1. 某桥的部分横截面如图所示，上方可看作是一条经过 $A$、$C$、$B$ 三点的抛物线，以桥面的水平线为 $x$ 轴，经过抛物线的顶点 $C$ 且与 $x$ 轴垂直的直线为 $y$ 轴，建立平面直角坐标系.已知此桥垂直于桥面的相邻两柱之间的距离为 $2 m$(图中用线段 $AD$、$CO$、$BE$ 等表示桥柱)，$CO = 1 m$，$FG = 2 m$.
(1) 求经过 $A$、$B$、$C$ 三点的抛物线相应的二次函数表达式；
(2) 求柱子 $AD$ 的高度.
(1) 求经过 $A$、$B$、$C$ 三点的抛物线相应的二次函数表达式；
(2) 求柱子 $AD$ 的高度.
答案：1.(1)设抛物线相应的二次函数表达式为$y = ax^{2}+b$。由题设可知：点$C$的坐标为$(0,1)$，点$F$的坐标为$(-4,2)$，代入可得$a=\frac{1}{16}$，$b = 1$。$\therefore$抛物线相应的二次函数表达式为$y=\frac{1}{16}x^{2}+1$ (2)当$x = - 8$时，$y = 5$，即$AD = 5(\mathrm{m})$
解析：
(1)设抛物线相应的二次函数表达式为$y = ax^{2}+b$。
由题意得：顶点$C$的坐标为$(0,1)$，$\therefore b=1$。
因为相邻两柱之间的距离为$2m$，$FG = 2m$，点$F$在点$G$正上方，$G$在$x$轴上且位于$O$左侧，$OG$之间有$2$个间隔，所以点$F$的横坐标为$-2×2=-4$，即点$F$的坐标为$(-4,2)$。
将$F(-4,2)$代入$y = ax^{2}+1$，得$2=a×(-4)^{2}+1$，$16a=1$，$\therefore a=\frac{1}{16}$。
$\therefore$抛物线相应的二次函数表达式为$y=\frac{1}{16}x^{2}+1$。
(2)点$A$在抛物线左侧，$D$在$x$轴上，$AD$为桥柱，$D$到$G$有$2$个间隔，$G$到$O$有$2$个间隔，所以点$A$的横坐标为$-4 - 2×2=-8$。
当$x=-8$时，$y=\frac{1}{16}×(-8)^{2}+1=\frac{1}{16}×64 + 1=4 + 1=5$。
$\therefore AD=5(m)$。
由题意得：顶点$C$的坐标为$(0,1)$，$\therefore b=1$。
因为相邻两柱之间的距离为$2m$，$FG = 2m$，点$F$在点$G$正上方，$G$在$x$轴上且位于$O$左侧，$OG$之间有$2$个间隔，所以点$F$的横坐标为$-2×2=-4$，即点$F$的坐标为$(-4,2)$。
将$F(-4,2)$代入$y = ax^{2}+1$，得$2=a×(-4)^{2}+1$，$16a=1$，$\therefore a=\frac{1}{16}$。
$\therefore$抛物线相应的二次函数表达式为$y=\frac{1}{16}x^{2}+1$。
(2)点$A$在抛物线左侧，$D$在$x$轴上，$AD$为桥柱，$D$到$G$有$2$个间隔，$G$到$O$有$2$个间隔，所以点$A$的横坐标为$-4 - 2×2=-8$。
当$x=-8$时，$y=\frac{1}{16}×(-8)^{2}+1=\frac{1}{16}×64 + 1=4 + 1=5$。
$\therefore AD=5(m)$。
2. 某数学兴趣小组设计了一个弹珠投箱游戏：将无盖正方体箱子放在水平地面上，弹珠从箱外投入箱子，弹珠的飞行轨迹可以看作抛物线的一部分.建立如图所示的平面直角坐标系(正方形 $ABCD$ 为箱子正面示意图，$x$ 轴经过箱子底面中心，并与其一组对边平行).
某同学将弹珠从点 $P$ 处抛出，弹珠飞行的竖直高度 $y$(单位：$ dm$)与水平距离 $x$(单位：$ dm$)近似满足函数关系 $y = a(x - h)^{2}+k(a ＜ 0)$.
下面是弹珠飞行的水平距离 $x$ 与竖直高度 $y$ 的几组数据：
(1) 直接写出弹珠飞行的竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系 $y = a(x - h)^{2}+k(a ＜ 0)$；
(2) 若点 $B$ 的坐标为$(8,0)$，且 $BC = 2 dm$，则该同学抛出的弹珠
某同学将弹珠从点 $P$ 处抛出，弹珠飞行的竖直高度 $y$(单位：$ dm$)与水平距离 $x$(单位：$ dm$)近似满足函数关系 $y = a(x - h)^{2}+k(a ＜ 0)$.
下面是弹珠飞行的水平距离 $x$ 与竖直高度 $y$ 的几组数据：
(1) 直接写出弹珠飞行的竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系 $y = a(x - h)^{2}+k(a ＜ 0)$；
(2) 若点 $B$ 的坐标为$(8,0)$，且 $BC = 2 dm$，则该同学抛出的弹珠
能
(填“能”或“不能”)投入箱子.答案：解： (1)假设抛物线相应的二次函数表达式为y= ax²+ b
由题设可知：点C的坐标为(0，1)，点F 的坐标为(-4，2)
代入可得$a =\frac {1}{16}，$b= 1
∴抛物线相应的二次函数表达式为$y=\frac {1}{16} x²+ 1$
(2)当x=-8时，y=5
∴AD= 5m
答：柱子AD的高度为5米。
能
解：(1)观察表格可知x=4时，y取最大值6.50
∴ 弹珠竖直高度最大为$6.50\ \mathrm {\ \mathrm {dm}}$
把(0，2.50)代入$y=a(x-4)^2+6.50$得2.50=16a+6.50
解得$a=-\frac {1}{4}$
∴$ y=- \frac {1}{4} (x-4)^2+6.50$
由题设可知：点C的坐标为(0，1)，点F 的坐标为(-4，2)
代入可得$a =\frac {1}{16}，$b= 1
∴抛物线相应的二次函数表达式为$y=\frac {1}{16} x²+ 1$
(2)当x=-8时，y=5
∴AD= 5m
答：柱子AD的高度为5米。
能
解：(1)观察表格可知x=4时，y取最大值6.50
∴ 弹珠竖直高度最大为$6.50\ \mathrm {\ \mathrm {dm}}$
把(0，2.50)代入$y=a(x-4)^2+6.50$得2.50=16a+6.50
解得$a=-\frac {1}{4}$
∴$ y=- \frac {1}{4} (x-4)^2+6.50$