7. 如图，在$△ ABC$中，$∠ ABC = ∠ ACB$，$∠ ABC$的平分线和外角$∠ ACD$的平分线相交于点$P$. 若$∠ BPC = 25^{\circ}$，则$∠ ACB =$().
A.$70^{\circ}$
B.$65^{\circ}$
C.$60^{\circ}$
D.$25^{\circ}$
A.$70^{\circ}$
B.$65^{\circ}$
C.$60^{\circ}$
D.$25^{\circ}$
答案：B
解析：
设∠ABC=∠ACB=2x，∵BP平分∠ABC，∴∠PBC=x。∠ACD为△ABC外角，∴∠ACD=∠BAC+∠ABC=180°-2x。∵CP平分∠ACD，∴∠PCD=∠ACD/2=90°-x。∵∠PCD是△BPC外角，∴∠PCD=∠PBC+∠BPC，即90°-x=x+25°，解得2x=65°，即∠ACB=65°。
8. 如图，在$△ ABC$中，$BP$是$∠ ABC$的平分线，$CP$是外角$∠ ACM$的平分线. $∠ ABP = 22^{\circ}$，$∠ ACP = 52^{\circ}$，则$∠ P =$.
答案：30
解析：
∵BP是∠ABC的平分线，∠ABP=22°，∴∠PBC=∠ABP=22°，∠ABC=2∠ABP=44°。
∵CP是外角∠ACM的平分线，∠ACP=52°，∴∠PCM=∠ACP=52°，∠ACM=2∠ACP=104°。
∵∠ACM是△ABC的外角，∴∠ACM=∠A+∠ABC，即104°=∠A+44°，解得∠A=60°（此步可省略，直接用△BPC外角性质）。
∵∠PCM是△BPC的外角，∴∠PCM=∠P+∠PBC，即52°=∠P+22°，解得∠P=30°。
∵CP是外角∠ACM的平分线，∠ACP=52°，∴∠PCM=∠ACP=52°，∠ACM=2∠ACP=104°。
∵∠ACM是△ABC的外角，∴∠ACM=∠A+∠ABC，即104°=∠A+44°，解得∠A=60°（此步可省略，直接用△BPC外角性质）。
∵∠PCM是△BPC的外角，∴∠PCM=∠P+∠PBC，即52°=∠P+22°，解得∠P=30°。
9. 如图(1)，在$△ ABC$中，$BD$是$∠ ABC$的平分线，$CD$是外角$∠ ACE$的平分线，且$BD$与$CD$相交于点$D$.
(1)若$∠ A = 60^{\circ}$，则$∠ D =$；
(2)若$∠ A = α$，请用含$α$的代数式表示$∠ D$的度数，并写出推导过程；
(3)在(2)的条件下，如图(2)，若$BD_1$，$BD_2$，$·s$，$BD_n$分别是$∠ ABC$，$∠ D_1BC$，$·s$，$∠ D_{n - 1}BC$的平分线，$CD_1$，$CD_2$，$·s$，$CD_n$分别是外角$∠ ACE$，$∠ D_1CE$，$·s$，$∠ D_{n - 1}CE$的平分线，求$∠ D_n$的度数(用含$α$的代数式表示).
(1)若$∠ A = 60^{\circ}$，则$∠ D =$；
(2)若$∠ A = α$，请用含$α$的代数式表示$∠ D$的度数，并写出推导过程；
(3)在(2)的条件下，如图(2)，若$BD_1$，$BD_2$，$·s$，$BD_n$分别是$∠ ABC$，$∠ D_1BC$，$·s$，$∠ D_{n - 1}BC$的平分线，$CD_1$，$CD_2$，$·s$，$CD_n$分别是外角$∠ ACE$，$∠ D_1CE$，$·s$，$∠ D_{n - 1}CE$的平分线，求$∠ D_n$的度数(用含$α$的代数式表示).
答案：(1) 30°
(2) ∠D = $\frac{α}{2}$。推导过程：设∠ABC = β，∵∠ACE是△ABC的外角，∴∠ACE = ∠A + ∠ABC = α + β。∵CD平分∠ACE，∴∠DCE = $\frac{1}{2}$∠ACE = $\frac{α + β}{2}$。∵BD平分∠ABC，∴∠DBC = $\frac{1}{2}$∠ABC = $\frac{β}{2}$。∵∠DCE是△DBC的外角，∴∠DCE = ∠DBC + ∠D，∴∠D = ∠DCE - ∠DBC = $\frac{α + β}{2} - \frac{β}{2} = \frac{α}{2}$。
(3) ∠Dₙ = $\frac{α}{2^n}$
(2) ∠D = $\frac{α}{2}$。推导过程：设∠ABC = β，∵∠ACE是△ABC的外角，∴∠ACE = ∠A + ∠ABC = α + β。∵CD平分∠ACE，∴∠DCE = $\frac{1}{2}$∠ACE = $\frac{α + β}{2}$。∵BD平分∠ABC，∴∠DBC = $\frac{1}{2}$∠ABC = $\frac{β}{2}$。∵∠DCE是△DBC的外角，∴∠DCE = ∠DBC + ∠D，∴∠D = ∠DCE - ∠DBC = $\frac{α + β}{2} - \frac{β}{2} = \frac{α}{2}$。
(3) ∠Dₙ = $\frac{α}{2^n}$
10. 如图，在$△ ABC$中，$∠ B = 50^{\circ}$，$△ ABC$的外角$∠ DAC$和$∠ ACF$的平分线交于点$E$，则$∠ AEC =$.
答案：65
解析：
∵∠DAC和∠ACF是△ABC的外角，∴∠DAC=∠B+∠ACB，∠ACF=∠B+∠BAC。
∵AE平分∠DAC，CE平分∠ACF，∴∠EAC=1/2∠DAC=1/2(∠B+∠ACB)，∠ECA=1/2∠ACF=1/2(∠B+∠BAC)。
∴∠EAC+∠ECA=1/2(∠B+∠ACB+∠B+∠BAC)=1/2(2∠B+∠BAC+∠ACB)。
∵在△ABC中，∠BAC+∠B+∠ACB=180°，∴∠BAC+∠ACB=180°-∠B。
∴∠EAC+∠ECA=1/2(2∠B+180°-∠B)=1/2(∠B+180°)=90°+1/2∠B。
∵∠B=50°，∴∠EAC+∠ECA=90°+25°=115°。
在△AEC中，∠AEC=180°-(∠EAC+∠ECA)=180°-115°=65°。
∵AE平分∠DAC，CE平分∠ACF，∴∠EAC=1/2∠DAC=1/2(∠B+∠ACB)，∠ECA=1/2∠ACF=1/2(∠B+∠BAC)。
∴∠EAC+∠ECA=1/2(∠B+∠ACB+∠B+∠BAC)=1/2(2∠B+∠BAC+∠ACB)。
∵在△ABC中，∠BAC+∠B+∠ACB=180°，∴∠BAC+∠ACB=180°-∠B。
∴∠EAC+∠ECA=1/2(2∠B+180°-∠B)=1/2(∠B+180°)=90°+1/2∠B。
∵∠B=50°，∴∠EAC+∠ECA=90°+25°=115°。
在△AEC中，∠AEC=180°-(∠EAC+∠ECA)=180°-115°=65°。
11. 如图，在$△ ABC$中，$BD$，$CD$分别平分$∠ ABC$，$∠ ACB$，$BG$，$CG$分别平分外角$∠ EBC$，$∠ FCB$. 若$∠ G = 50^{\circ}$，求$∠ D$的度数.
答案：在△ABC中，设∠ABC=2x，∠ACB=2y。
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠DBC=x，∠DCB=y。
∵BG平分外角∠EBC，∠EBC=180°-∠ABC=180°-2x，
∴∠GBC=(1/2)∠EBC=90°-x。
同理，CG平分外角∠FCB，∠FCB=180°-∠ACB=180°-2y，
∴∠GCB=(1/2)∠FCB=90°-y。
在△GBC中，∠G+∠GBC+∠GCB=180°，∠G=50°，
∴50°+(90°-x)+(90°-y)=180°，
化简得230°-(x+y)=180°，
∴x+y=50°。
在△DBC中，∠D+∠DBC+∠DCB=180°，
∴∠D=180°-(x+y)=180°-50°=130°。
∠D的度数为130°。
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠DBC=x，∠DCB=y。
∵BG平分外角∠EBC，∠EBC=180°-∠ABC=180°-2x，
∴∠GBC=(1/2)∠EBC=90°-x。
同理，CG平分外角∠FCB，∠FCB=180°-∠ACB=180°-2y，
∴∠GCB=(1/2)∠FCB=90°-y。
在△GBC中，∠G+∠GBC+∠GCB=180°，∠G=50°，
∴50°+(90°-x)+(90°-y)=180°，
化简得230°-(x+y)=180°，
∴x+y=50°。
在△DBC中，∠D+∠DBC+∠DCB=180°，
∴∠D=180°-(x+y)=180°-50°=130°。
∠D的度数为130°。