12. 观察下列等式，寻找规律：
①$4^2 - 2^2 = 4×3$；
②$6^2 - 4^2 = 4×5$；
③$8^2 - 6^2 = 4×7$；
④；
……
(1)根据规律将横线上的等式补充完整.
(2)两个连续的正偶数的平方差能否被 $4$ 整除？能否被 $8$ 整除？
(3)【拓展延伸】两个连续的正奇数的平方差是 $8$ 的整数倍，判断这是真命题还是假命题，并说明理由.
①$4^2 - 2^2 = 4×3$；
②$6^2 - 4^2 = 4×5$；
③$8^2 - 6^2 = 4×7$；
④；
……
(1)根据规律将横线上的等式补充完整.
(2)两个连续的正偶数的平方差能否被 $4$ 整除？能否被 $8$ 整除？
(3)【拓展延伸】两个连续的正奇数的平方差是 $8$ 的整数倍，判断这是真命题还是假命题，并说明理由.
答案：(1)
根据规律，等式④应为$10^{2}-8^{2}=4×9$。
(2)
设两个连续的正偶数为$2n$和$2n + 2$（$n$为正整数）。
$(2n + 2)^{2}-(2n)^{2}=(2n + 2+2n)(2n + 2 - 2n)= (4n + 2)×2 = 4(2n + 1)$。
因为$n$是正整数，所以两个连续的正偶数的平方差能被$4$整除，不能被$8$整除。
(3)
设两个连续的正奇数为$2n+1$，$2n + 3$（$n$为自然数）。
$(2n + 3)^{2}-(2n+1)^{2}=(2n + 3+2n + 1)(2n + 3-(2n+1))=(4n + 4)×2=8(n + 1)$。
因为$n$为自然数，所以两个连续的正奇数的平方差是$8$的整数倍，这是真命题。
根据规律，等式④应为$10^{2}-8^{2}=4×9$。
(2)
设两个连续的正偶数为$2n$和$2n + 2$（$n$为正整数）。
$(2n + 2)^{2}-(2n)^{2}=(2n + 2+2n)(2n + 2 - 2n)= (4n + 2)×2 = 4(2n + 1)$。
因为$n$是正整数，所以两个连续的正偶数的平方差能被$4$整除，不能被$8$整除。
(3)
设两个连续的正奇数为$2n+1$，$2n + 3$（$n$为自然数）。
$(2n + 3)^{2}-(2n+1)^{2}=(2n + 3+2n + 1)(2n + 3-(2n+1))=(4n + 4)×2=8(n + 1)$。
因为$n$为自然数，所以两个连续的正奇数的平方差是$8$的整数倍，这是真命题。
13. 下面介绍一种分解因式的新方法——“拆项补项法”：把多项式的某一项拆开或填补上和为 $0$ 的两项（或几项），使原式适合用已学过的方法进行因式分解.
例如，用“拆项补项法”分解因式：$x^3 - 10x + 9$.
解：添加两项 $-x^2$ 和 $x^2$.
原式 $= x^3 - x^2 + x^2 - 10x + 9$
$= x^3 - x^2 + x^2 - x - 9x + 9$
$= x^2(x - 1) + x(x - 1) - 9(x - 1)$
$= (x - 1)(x^2 + x - 9)$.
请你结合自己的思考和理解完成下列各题.
（1）分解因式：$x^3 + 9x - 10$.
（2）分解因式：$x^3 - 2x^2 - 5x + 6$.
例如，用“拆项补项法”分解因式：$x^3 - 10x + 9$.
解：添加两项 $-x^2$ 和 $x^2$.
原式 $= x^3 - x^2 + x^2 - 10x + 9$
$= x^3 - x^2 + x^2 - x - 9x + 9$
$= x^2(x - 1) + x(x - 1) - 9(x - 1)$
$= (x - 1)(x^2 + x - 9)$.
请你结合自己的思考和理解完成下列各题.
（1）分解因式：$x^3 + 9x - 10$.
（2）分解因式：$x^3 - 2x^2 - 5x + 6$.
答案：（1）
添加两项$-x^{2}$和$x^{2}$，
原式$=x^{3}-x^{2}+x^{2}+9x - 10$
$=x^{3}-x^{2}+x^{2}-x + 10x-10$
$=x^{2}(x - 1)+x(x - 1)+10(x - 1)$
$=(x - 1)(x^{2}+x + 10)$
（2）
原式$x^{3}-2x^{2}-5x + 6$
$=x^{3}-2x^{2}+x-6x + 6$
$=x(x^{2}-2x + 1)-6(x - 1)$
$=x(x - 1)^{2}-6(x - 1)$
$=(x - 1)[x(x - 1)-6]$
$=(x - 1)(x^{2}-x - 6)$
$=(x - 1)(x - 3)(x + 2)$
添加两项$-x^{2}$和$x^{2}$，
原式$=x^{3}-x^{2}+x^{2}+9x - 10$
$=x^{3}-x^{2}+x^{2}-x + 10x-10$
$=x^{2}(x - 1)+x(x - 1)+10(x - 1)$
$=(x - 1)(x^{2}+x + 10)$
（2）
原式$x^{3}-2x^{2}-5x + 6$
$=x^{3}-2x^{2}+x-6x + 6$
$=x(x^{2}-2x + 1)-6(x - 1)$
$=x(x - 1)^{2}-6(x - 1)$
$=(x - 1)[x(x - 1)-6]$
$=(x - 1)(x^{2}-x - 6)$
$=(x - 1)(x - 3)(x + 2)$