1. 一间配电房的示意图如图所示，它是一个轴对称图形.已知$BC = 6\ m$，$\angle ABC=\alpha$，则房顶$A$离地面$EF$的高度为 (
A.$(4 + 3\sin\alpha)\ m$
B.$(4 + 3\tan\alpha)\ m$
C.$\left(4 + \frac{3}{\sin\alpha}\right)\ m$
D.$\left(4 + \frac{3}{\tan\alpha}\right)\ m$
B
)A.$(4 + 3\sin\alpha)\ m$
B.$(4 + 3\tan\alpha)\ m$
C.$\left(4 + \frac{3}{\sin\alpha}\right)\ m$
D.$\left(4 + \frac{3}{\tan\alpha}\right)\ m$
答案：1. B
解析：
过点$A$作$AD \perp BC$于点$D$，交$EF$于点$G$。
因为配电房是轴对称图形，所以$AD$垂直平分$BC$，$BD=\frac{BC}{2}=\frac{6}{2}=3\ m$。
在$ Rt\triangle ABD$中，$\tan\alpha=\frac{AD}{BD}$，则$AD=BD · \tan\alpha=3\tan\alpha\ m$。
房顶$A$离地面$EF$的高度为$AD + EG=3\tan\alpha + 4\ m$。
B
因为配电房是轴对称图形，所以$AD$垂直平分$BC$，$BD=\frac{BC}{2}=\frac{6}{2}=3\ m$。
在$ Rt\triangle ABD$中，$\tan\alpha=\frac{AD}{BD}$，则$AD=BD · \tan\alpha=3\tan\alpha\ m$。
房顶$A$离地面$EF$的高度为$AD + EG=3\tan\alpha + 4\ m$。
B
2. 如图，点$A$到点$C$的距离为$200\ m$，要测量河对岸点$B$到河岸$AD$的距离.小明在点$A$测得点$B$在北偏东$60^{\circ}$的方向上，在点$C$测得点$B$在北偏东$30^{\circ}$的方向上，则点$B$到河岸$AD$的距离为 (
A.$100\ m$
B.$200\ m$
C.$\frac{200\sqrt{3}}{3}\ m$
D.$100\sqrt{3}\ m$
D
)A.$100\ m$
B.$200\ m$
C.$\frac{200\sqrt{3}}{3}\ m$
D.$100\sqrt{3}\ m$
答案：2. D
解析：
过点$B$作$BE \perp AD$于点$E$，设$BE = x\ m$。
在$ Rt\triangle ABE$中，$\angle BAE = 90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}$，$\tan 30^{\circ}=\frac{BE}{AE}$，则$AE=\frac{BE}{\tan 30^{\circ}}=\frac{x}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=\sqrt{3}x$。
在$ Rt\triangle CBE$中，$\angle BCE = 90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}$，$\tan 60^{\circ}=\frac{BE}{CE}$，则$CE=\frac{BE}{\tan 60^{\circ}}=\frac{x}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}x$。
因为$AE - CE = AC$，$AC = 200\ m$，所以$\sqrt{3}x-\frac{\sqrt{3}}{3}x=200$。
解得$\frac{2\sqrt{3}}{3}x = 200$，$x = 100\sqrt{3}$。
点$B$到河岸$AD$的距离为$100\sqrt{3}\ m$。
D
在$ Rt\triangle ABE$中，$\angle BAE = 90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}$，$\tan 30^{\circ}=\frac{BE}{AE}$，则$AE=\frac{BE}{\tan 30^{\circ}}=\frac{x}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=\sqrt{3}x$。
在$ Rt\triangle CBE$中，$\angle BCE = 90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}$，$\tan 60^{\circ}=\frac{BE}{CE}$，则$CE=\frac{BE}{\tan 60^{\circ}}=\frac{x}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}x$。
因为$AE - CE = AC$，$AC = 200\ m$，所以$\sqrt{3}x-\frac{\sqrt{3}}{3}x=200$。
解得$\frac{2\sqrt{3}}{3}x = 200$，$x = 100\sqrt{3}$。
点$B$到河岸$AD$的距离为$100\sqrt{3}\ m$。
D
3. 如图，一条东西向的大道上，$A$，$B$两景点相距$20\ km$，$C$景点位于$A$景点北偏东$60^{\circ}$方向上，位于$B$景点北偏西$30^{\circ}$方向上，则$A$，$C$两景点相距
10$\sqrt{3}$
$km$.答案：3. 10$\sqrt{3}$
解析：
解：由题意得，$\angle CAB=30^{\circ}$，$\angle CBA=60^{\circ}$，$AB=20\ km$，
$\therefore\angle ACB=180^{\circ}-30^{\circ}-60^{\circ}=90^{\circ}$，
在$ Rt\triangle ABC$中，$\cos\angle CAB=\dfrac{AC}{AB}$，
$\therefore AC=AB·\cos30^{\circ}=20×\dfrac{\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3}\ km$。
故答案为：$10\sqrt{3}$。
$\therefore\angle ACB=180^{\circ}-30^{\circ}-60^{\circ}=90^{\circ}$，
在$ Rt\triangle ABC$中，$\cos\angle CAB=\dfrac{AC}{AB}$，
$\therefore AC=AB·\cos30^{\circ}=20×\dfrac{\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3}\ km$。
故答案为：$10\sqrt{3}$。
4. 如图，一渔船在海上$A$处测得灯塔$C$在它的北偏东$60^{\circ}$方向上，渔船向正东方向航行$(\sqrt{3}-1)$海里到达点$B$处，测得灯塔$C$在它的北偏东$45^{\circ}$方向上.若渔船继续向正东方 向航行，则渔船与灯塔$C$的最短距离是
1
海里.答案：4. 1
解析：
解：过点$C$作$CD \perp AB$交$AB$延长线于点$D$，设$CD = x$海里。
在$Rt\triangle BCD$中，$\angle CBD = 45°$，$\tan 45°=\frac{CD}{BD}=1$，则$BD = CD = x$。
在$Rt\triangle ACD$中，$\angle CAD = 30°$，$\tan 30°=\frac{CD}{AD}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，则$AD=\sqrt{3}CD=\sqrt{3}x$。
$\because AD - BD = AB$，$AB = (\sqrt{3}-1)$海里，$\therefore \sqrt{3}x - x = \sqrt{3}-1$，解得$x = 1$。
即渔船与灯塔$C$的最短距离是$1$海里。
$1$
在$Rt\triangle BCD$中，$\angle CBD = 45°$，$\tan 45°=\frac{CD}{BD}=1$，则$BD = CD = x$。
在$Rt\triangle ACD$中，$\angle CAD = 30°$，$\tan 30°=\frac{CD}{AD}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，则$AD=\sqrt{3}CD=\sqrt{3}x$。
$\because AD - BD = AB$，$AB = (\sqrt{3}-1)$海里，$\therefore \sqrt{3}x - x = \sqrt{3}-1$，解得$x = 1$。
即渔船与灯塔$C$的最短距离是$1$海里。
$1$
5. 为了节能减排，越来越多的市民使用共享电动车，如图所示为共享电动车的示意图，$AB$与地面平行，已知车轮的半径为$15\ cm$，$BE = 40\ cm$，$\angle ABE = 60^{\circ}$.若坐垫厚度$EM = 12\ cm$，求坐垫$M$处离地面的高度(结果精确到$1\ cm$，参考数据：$\sqrt{3}\approx1.732$).
答案：
5. 如图，过点E作EQ⊥AB于点Q。在Rt△BEQ中，
∵BE=40cm，∠ABE=60°，
∴EQ=BE·sin60°=40×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=20$\sqrt{3}$(cm)。
∵坐垫厚度EM=12cm，车轮的半径为15cm，
∴坐垫M处离地面的高度为12+20$\sqrt{3}$+15≈62(cm)。
∴坐垫M处离地面的高度约为62cm
5. 如图，过点E作EQ⊥AB于点Q。在Rt△BEQ中，
∵BE=40cm，∠ABE=60°，
∴EQ=BE·sin60°=40×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=20$\sqrt{3}$(cm)。
∵坐垫厚度EM=12cm，车轮的半径为15cm，
∴坐垫M处离地面的高度为12+20$\sqrt{3}$+15≈62(cm)。
∴坐垫M处离地面的高度约为62cm