【例 3】下列命题的逆命题是真命题的是()。
A. 若 a＞0，b＞0，则 a+b＞0
B. 同位角相等，两直线平行
C. 对顶角相等
D. 若 a=b，则 |a|=|b|
解析 A. “若 a＞0，b＞0，则 a+b＞0”的逆命题是“若 a+b＞0，则 a＞0，b＞0”，逆命题是假命题。B. “同位角相等，两直线平行”的逆命题是“两直线平行，同位角相等”，逆命题是真命题。C. “对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”，逆命题是假命题。D. “若 a=b，则 |a|=|b|”的逆命题是“若 |a|=|b|，则 a=b”，逆命题是假命题。
答案 B
总结 判定逆命题是不是真命题，关键是正确地写出一个命题的逆命题，然后根据所学知识判定命题的真假。
A. 若 a＞0，b＞0，则 a+b＞0
B. 同位角相等，两直线平行
C. 对顶角相等
D. 若 a=b，则 |a|=|b|
解析 A. “若 a＞0，b＞0，则 a+b＞0”的逆命题是“若 a+b＞0，则 a＞0，b＞0”，逆命题是假命题。B. “同位角相等，两直线平行”的逆命题是“两直线平行，同位角相等”，逆命题是真命题。C. “对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”，逆命题是假命题。D. “若 a=b，则 |a|=|b|”的逆命题是“若 |a|=|b|，则 a=b”，逆命题是假命题。
答案 B
总结 判定逆命题是不是真命题，关键是正确地写出一个命题的逆命题，然后根据所学知识判定命题的真假。
答案：B
解析：
A选项的逆命题为“若 a+b＞0，则 a＞0，b＞0”，是假命题。
B选项的逆命题为“两直线平行，同位角相等”，根据平行线的性质，是真命题。
C选项的逆命题为“相等的角是对顶角”，是假命题。
D选项的逆命题为“若 |a|=|b|，则 a=b”，是假命题。
B选项的逆命题为“两直线平行，同位角相等”，根据平行线的性质，是真命题。
C选项的逆命题为“相等的角是对顶角”，是假命题。
D选项的逆命题为“若 |a|=|b|，则 a=b”，是假命题。
· 跟踪练习3 已知命题“能被 2 整除的数是偶数”，则其逆命题为()。
A.能被 2 整除的数不是偶数
B.偶数不是能被 2 整除的数
C.不能被 2 整除的数是偶数
D.偶数是能被 2 整除的数
A.能被 2 整除的数不是偶数
B.偶数不是能被 2 整除的数
C.不能被 2 整除的数是偶数
D.偶数是能被 2 整除的数
答案：D
解析：
原命题为“能被 2 整除的数是偶数”，其中条件为“一个数能被 2 整除”，结论为“这个数是偶数”。根据逆命题的定义，将原命题的条件和结论互换，得到逆命题为“偶数是能被 2 整除的数”。
1. 有三名小朋友分别站在△ABC 的三个顶点位置，他们在玩“抢凳子”游戏。玩法是在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子
谁就获胜。为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是△ABC 的()。
A.三边上高的交点
B.三边中线的交点
C.三条角平分线的交点
D.三边垂直平分线的交点
谁就获胜。为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是△ABC 的()。
A.三边上高的交点
B.三边中线的交点
C.三条角平分线的交点
D.三边垂直平分线的交点
答案：D
解析：
根据题意，凳子应放在一个位置，使得三名小朋友到凳子的距离相等，这样游戏才公平。
三角形的三边垂直平分线的交点到三角形的三个顶点的距离相等，而三边上高的交点、三边中线的交点、三条角平分线的交点均无此性质。
所以凳子应放在三边垂直平分线的交点处。
三角形的三边垂直平分线的交点到三角形的三个顶点的距离相等，而三边上高的交点、三边中线的交点、三条角平分线的交点均无此性质。
所以凳子应放在三边垂直平分线的交点处。
2. 下列说法正确的是()。
A.所有的命题都有逆命题
B.假命题的逆命题一定是假命题
C.假命题没有逆命题
D.真命题的逆命题一定是真命题
A.所有的命题都有逆命题
B.假命题的逆命题一定是假命题
C.假命题没有逆命题
D.真命题的逆命题一定是真命题
答案：A
解析：
任何命题都有逆命题，只要将原命题的条件和结论互换就得到其逆命题，所以A选项正确，C选项错误；
假命题的逆命题不一定是假命题，例如“相等的角是对顶角”是假命题，但是它的逆命题“对顶角相等”是真命题，所以B选项错误；
真命题的逆命题不一定是真命题，例如“对顶角相等”是真命题，其逆命题“相等的角是对顶角”是假命题，所以D选项错误。
假命题的逆命题不一定是假命题，例如“相等的角是对顶角”是假命题，但是它的逆命题“对顶角相等”是真命题，所以B选项错误；
真命题的逆命题不一定是真命题，例如“对顶角相等”是真命题，其逆命题“相等的角是对顶角”是假命题，所以D选项错误。
3. 如图，直线 CD 是线段 AB 的垂直平分线，P 为直线 CD 上一点。若△PAB 的周长为 16，PA=5，则线段 AB 的长为()。
A.10
B.6
C.5
D.3
A.10
B.6
C.5
D.3
答案：B
解析：
因为直线 $ CD $ 是线段 $ AB $ 的垂直平分线，且 $ P $ 在直线 $ CD $ 上，所以 $ PA = PB $。
已知 $ PA = 5 $，所以 $ PB = 5 $。
三角形 $ PAB $ 的周长为 16，即：
$ PA + PB + AB = 16 $，
$ 5 + 5 + AB = 16 $，
$ AB = 6 $。
已知 $ PA = 5 $，所以 $ PB = 5 $。
三角形 $ PAB $ 的周长为 16，即：
$ PA + PB + AB = 16 $，
$ 5 + 5 + AB = 16 $，
$ AB = 6 $。
4. 如图，DE 是 AC 的垂直平分线，AD=4，△ABE 的周长为 11，则△ABC 的周长为()。
A.30
B.26
C.19
D.14
A.30
B.26
C.19
D.14
答案：C
解析：
∵DE是AC的垂直平分线，∴AE=CE，AD=CD=4，AC=AD+CD=8。∵△ABE的周长为11，即AB+BE+AE=11，又AE=CE，∴AB+BE+CE=AB+BC=11。∴△ABC的周长=AB+BC+AC=11+8=19。
5. 如图，在△ABC 中，E 是边 BC 上的一点，连接 AE，BD 垂直平分 AE，交 AC 于点 D，连接 DE。若△ABC 的周长为 24，
△DEC 的周长为 10，求 AB 的长。
△DEC 的周长为 10，求 AB 的长。
答案：7
解析：
∵BD垂直平分AE，
∴BA=BE，DA=DE（线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等）。
△DEC的周长=DE+EC+CD=10，
∵DA=DE，
∴DA+EC+CD=10，即AC+EC=10。
△ABC的周长=AB+BC+AC=24，
∵BC=BE+EC，BA=BE，
∴AB+BE+EC+AC=24，即AB+AB+（AC+EC）=24。
∵AC+EC=10，
∴2AB+10=24，
∴2AB=14，
∴AB=7。
∴BA=BE，DA=DE（线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等）。
△DEC的周长=DE+EC+CD=10，
∵DA=DE，
∴DA+EC+CD=10，即AC+EC=10。
△ABC的周长=AB+BC+AC=24，
∵BC=BE+EC，BA=BE，
∴AB+BE+EC+AC=24，即AB+AB+（AC+EC）=24。
∵AC+EC=10，
∴2AB+10=24，
∴2AB=14，
∴AB=7。