2. 如图，将一个等边三角形剪去一个角后，∠1 + ∠2 =()。
A.270°
B.240°
C.170°
D.120°
A.270°
B.240°
C.170°
D.120°
答案：B
解析：
首先我们知道等边三角形的每个角都是$60°$。剪去一个角后，剩下的部分是一个四边形。设剩下的两个新角分别为$∠ 1$和$∠ 2$。
根据四边形的内角和为$360°$，我们可以写出以下方程：
$∠ 1 + ∠ 2 + 60° + 60° = 360°$。
简化方程：
$∠ 1 + ∠ 2 + 120° = 360°$，
$∠ 1 + ∠ 2 = 240°$。
所以，$∠ 1 + ∠ 2$的值是$240°$。
根据四边形的内角和为$360°$，我们可以写出以下方程：
$∠ 1 + ∠ 2 + 60° + 60° = 360°$。
简化方程：
$∠ 1 + ∠ 2 + 120° = 360°$，
$∠ 1 + ∠ 2 = 240°$。
所以，$∠ 1 + ∠ 2$的值是$240°$。
3. 如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点B'处，DB'，EB'分别交边AC于点F，G。如果测得∠GEC = 34°，那么∠ADF =。
答案：86
解析：
∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°。
由翻折性质得∠B=∠B'=60°，∠BED=∠B'ED。
在△GEC中，∠C=60°，∠GEC=34°，∴∠EGC=180°-60°-34°=86°。
∵∠EGC与∠FGB'是对顶角，∴∠FGB'=∠EGC=86°。
在△FGB'中，∠B'=60°，∠FGB'=86°，∴∠GFB'=180°-60°-86°=34°。
∵∠GFB'与∠AFD是对顶角，∴∠AFD=∠GFB'=34°。
在△ADF中，∠A=60°，∠AFD=34°，∴∠ADF=180°-60°-34°=86°。
由翻折性质得∠B=∠B'=60°，∠BED=∠B'ED。
在△GEC中，∠C=60°，∠GEC=34°，∴∠EGC=180°-60°-34°=86°。
∵∠EGC与∠FGB'是对顶角，∴∠FGB'=∠EGC=86°。
在△FGB'中，∠B'=60°，∠FGB'=86°，∴∠GFB'=180°-60°-86°=34°。
∵∠GFB'与∠AFD是对顶角，∴∠AFD=∠GFB'=34°。
在△ADF中，∠A=60°，∠AFD=34°，∴∠ADF=180°-60°-34°=86°。
4. 如图，在等边三角形ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P，且PD // AB，PE // AC。
（1）求证：△PDE是等边三角形。
（2）线段BD，DE，EC三者之间有什么数量关系？请说明理由。
（1）求证：△PDE是等边三角形。
（2）线段BD，DE，EC三者之间有什么数量关系？请说明理由。
答案：（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°。
∵PD//AB，∴∠PDE=∠ABC=60°（两直线平行，同位角相等）。
∵PE//AC，∴∠PED=∠ACB=60°（两直线平行，同位角相等）。
在△PDE中，∠DPE=180°-∠PDE-∠PED=180°-60°-60°=60°。
∴∠PDE=∠PED=∠DPE=60°，∴△PDE是等边三角形。
（2）BD=DE=EC。
理由：∵BP平分∠ABC，∴∠ABP=∠PBD。
∵PD//AB，∴∠ABP=∠BPD（两直线平行，内错角相等）。
∴∠PBD=∠BPD，∴BD=PD（等角对等边）。
同理，CP平分∠ACB，∠ACP=∠PCE，PE//AC，∠ACP=∠CPE，∴∠PCE=∠CPE，∴EC=PE。
∵△PDE是等边三角形，∴PD=DE=PE。
∴BD=PD=DE，EC=PE=DE，∴BD=DE=EC。
∵PD//AB，∴∠PDE=∠ABC=60°（两直线平行，同位角相等）。
∵PE//AC，∴∠PED=∠ACB=60°（两直线平行，同位角相等）。
在△PDE中，∠DPE=180°-∠PDE-∠PED=180°-60°-60°=60°。
∴∠PDE=∠PED=∠DPE=60°，∴△PDE是等边三角形。
（2）BD=DE=EC。
理由：∵BP平分∠ABC，∴∠ABP=∠PBD。
∵PD//AB，∴∠ABP=∠BPD（两直线平行，内错角相等）。
∴∠PBD=∠BPD，∴BD=PD（等角对等边）。
同理，CP平分∠ACB，∠ACP=∠PCE，PE//AC，∠ACP=∠CPE，∴∠PCE=∠CPE，∴EC=PE。
∵△PDE是等边三角形，∴PD=DE=PE。
∴BD=PD=DE，EC=PE=DE，∴BD=DE=EC。
5. 如图，等边三角形ABC的三个顶点都在坐标轴上，A( - 2，0)，过点B作BD ⊥ AB，垂线BD交x轴于点D，则点D的坐标为()。
A.(8，0)
B.(6，0)
C.(5，0)
D.(4，0)
A.(8，0)
B.(6，0)
C.(5，0)
D.(4，0)
答案：B
解析：
∵等边△ABC顶点在坐标轴上，A(-2,0)，设B(0,b)，C(c,0)(c＞0,b＞0)。
AB²=(-2-0)²+(0-b)²=4+b²，AC²=(c+2)²，BC²=c²+b²。
∵AB=AC=BC，∴4+b²=(c+2)²且4+b²=c²+b²，解得c=2，b=2√3，即B(0,2√3)。
直线AB斜率kAB=(2√3-0)/(0+2)=√3，BD⊥AB，故kBD=-1/√3=-√3/3。
BD方程：y-2√3=-√3/3 x，令y=0，得0-2√3=-√3/3 x，解得x=6，即D(6,0)。
AB²=(-2-0)²+(0-b)²=4+b²，AC²=(c+2)²，BC²=c²+b²。
∵AB=AC=BC，∴4+b²=(c+2)²且4+b²=c²+b²，解得c=2，b=2√3，即B(0,2√3)。
直线AB斜率kAB=(2√3-0)/(0+2)=√3，BD⊥AB，故kBD=-1/√3=-√3/3。
BD方程：y-2√3=-√3/3 x，令y=0，得0-2√3=-√3/3 x，解得x=6，即D(6,0)。
6. 如图，在△ABC中，AB = BC = AC = 12 cm，现有点P，Q分别从点A，B同时出发，沿三角形的边运动，已知点P的速度为1 cm/s，点Q的速度为2 cm/s. 当点Q第一次回到点B时，P，Q两点同时停止运动。
（1）点P，Q运动多少秒时，P，Q两点重合？
（2）点P，Q运动多少秒时，可得到等边三角形APQ？
（1）点P，Q运动多少秒时，P，Q两点重合？
（2）点P，Q运动多少秒时，可得到等边三角形APQ？
答案：（1）设运动时间为$ t $秒。点P从A出发，速度1cm/s，路程为$ t $cm；点Q从B出发，速度2cm/s，沿BA方向向A运动，路程为$ 2t $cm，此时AQ = AB - BQ = $ 12 - 2t $cm。当P、Q重合时，AP = AQ，即$ t = 12 - 2t $，解得$ t = 4 $。
（2）要使△APQ为等边三角形，需AP = AQ且∠PAQ = 60°（∠BAC = 60°）。
当6 ＜ t ≤ 12时，Q在AC上，AQ = $ 2t - 12 $cm，P在AB上，AP = $ t $cm。令AP = AQ，即$ t = 2t - 12 $，解得$ t = 12 $。此时P与B重合，Q与C重合，AP = AQ = PQ = 12cm，△APQ为等边三角形。
（1）4秒
（2）12秒
（2）要使△APQ为等边三角形，需AP = AQ且∠PAQ = 60°（∠BAC = 60°）。
当6 ＜ t ≤ 12时，Q在AC上，AQ = $ 2t - 12 $cm，P在AB上，AP = $ t $cm。令AP = AQ，即$ t = 2t - 12 $，解得$ t = 12 $。此时P与B重合，Q与C重合，AP = AQ = PQ = 12cm，△APQ为等边三角形。
（1）4秒
（2）12秒