7. 如图，有一块直角三角形纸板，$∠ B=90°$，$AB=7$，$BC=24$，$AC=25$，小亮通过作三角形两个内角的平分线找到一点 $Q$，则点 $Q$ 到直角三角形纸板三边的距离之和是。
答案：9
解析：
因为点Q是三角形两个内角平分线的交点，所以Q为△ABC的内心，其到三边距离相等，设距离为r。
直角△ABC中，∠B=90°，AB=7，BC=24，AC=25，面积S=1/2×AB×BC=1/2×7×24=84。
三角形周长为7+24+25=56，半周长s=28。
由面积公式S=r×s，得84=r×28，解得r=3。
点Q到三边距离之和为3r=3×3=9。
直角△ABC中，∠B=90°，AB=7，BC=24，AC=25，面积S=1/2×AB×BC=1/2×7×24=84。
三角形周长为7+24+25=56，半周长s=28。
由面积公式S=r×s，得84=r×28，解得r=3。
点Q到三边距离之和为3r=3×3=9。
8. （数学文化）我们学习过利用尺规作图平分任意一个角，而“利用尺规作图三等分任意一个角”曾是数学史上一大难题，被数学家证明是不可能完成的。人们根据实际需要，发明了一种简易操作工具——三分角器，如图（1）所示，其中 $AB$ 与半圆 $O$ 的直径 $BC$ 在同一条直线上，且 $AB$ 的长度与半圆的半径相等；$DB$ 与 $AC$ 垂直，垂足为 $B$，$DB$ 足够长。三分角器的使用方法如图（2）所示，若要把 $∠ MEN$ 三等分，只需适当放置三分角器，使 $DB$ 经过 $∠ MEN$ 的顶点 $E$，点 $A$ 落在边 $EM$ 上，半圆 $O$ 与另一边 $EN$ 只有一个交点 $F$，且 $OF ⊥ EN$，则 $EB$，$EO$ 就把 $∠ MEN$ 三等分了。请你依照上面的描述，求证 $∠ 1 = ∠ 2 = ∠ 3$。
答案：证明：
∵AB与半圆O的直径BC在同一直线上，且AB=半圆半径，
∴AB=OB=OF（设半径为r）。
∵DB⊥AC于B，E在DB上，
∴EB⊥AC，即∠ABE=∠OBE=90°。
在Rt△ABE和Rt△OBE中，
tan∠1=AB/EB，tan∠2=OB/EB，
∵AB=OB，∴tan∠1=tan∠2，
又∠1、∠2为锐角，∴∠1=∠2。
∵半圆O与EN只有一个交点F，OF⊥EN，
∴OF为半径，EN是切线，OF=r。
在Rt△OBE和Rt△OFE中，
sin∠2=OB/EO，sin∠3=OF/EO，
∵OB=OF=r，∴sin∠2=sin∠3，
又∠2、∠3为锐角，∴∠2=∠3。
综上，∠1=∠2=∠3。
∵AB与半圆O的直径BC在同一直线上，且AB=半圆半径，
∴AB=OB=OF（设半径为r）。
∵DB⊥AC于B，E在DB上，
∴EB⊥AC，即∠ABE=∠OBE=90°。
在Rt△ABE和Rt△OBE中，
tan∠1=AB/EB，tan∠2=OB/EB，
∵AB=OB，∴tan∠1=tan∠2，
又∠1、∠2为锐角，∴∠1=∠2。
∵半圆O与EN只有一个交点F，OF⊥EN，
∴OF为半径，EN是切线，OF=r。
在Rt△OBE和Rt△OFE中，
sin∠2=OB/EO，sin∠3=OF/EO，
∵OB=OF=r，∴sin∠2=sin∠3，
又∠2、∠3为锐角，∴∠2=∠3。
综上，∠1=∠2=∠3。
9. （数学文化）【阅读材料】如果一个三角形的三边长分别为 $a$，$b$，$c$，记 $p = \frac{a+b+c}{2}$，那么这个三角形的面积为 $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$。这是利用三角形的三边长直接求三角形面积的公式，称为“海伦—秦九韶公式”。
如图（1），在 $△ ABC$ 中，$AB=7$，$BC=5$，$AC=6$。
(1) 利用上面的公式求 $△ ABC$ 的面积；
(2) 如图（2），$△ ABC$ 的两条角平分线 $AD$，$BE$ 相交于点 $O$，求点 $O$ 到边 $AB$ 的距离。
如图（1），在 $△ ABC$ 中，$AB=7$，$BC=5$，$AC=6$。
(1) 利用上面的公式求 $△ ABC$ 的面积；
(2) 如图（2），$△ ABC$ 的两条角平分线 $AD$，$BE$ 相交于点 $O$，求点 $O$ 到边 $AB$ 的距离。
答案：(1)
由已知$a = 5$，$b = 6$，$c = 7$，则$p=\frac{5 + 6+7}{2}=9$。
$S=\sqrt{9×(9 - 5)×(9 - 6)×(9 - 7)}$
$=\sqrt{9×4×3×2}$
$=\sqrt{216}$
$=6\sqrt{6}$
(2)
设点$O$到边$AB$的距离为$h$。
因为$AD$，$BE$是角平分线，点$O$到各边距离相等。
$S_{△ ABC}=S_{△ OAB}+S_{△ OBC}+S_{△ OAC}$
$6\sqrt{6}=\frac{1}{2}×7h+\frac{1}{2}×5h+\frac{1}{2}×6h$
$6\sqrt{6}=\frac{1}{2}(7h + 5h+6h)$
$6\sqrt{6}=\frac{1}{2}×18h$
$6\sqrt{6}=9h$
$h=\frac{2\sqrt{6}}{3}$
综上，答案为：(1)$6\sqrt{6}$；(2)$\frac{2\sqrt{6}}{3}$。
由已知$a = 5$，$b = 6$，$c = 7$，则$p=\frac{5 + 6+7}{2}=9$。
$S=\sqrt{9×(9 - 5)×(9 - 6)×(9 - 7)}$
$=\sqrt{9×4×3×2}$
$=\sqrt{216}$
$=6\sqrt{6}$
(2)
设点$O$到边$AB$的距离为$h$。
因为$AD$，$BE$是角平分线，点$O$到各边距离相等。
$S_{△ ABC}=S_{△ OAB}+S_{△ OBC}+S_{△ OAC}$
$6\sqrt{6}=\frac{1}{2}×7h+\frac{1}{2}×5h+\frac{1}{2}×6h$
$6\sqrt{6}=\frac{1}{2}(7h + 5h+6h)$
$6\sqrt{6}=\frac{1}{2}×18h$
$6\sqrt{6}=9h$
$h=\frac{2\sqrt{6}}{3}$
综上，答案为：(1)$6\sqrt{6}$；(2)$\frac{2\sqrt{6}}{3}$。