8. 如图，$∠ ACD$是$△ ABC$的外角，$∠ BAC=80°$，$∠ ABC$和$∠ ACD$的平分线相交于点$E$，连接$AE$，则$∠ CAE=$.
答案：50°
解析：
过点E作AB、BC、AC的垂线，垂足分别为F、G、H。
∵BE平分∠ABC，∴EF=EG（角平分线性质）。
∵CE平分∠ACD（外角），∴EG=EH（角平分线性质）。
∴EF=EH，故AE平分∠BAC的外角（到角两边距离相等的点在角平分线上）。
∠BAC=80°，其外角为180°-80°=100°，
∴∠CAE=1/2×100°=50°。
∵BE平分∠ABC，∴EF=EG（角平分线性质）。
∵CE平分∠ACD（外角），∴EG=EH（角平分线性质）。
∴EF=EH，故AE平分∠BAC的外角（到角两边距离相等的点在角平分线上）。
∠BAC=80°，其外角为180°-80°=100°，
∴∠CAE=1/2×100°=50°。
9. 如图，已知四边形$ABCD$，请用无刻度的直尺和圆规作$∠ B$的平分线$BE$，交$AD$于点$E$（不写作法，保留作图痕迹）.
答案：①以B为圆心，任意长为半径画弧，分别交BA、BC于两点；
②分别以这两点为圆心，大于这两点间距离的一半为半径画弧，两弧交于四边形内一点F；
③作射线BF交AD于E，则BE就是所求作的∠B的平分线。
作图痕迹（用文字描述）：以B为圆心作弧与BA、BC相交，再分别以两交点为圆心作弧交于四边形内一点，连接B与该交点并延长交AD于E。
②分别以这两点为圆心，大于这两点间距离的一半为半径画弧，两弧交于四边形内一点F；
③作射线BF交AD于E，则BE就是所求作的∠B的平分线。
作图痕迹（用文字描述）：以B为圆心作弧与BA、BC相交，再分别以两交点为圆心作弧交于四边形内一点，连接B与该交点并延长交AD于E。
10. 如图，已知$AD=AB$，$AC=AE$，$∠ DAB=∠ CAE$.
（1） 求证$△ BAE≌△ DAC$；
（2） 若$∠ CAD=126°$，$∠ D=20°$，求$∠ E$的度数.
（1） 求证$△ BAE≌△ DAC$；
（2） 若$∠ CAD=126°$，$∠ D=20°$，求$∠ E$的度数.
答案：(1)
证明：
∵∠DAB = ∠CAE，
∴∠DAB + ∠BAC = ∠CAE + ∠BAC，
即 ∠DAC = ∠BAE，
在△BAE和△DAC中，
AD = AB，
∠DAC = ∠BAE，
AC = AE，
∴△BAE ≌ △DAC (SAS)。
(2)
∵ ∠D = 20°，∠CAD = 126°，
∴在△DAC中，∠ACD = 180° - ∠D - ∠CAD = 180° - 20° - 126° = 34°，
∵△BAE ≌ △DAC，
∴∠E = ∠ACD，
∴∠E = 34°。
证明：
∵∠DAB = ∠CAE，
∴∠DAB + ∠BAC = ∠CAE + ∠BAC，
即 ∠DAC = ∠BAE，
在△BAE和△DAC中，
AD = AB，
∠DAC = ∠BAE，
AC = AE，
∴△BAE ≌ △DAC (SAS)。
(2)
∵ ∠D = 20°，∠CAD = 126°，
∴在△DAC中，∠ACD = 180° - ∠D - ∠CAD = 180° - 20° - 126° = 34°，
∵△BAE ≌ △DAC，
∴∠E = ∠ACD，
∴∠E = 34°。
11. 如图，$△ ABC$的两条高$AD$与$BE$相交于点$O$，$AD=BD$，$AC=8$.
（1） 求$BO$的长.
（2） 设$F$是射线$BC$上一点，且$CF=AO$，动点$P$从点$O$出发，沿线段$OB$以每秒1个单位长度的速度向点$B$运动，同时动点$Q$从点$A$出发，沿射线$AC$以每秒4个单位长度的速度运动，当点$P$到达点$B$时，$P$，$Q$两点同时停止运动. 设运动时间为$t$ s，当$△ AOP$与$△ FCQ$全等时，求$t$的值.
（1） 求$BO$的长.
（2） 设$F$是射线$BC$上一点，且$CF=AO$，动点$P$从点$O$出发，沿线段$OB$以每秒1个单位长度的速度向点$B$运动，同时动点$Q$从点$A$出发，沿射线$AC$以每秒4个单位长度的速度运动，当点$P$到达点$B$时，$P$，$Q$两点同时停止运动. 设运动时间为$t$ s，当$△ AOP$与$△ FCQ$全等时，求$t$的值.
答案：（1）8；（2）$\frac{8}{5}$或$\frac{8}{3}$．
解析：
（1）∵AD、BE是△ABC的高，∴∠ADB=∠ADC=∠BEC=90°．
∵∠OBD+∠C=90°，∠CAD+∠C=90°，∴∠OBD=∠CAD．
在△OBD和△CAD中，
$\{\begin{array}{l} ∠OBD=∠CAD \\ BD=AD \\ ∠ODB=∠ADC \end{array} $，
∴△OBD≌△CAD（ASA），∴BO=AC=8．
（2）由题意得：OP=t，AQ=4t，0≤t≤8．
∵CF=AO，∠AOP=∠ACB=∠FCQ（F在射线BC上，且F在C左侧时），∠OPA=90°（△AOP中，∠OAP+∠AOP=90°，故∠OPA=90°），
∴△AOP与△FCQ均为直角三角形，需满足OP=CQ．
①当Q在AC上（t≤2）时，CQ=AC-AQ=8-4t，
则t=8-4t，解得t=$\frac{8}{5}$．
②当Q在CA延长线上（t＞2）时，CQ=AQ-AC=4t-8，
则t=4t-8，解得t=$\frac{8}{3}$．
综上，t的值为$\frac{8}{5}$或$\frac{8}{3}$．
∵∠OBD+∠C=90°，∠CAD+∠C=90°，∴∠OBD=∠CAD．
在△OBD和△CAD中，
$\{\begin{array}{l} ∠OBD=∠CAD \\ BD=AD \\ ∠ODB=∠ADC \end{array} $，
∴△OBD≌△CAD（ASA），∴BO=AC=8．
（2）由题意得：OP=t，AQ=4t，0≤t≤8．
∵CF=AO，∠AOP=∠ACB=∠FCQ（F在射线BC上，且F在C左侧时），∠OPA=90°（△AOP中，∠OAP+∠AOP=90°，故∠OPA=90°），
∴△AOP与△FCQ均为直角三角形，需满足OP=CQ．
①当Q在AC上（t≤2）时，CQ=AC-AQ=8-4t，
则t=8-4t，解得t=$\frac{8}{5}$．
②当Q在CA延长线上（t＞2）时，CQ=AQ-AC=4t-8，
则t=4t-8，解得t=$\frac{8}{3}$．
综上，t的值为$\frac{8}{5}$或$\frac{8}{3}$．