac{3}{a}$可得$ab=3$；由$b = 2a - 6$可得$b - 2a=-6$。
$\frac{1}{a}-\frac{2}{b}=\frac{b - 2a}{ab}=\frac{-6}{3}=-2$。
$-2$
13. 已知两个相似三角形的相似比为$\frac{1}{2}$,其中一个三角形的面积是4,则另一个三角形的面积是
16或1
.答案：16或1
解析：
∵两个相似三角形的相似比为$\frac{1}{2}$，
∴它们的面积比为$(\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$。
若已知面积的三角形是较小三角形，则另一个三角形面积为$4÷\frac{1}{4}=16$；
若已知面积的三角形是较大三角形，则另一个三角形面积为$4×\frac{1}{4}=1$。
16或1
14. 如图,在$ Rt \triangle ABC$中$,CD$是斜边$AB$上的高$,AC=4,BC=3$,则$AD=$
$\frac{16}{5}$
.答案：$\frac{16}{5}$
解析：
解：在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB=90°$，$AC=4$，$BC=3$，由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^2 + BC^2}=\sqrt{4^2 + 3^2}=5$。
因为$CD$是斜边$AB$上的高，所以$\angle ADC=90°=\angle ACB$，又$\angle A=\angle A$，故$\triangle ACD\sim\triangle ABC$。
则$\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB}$，即$\frac{AD}{4}=\frac{4}{5}$，解得$AD=\frac{16}{5}$。
$\frac{16}{5}$
因为$CD$是斜边$AB$上的高，所以$\angle ADC=90°=\angle ACB$，又$\angle A=\angle A$，故$\triangle ACD\sim\triangle ABC$。
则$\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB}$，即$\frac{AD}{4}=\frac{4}{5}$，解得$AD=\frac{16}{5}$。
$\frac{16}{5}$
15. 如图$,A$是反比例函数$y=-\frac{2}{x}$在第二象限内的图象上一点$,B$是反比例函数$y=\frac{4}{x}$在第一
象限内的图象上一点,直线$AB$与$y$轴交于点$C$,且$AC=BC$,连接$OA,OB$,则$\triangle AOB$的面积是
象限内的图象上一点,直线$AB$与$y$轴交于点$C$,且$AC=BC$,连接$OA,OB$,则$\triangle AOB$的面积是
3
.答案：3