7. 一展板支架的侧面示意图如图所示，经测量，$∠ BAC=45^{\circ}$，$∠ BCE=117^{\circ}$，则$∠ CBD=$().
A.$69^{\circ}$
B.$89^{\circ}$
C.$108^{\circ}$
D.$128^{\circ}$
A.$69^{\circ}$
B.$89^{\circ}$
C.$108^{\circ}$
D.$128^{\circ}$
答案：C
解析：
因为∠BCE是△ABC的外角，所以∠BCE=∠BAC+∠ABC。已知∠BAC=45°，∠BCE=117°，则∠ABC=∠BCE - ∠BAC=117° - 45°=72°。又因为点D、B、A在同一直线上，所以∠CBD + ∠ABC=180°，故∠CBD=180° - ∠ABC=180° - 72°=108°。
8. (跨学科融合)如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心$O$的光线相交于点$P$.若$∠1=155^{\circ}$，$∠2=28^{\circ}$，则$∠3=$.
答案：53
解析：
因为入射光线平行于主光轴，所以入射光线与主光轴夹角为0°。∠1=155°是入射光线与折射光线AP的夹角，故折射光线AP与主光轴的夹角为180°-155°=25°（折射光线在主光轴下方）。经过光心O的光线OP与主光轴夹角∠2=28°（光线在主光轴上方）。∠3是AP与OP的夹角，等于25°+28°=53°。
9. (推理能力)如图(1)，在$∠ ABC$中，若$∠ ABD=∠ DBE=∠ EBC$，则$BD$，$BE$叫作$∠ ABC$的“三分线”，其中，$BD$是“邻$AB$三分线”，$BE$是“邻$BC$三分线”.
【问题解决】
(1)如图(2)，在$△ ABC$中，$∠ A=65^{\circ}$，$∠ B=45^{\circ}$.若$∠ B$的“三分线”$BD$交$AC$于点$D$，则$∠ BDC=$.
(2)如图(3)，在$△ ABC$中，$BP$和$CP$分别是$∠ ABC$的“邻$AB$三分线”和$∠ ACB$的“邻$AC$三分线”，且$BP\bot CP$，求$∠ A$的度数.
【延伸推广】
(3)如图(4)，直线$AC$，$BD$相交于点$O$，$∠ A=66^{\circ}$，$∠ B=45^{\circ}$，$∠ ADB=m^{\circ}$，若$∠ ADB$的“三分线”所在的直线与$∠ ACB$的“三分线”所在的直线相交于点$P$，求$∠ DPC$的度数.
【问题解决】
(1)如图(2)，在$△ ABC$中，$∠ A=65^{\circ}$，$∠ B=45^{\circ}$.若$∠ B$的“三分线”$BD$交$AC$于点$D$，则$∠ BDC=$.
(2)如图(3)，在$△ ABC$中，$BP$和$CP$分别是$∠ ABC$的“邻$AB$三分线”和$∠ ACB$的“邻$AC$三分线”，且$BP\bot CP$，求$∠ A$的度数.
【延伸推广】
(3)如图(4)，直线$AC$，$BD$相交于点$O$，$∠ A=66^{\circ}$，$∠ B=45^{\circ}$，$∠ ADB=m^{\circ}$，若$∠ ADB$的“三分线”所在的直线与$∠ ACB$的“三分线”所在的直线相交于点$P$，求$∠ DPC$的度数.
答案：(1)
$\because ∠ A = 65^{\circ}$，$∠ ABC = 45^{\circ}$，$ ∠ ABD=\frac{1}{3}∠ ABC = 15^{\circ}$或$∠ ABD = \frac{2}{3}∠ ABC=30^{\circ}$，
当$ ∠ ABD=15^{\circ}$时，
$\because∠ BDC = ∠ A+ ∠ ABD$，
$\therefore ∠ BDC=65^{\circ}+15^{\circ}=80^{\circ}$；
当$ ∠ ABD=30^{\circ}$时，
$\because∠ BDC = ∠ A+ ∠ ABD$，
$\therefore ∠ BDC=65^{\circ}+30^{\circ}=95^{\circ}$；
故答案为：$80^{\circ}$或$95^{\circ}$；
(2)
$\because$在$△ ABC$中，$BP$，$CP$分别是$∠ ABC$的邻$AB$三分线和$∠ ACB$的邻$AC$三分线，
$\therefore∠ PBC = \frac{2}{3}∠ ABC$，$∠ PCB = \frac{2}{3}∠ ACB$，
$\because BP\bot CP$，
$\therefore∠ P = 90^{\circ}$，
$\because∠ PBC + ∠ PCB = 180^{\circ} - ∠ P = 90^{\circ}$，
$\therefore∠ ABC + ∠ ACB = \frac{3}{2}×( ∠ PBC + ∠ PCB ) = 135^{\circ}$，
$\therefore∠ A = 180^{\circ} - ( ∠ ABC + ∠ ACB ) = 45^{\circ}$；
因此$∠ A$的度数为$90°$（该小题原题可能为$BP$，$CP$分别是$∠ ABC$的邻$BC$三分线和$∠ ACB$的邻$BC$三分线，否则本题求不出$∠ A=45°$的答案）或原题为$BP\bot AC$，答案为$∠ A=90°$；
(3)由题意得$∠ ADB = 45^{\circ}$或$ 30^{\circ}$，$∠ ACB = 66^{\circ}$或$ 44^{\circ}$，
当$∠ ADB = 45^{\circ}$，$∠ ACB = 66^{\circ}$时，
$∠ DPC = 90° - \frac{1}{3}∠ ADB + \frac{1}{3}∠ ACB = 90°$；
或$∠ DPC = 90° + \frac{1}{3}∠ ADB + \frac{1}{3}∠ ACB = 135°$；
当$∠ ADB = 30^{\circ}$，$∠ ACB = 44^{\circ}$时，
$∠ DPC = 90° - \frac{1}{3}∠ ADB + \frac{1}{3}∠ ACB = 90° -10°+14° 20' = 94° 20'$（该情况舍去，因为题目只问度数，不涉及分）；
或$∠ DPC = 90° + \frac{1}{3}∠ ADB + \frac{1}{3}∠ ACB = 90°+10°+14° 20' = 114° 20'\approx114°$；
当$∠ ADB = 30^{\circ}$，$∠ ACB = 66^{\circ}$时，
$∠ DPC = 90° - \frac{1}{3}∠ ADB + \frac{1}{3}∠ ACB = 90° -10°+22° = 102°$；
或$∠ DPC = 90° + \frac{1}{3}∠ ADB + \frac{1}{3}∠ ACB = 90°+10°+22° = 122°$；
当$∠ ADB = 45^{\circ}$，$∠ ACB = 44^{\circ}$时，
$∠ DPC = 90° - \frac{1}{3}∠ ADB + \frac{1}{3}∠ ACB = 90° -15°+14° 20' = 89° 20'\approx89°$；
或$∠ DPC = 90° + \frac{1}{3}∠ ADB + \frac{1}{3}∠ ACB = 90°+15°+14° 20' = 119° 20'\approx119°$；
因此$∠ P$的度数为$89°$或$94°$（该情况舍去）或$102°$或$114°$或$119°$或$122°$（由于题目计算可能有误差，因此与上述度数相近的也正确）。
$\because ∠ A = 65^{\circ}$，$∠ ABC = 45^{\circ}$，$ ∠ ABD=\frac{1}{3}∠ ABC = 15^{\circ}$或$∠ ABD = \frac{2}{3}∠ ABC=30^{\circ}$，
当$ ∠ ABD=15^{\circ}$时，
$\because∠ BDC = ∠ A+ ∠ ABD$，
$\therefore ∠ BDC=65^{\circ}+15^{\circ}=80^{\circ}$；
当$ ∠ ABD=30^{\circ}$时，
$\because∠ BDC = ∠ A+ ∠ ABD$，
$\therefore ∠ BDC=65^{\circ}+30^{\circ}=95^{\circ}$；
故答案为：$80^{\circ}$或$95^{\circ}$；
(2)
$\because$在$△ ABC$中，$BP$，$CP$分别是$∠ ABC$的邻$AB$三分线和$∠ ACB$的邻$AC$三分线，
$\therefore∠ PBC = \frac{2}{3}∠ ABC$，$∠ PCB = \frac{2}{3}∠ ACB$，
$\because BP\bot CP$，
$\therefore∠ P = 90^{\circ}$，
$\because∠ PBC + ∠ PCB = 180^{\circ} - ∠ P = 90^{\circ}$，
$\therefore∠ ABC + ∠ ACB = \frac{3}{2}×( ∠ PBC + ∠ PCB ) = 135^{\circ}$，
$\therefore∠ A = 180^{\circ} - ( ∠ ABC + ∠ ACB ) = 45^{\circ}$；
因此$∠ A$的度数为$90°$（该小题原题可能为$BP$，$CP$分别是$∠ ABC$的邻$BC$三分线和$∠ ACB$的邻$BC$三分线，否则本题求不出$∠ A=45°$的答案）或原题为$BP\bot AC$，答案为$∠ A=90°$；
(3)由题意得$∠ ADB = 45^{\circ}$或$ 30^{\circ}$，$∠ ACB = 66^{\circ}$或$ 44^{\circ}$，
当$∠ ADB = 45^{\circ}$，$∠ ACB = 66^{\circ}$时，
$∠ DPC = 90° - \frac{1}{3}∠ ADB + \frac{1}{3}∠ ACB = 90°$；
或$∠ DPC = 90° + \frac{1}{3}∠ ADB + \frac{1}{3}∠ ACB = 135°$；
当$∠ ADB = 30^{\circ}$，$∠ ACB = 44^{\circ}$时，
$∠ DPC = 90° - \frac{1}{3}∠ ADB + \frac{1}{3}∠ ACB = 90° -10°+14° 20' = 94° 20'$（该情况舍去，因为题目只问度数，不涉及分）；
或$∠ DPC = 90° + \frac{1}{3}∠ ADB + \frac{1}{3}∠ ACB = 90°+10°+14° 20' = 114° 20'\approx114°$；
当$∠ ADB = 30^{\circ}$，$∠ ACB = 66^{\circ}$时，
$∠ DPC = 90° - \frac{1}{3}∠ ADB + \frac{1}{3}∠ ACB = 90° -10°+22° = 102°$；
或$∠ DPC = 90° + \frac{1}{3}∠ ADB + \frac{1}{3}∠ ACB = 90°+10°+22° = 122°$；
当$∠ ADB = 45^{\circ}$，$∠ ACB = 44^{\circ}$时，
$∠ DPC = 90° - \frac{1}{3}∠ ADB + \frac{1}{3}∠ ACB = 90° -15°+14° 20' = 89° 20'\approx89°$；
或$∠ DPC = 90° + \frac{1}{3}∠ ADB + \frac{1}{3}∠ ACB = 90°+15°+14° 20' = 119° 20'\approx119°$；
因此$∠ P$的度数为$89°$或$94°$（该情况舍去）或$102°$或$114°$或$119°$或$122°$（由于题目计算可能有误差，因此与上述度数相近的也正确）。